1、1.2.1 线性空间及其基本性质,1.2.2 向量的线性相关性,1.2.3 线性空间的维数,1.2 线性空间,线性空间是线性代数的中心内容，也是学习矩阵论的重要基础，它是几何空间的抽象和推广,在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数量乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论,现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概
2、念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用,事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义,1.2.1 线性空间及其基本性质,定义1.2.1 设V 是一个非空集合，P 是一个数 域。在V上定义了一种代数运算，称为加法， 记为“+”；定义了P 与V 到V 的一种代数运算， 称为数量乘法（简称数乘），记为“”。如果 加法与数量乘法满足如下规则：,其中k，m是P中的任意数，是V中 的任意元素，则称V为数域P上的线性空间。,问题:,数域P上的线性空间V关于加法和数乘两种 运算是
3、否封闭?为什么?,备注1:,1.线性空间的实质: 是定义了加法和数乘的集合,集 合在这两种运算下是封闭的.,2.V中所定义的加法及数乘运算统称为V的线性运算.在不致产生混淆时，将数域P上的线性空间简称为线性空间,3.不管V的元素如何，当P为实数域R时，则称V为 实线性空间;当P为复数域C时,就称V为复线性空间,备注2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一定是有序数组.,备注3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.,(1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加, 乘运算, 则只
4、需检验运算的封闭性.,线性空间的判定方法:,例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.,例3: 次数等于n 的多项式再添上零多项式的全体对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法是否构成线性空间？,例4: 在区间a, b上全体实连续函数构成的集合记为Ca, b, 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构成实数域上的线性空间.,(2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线性运算规律.,例5: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘数运算为: ab =
5、 ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间.,证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.,下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR,(1) ab = a b = b a = ba ;,(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c,= a(b c) = a(b c) =a(bc) ;,(3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a;,(4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有 aa1= a a1 =1;,
6、(5) 1a = a1 = a ;,(6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a;,(7) k(ab) = k(a b) = (a b)k = ak bk,(8) (k+l)a = ak+l = ak al,= akbk = kakb;,所以, R+对所定义的运算构成线性空间.,= ak al = ka l a .,直接由定义1.2.1，可以证明线性空间的 一些基本性质。,从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来 研究另外应理解加法和数乘分别是V中的 一个二元运算和数域P与V中元素间的运算， 要求运算满足定义1.2.1中
7、的八条性质，它 们已不再局限在数的加法、乘法的概念中,备注 3:,定理1.2.1 设V是数域 P上的线性空间，则,(1) V 中零元素是唯一的；,(2) V 中任一元素的负元素是唯一的；,利用负元素，定义线性空间中的减法：,证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素.,(1). 零元素是唯一的.,则对任何V有, + 01 =, + 02 = ,由于01, 02V,则有 02+01=02, 01+02=01.,所以,01=01+02,=02+01,=02.,2. 负元素是唯一的.,证明: 见课本,证明: 因为 + 0 =1 + 0,3. 0 = 0; (1) = ; 0 = 0.,则由零
8、元素的唯一性得: 0 =0,= .,= 1,= (1+0) ,因为 + (1) =1 + (1),=1+(1),= 0,=0.,则由负元素的唯一性得: (1) = .,0 = +(1),= +(),= 0 = 0.,=+(),4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.,证明: 如果 0,又,那么,所以, = 0. 故结论成立.,定义1.2.2 设V 是数域P上的线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果对W 中任意两个向量，以及任意 ，都有则称W 是凸集。,end,1.2.2 向量的线性相关性,定义1.2.3 设V 是数域 P 上的线性空间，,是V中一组向量，,是数域P中的数。如果V 中向量
9、可以表示为,则称可由,线性表示，或称,是,的线性组合。,1.零向量是任何一组向量的线性组合.,2.向量组中任何一个向量都是此向量组的 线性组合.,备注 3:,定义1.2.4 设 与 是线性空间V 中两个向量组，如果 中每个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可以由向量组 线性 表示。,如果向量组 与向量组可以互相线性表示，则称向量组与向量组 是等价的。,向量组之间的等价具有如下性质：,（1） 自反性：每一个向量组都与它自身等价；,（2） 对称性：如果向量组 与 等价，那么向量组 也与 等价；,（3） 传递性：若向量组 与 等价，且向量组 与 等价，则向量组 与 等价。,定义1.2.5 设V
10、 是数域 P 上的线性空间，是V 中一组向量，如果存在 r个不全为零的数 P，使得则称 线性相关；,如果向量组 不线性相关，就称为线性无关。,1. 单个非零向量必,线性无关.,2. 含有零向量的向量组必,线性相关.,3. 两个向量线性相关,则对应分量成比例.,备注 4:,例4:,定理1.2.2 设V 为数域 P上的线性空间. (1) V 中一个向量线性相关的充分必要条件是 =0； (2) V 中一组向量 线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。,定理1.2.3 设V 为数域 P上的线性空间，如果V 中向量组 线性无关，并且可由向量组线性表示，则 。,推论1.2.1 两个等价
11、的线性无关向量组必含 有相同个数的向量。,定理1.2.4 设线性空间V 中向量组 线性无关，而向量组 线性相关， 则可由 线性表示，并且表示法 是唯一的。,定义1.2.6 设 是线性空间V 中一组 向量，如果 中存在 r 个线性无关的 向量 ，并且中任一向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 为向量组的极大线性无关组，数 r 称为向 量组 的秩，记为,1.2.3 线性空间的维数,定义1.2.7 如果线性空间V 中有 n 个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关向量， 则称V 是 n 维的，记为 dim(V )=n；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维的。,定理
12、1.2.5 如果在线性空间V 中有 n 个线性无关的向量 ，并且V 中任一 向量都可由 线性表示，则dim(V )=n。,1.3 基 与 坐 标,定义1.3.1 设V 为数域 P上的 n 维线性空间，V 中 n 个线性无关的向量 称为V 的一组基。设是V 中任一向量，则可唯一地表示为基的线性组合：,其中系数 称为在基 下的坐 标，记为 或 。,我们经常将(1.3.1)改写为,1). 任一向量在同一基下坐标唯一.,例1.,注1:,2).基中每一元素是向量不是数字.,定理1.3.1 在 n 维线性空间V中，任意一个线性无 关的向量组 都可以扩充成V 的一组基.,证明 如果 ，则 是V 的一组基。下
13、面设 。此时V 中必有一个向量 不能由线性表示；否则由定理1.2.5有 dim(V )=r， 这与 dim(V )=n 矛盾。因此， 线性 无关。如果 ，则 是V 的一 组基。如果 ，则V 中必有一个向量 不能 由 线性表示，从而 线 性无关。依次下去，可得线性无关的向量组,其中 。这个向量组就是V 的一组基。,在 n 维线性空间V 中，任意 n 个线性无关的 向量都可取作V 的基。,设 与 是 n 维线性空间 V 的两组基，它们之间有如下关系：,2). 过渡距阵一般求法:,(1).,注 2.,1) . 过渡距阵T是可逆的.,例2.,(2).中介法,适当选取V中标准基或简单基作为中介, 通过中介基的中介作用, 容易求出从中介基到两过渡矩阵的基T.,例3.,例4.,(3).观察法.,向量坐标变换公式,定理1.3.2,分析:,所以,?,end,
