1、应用随机过程Applied stochastic processes序言,二、随机数学发展概述,随机现象 内在规律 偶然性 必然性,3 随机过程,Brown运动: 1827 年，Brown在显微镜下发现花 粉的无规则运动, 将此奇怪现象公诸于世, 无人能解 释原因. 1900年，法国数学家Bachelier给出 一维 Brown运动粗略模型, 其博士论文为投机的理论 ，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河， 但他的结果几十年之后才得到认可.1905年,Einstein 首次进行量化分析, 认为花粉运 动源自分子无规则热运动, 每秒碰撞 次. Wiener 1918年发表系列论文, 成功解
2、决这一问 题, 故称WienerEinstein过程.,Markov过程(18561922): 十九世纪末用矩阵研究 马氏链, 开始随机过程理论. Erlang因研究电话问题得到了Poisson过程 , 创立了排队论. Feller研究了生灭过程. 平稳过程: 从辛欣研究大数定律开始，1934年完成. 鞅论: 莱维（Levy. Paul Pierre, 1886-1971）19301955年创立. 杜悖( J. Doob )研究停时. 随机积分: 伊藤清(1915日), 87年获Wolf奖,97年有人 因 研究Ito微分方程的解而获诺贝尔经济奖. 最优停时: 1名秘书, 100人应征, 如何选
3、? Gilbert 和 Mosteller1966年证明37%规则, 前37个不要, 第38个后开始超过前面就定下来, 选中最优率为1/e=0.367879. 而随机取这一结果仅1%.,三、初步概率论,四、随机过程定义及分类,1、定义定义域 值域T (E,B)(,F,B) E：状态空间, 相空间, E 中元素叫状态.一般为实数或复数.B为Borel可测集全体,2、分类按定义域、值域分： （1）T及E都可列 （2）T可列， E非可列 （3）T及E都非可列 （4）T非可列， E可列其中T可列，即（1）、（2）为随机序列（时间序列）.其中E可列, 即（1）、（4）为可列过程, E为有限集时为有限过程
4、.,按概率关系分 （1） Markov过程 独立增量过程 Poisson过程 Wiener过程 （2）正态过程,二项过程,负二项过程 （3）平稳过程,宽平稳过程(白噪声) （4）鞅我国王梓坤为概率第一人.,应用随机过程Applied stochastic processes第一章 概率论的基本知识,第一章,1.1. 概率空间 一、随机试验： 可重复性（同一条件）结果多个（不唯一）试验前未知 二、样本空间：随机事件A 为的子集.：样本点 =全体 三、定义域、事件域（代数）1、 2、3、 见下面,3、 可列并封闭可测空间 ：信息全体,四、值域、事件概率,1、 (非负性)2、 (规范性)3、 ， ，
5、(可列可加性),五、 称概率空间，广义测度不保证非负,不保证为1.六、 性质1、 单调不减2、 对立事件和为13、 ， ，有限可加性4、 无限次可加,七、选取方法有穷 为 子集全体可列 为 子集全体不可列 为Lebesgue可测八、极限事件1、递增事件列： ， ，2、递减事件列： ， ，,九、P的连续性（P与lim可交换顺序）,证明：,可列可加 正项级数收敛 (不超过1)考虑部分和数列等价替换(后半部分用对偶律),十、调和级数实例.,十一、统计物理模型解一（Maxwell-Boltzman)质点可分辨，处于每个状态的质点个数任意。,解三（Fermi-Dirac)质点不可分辨，每个状态只有一个质
6、点。适于电子、中子、质子等Fermi子。,解二（Bose-Einstein) 质点不可分辨，处于每个状态的质点个数任意。 适于光子、介子、核 子等Bose子。,1.2 随机变量,随机变量X分布函数:满足：() 单调不减；() 右连续；() ； () ；,一、存在性命题1.2.1：设 是单调不减，右连续的函数，且有 ，则必存在概率空间及其上的一个随机变量 ，使 。证明： （略）,离散的：,连续的：,二、命题1.2.2已给n元函数 ，满足：() 对任一 是单调不减的，() 对任一 是右连续的，(),() 设 ，则,则必存在概率空间 及其上的随机向量 ，使 的分布函数,注意: ()不能由()、 ()
7、、 ()推出 反例：定义,满足()、 ()、 ()，但是对,三、 (联合分布唯一确定边沿密度,反之不成立.)此例两个密度函数显然不同，密度函数非零区域相同. 边缘密度如下:,X边缘密度:利用密度函数的轮换对称性,可得Y边源密度也相同 均为1/2 + y .,四、事件独立：,n个事件独立， 个表达式。,随机变量独立： 独立，要求联合密度为边缘密度之积，即：命题1.2.5至1.2.7知道结果就行.,其中，,五、 随机变量 相互独立,六、若随机变量 相互独立， 为 可测函数， ，则 也相互独立.,例:1.2.8：已知n阶正定对称矩阵B，,是n维随机变量的密度。式中 表示B的行列式的值， 表示矩阵C的
8、转置矩阵， 表示矩阵B的逆矩阵。下面证明,因为B对称正定，故存在正交阵T，使：,其中 是B的特征值且 。,作变换 ,右乘T, ,可得因为 ，,所以,是n维正态分布的密度函数.,例:1.2.9:事件A的示性函数:,1.3 随机变量的数字特征,一、数学期望（mean, mathematical expectation),连续型（绝对可积条件下）,离散型（绝对收敛条件下）,抽象积分：,二、随机变量函数的期望,三、矩（moment）,1、普通k阶矩,2、k阶绝对矩,3、k阶中心矩,物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量。,四、方差（二阶中心矩，variance）,方差表示稳定性：方差大，风险大；方差小
9、，风险小。,五、n维随机向量,是n维随机向量，分布函数为 ，为n维Borel函数，则：,六、协方差（二阶混合中心矩，covariance）,随机向量，协方差阵：,七、相关系数（correlation coefficient）,注：Holder不等式，实变函数或应用数学基础。,八、相关系数的性质1、2、 独立3、 以概率1线性相关 注：由 得不到 独立。下有反例.,解二：,九、以概率1成立（几乎处处成立 a.s.）若 ，则 以概率1成立（几乎处处成立），记为：,十、期望与方差公式,例1.3.4：Montmort配对问题n人n顶帽子放在一起充分混合后，每人随机取一顶。求选中自己帽子的人数X的期望和方差。,
