1、 1 基本初等函数 I1.(2009 年广东卷文)若函数 ()yfx是函数 1xyaa（ 0， 且 ） 的反函数，且(21f，则 ()fx ( )A 2log B x C x21log D2 x 答案 A解析 函数 xyaa（ 0， 且 ） 的反函数是 ()logafx,又 (2)1f,即 log2a,所以, 2,故 2()logf,选 A.2.（2009 北京文）为了得到函数 3l10xy的图像，只需把函数 lyx的图像上所有点 （ ）A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位
2、长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度答案 C解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.3.（2009 天津卷文）设 3.02131)(,log,lcba，则 ( )A a 2f的是A ()f= x B. ()fx= 21 C . =e D. ln)答案 A解析 依题意可得函数应在 (0,)x上单调递减，故由选项可得 A 正确。 3 9. （2009 辽宁卷文）已知函数 ()fx满足：x4,则 ()fx 12x；当 x4 时 ()f(1)fx，则 2(log3fA. 24 B. 1 C. 8D. 38答案 A解析 32log 234,所以 f(2
3、log 23)f(3log 23)且 3log 234 (log)ff(3log 23)1222log33llog311)()88410.（2009 四川卷文）函数 1Rxy的反函数是A. )0(log12xy B. )1(log2xyC. D. 答案 C解析 由 yxyxy 221 log1log2，又因原函数的值域是 0y，其反函数是 )0(l211.（2009 陕西卷文）设曲线 1*nyxN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 nx,则 12n 的值为A. B. C. 1n D.1答案 B解析 对 1*()()n nyxNyx求 导 得 ,令 1得在点（1，1）处的切线的斜率
4、 k,在点（1，1）处的切线方程为 (1)()nnkx,不妨设 0y,1nnx则 2231.41x n , 故选 B.12.（2009 全国卷文）已知函数 ()fx的反函数为 ()gxx 2l ，则)(1gf（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 4 答案 C解析 由题令 1lg2x得 ，即 1)(f，又 )(g，所以 2)1(gf，故选择 C。13.(2009 湖南卷理)若 2loa0， ()b1，则 ( )Aa1,b0 B a 1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b0答案 D解析 由 2log得 ,由 1()2b得 ，所以选 D 项。14.（2009 四川卷理）已知函数2lo
5、g()() 24axfxx当 时 在 点 处当 时 ）连续，则常数的值是 ( ). . . . 【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。答案 B解析 由题得 32log2aa，故选择 B。解析 2：本题考查分段函数的连续性由2224lim()lilim()4xxxf，2()log1fa，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知2im()4xf，可得 3a故选 B15.（2009 福建卷文）若函数 fx的零点与 42xg的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 fx可以是A. 41f B. 2(1)fx C. xfe D. fIn答案 A 5 解析 41fx的零点为 x= 41,
6、 2(1)fx的零点为 x=1, 1xfe的零点为 x=0, 2fIn的零点为 x= 3.现在我们来估算 42xg的零点，因 为 g(0)= -1,g( 1)=1,所以 g(x)的零点 x(0, 1),又函数 f的零点与4xg的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 4fx的零点适合，故选 A。二、填空题16.（2009 江苏卷）已知集合 2log,(,)AxBa，若 AB则实数 a的取值范围是 (,)c，其中 c= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由 2logx得 04， (0,；由 知 4，所以 c4。17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a x-x-a(a
7、0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .答案 1|a解析 设函数 (0,xy且 1和函数 yx,则函数 f(x)=a x-x-a(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数 a且 与函数 a有两个交点,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数 (1)xy的图象过点(0,1),而直线 yx所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.18.（2009 重庆卷文）记 3()log(1)fx的
8、反函数为 1()yfx，则方程 1()8fx的解 x 答案 2解法 1 由 3()l()yfx，得 1yx，即 1()3fx，于是由 31x，解得 x解法 2 因为 ()8f，所以 3(8)log()2f20052008 年高考题一、选择题 6 1.（2008 年山东文科卷）已知函数 ()log(21)(01)xafba， 的图象如图所示，则 ab， 满足的关系是 （ ）A 10B 1C D 0ab答案 A解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。由图易得 1,a10;取特殊点 01log0,axyblogllog,aaab .2. (07 山东)设 3,21，则使函数 xy的定义
9、域为 R 且为奇函数的所有 的值为 （ ）A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 3.（2006 年安徽卷）函数 1()xyeR的反函数是 （ ）A 1ln(0)yx B 1ln(0)yx C D 答案 D解析 由 1xe得：x+1=lny，即 x=-1+lny,所以 l()为所求，故选D。4.（2006 年湖北卷）设 2()lgf，则 2()ffx的定义域为 ( )A (4,0, B (4,1), C 21)( D 2(答案 B解析 f（x）的定义域是（ 2，2） ，故应有2 2x2 且 2 2 解得4x1 或1x4 故选 B。1O y x 7 5.(07 天津)
10、设 cba,均为正数，且 aa21log， bb21log， cc2log.则 （ ）A. B. b C.c D. a 答案 A 二、填空题6.（2008 年山东文科卷）已知 2(3)4log3xf，则8(2)4()2ff的值等于 答案 2008解析 本小题主要考查对数函数问题。 22(3)4log34log3,x xf,8()()(2)fff2228(lll8log16408. 7.(07 山东)函数 ),0(13ogaxya的图象恒过定点 A,若点 A 在直线01nmx上，其中 mn，则 n的最小值为 . 答案 88.（2006 年辽宁卷）设 ,0.()xegl则 1()2g_答案 1ln
11、21()(l)2e.解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.9.(2006 年重庆卷)设 0,1a，函数 2lg(3)xfa有最大值，则不等式2log57ax的解集为 .解析 设 ,，函数 2lg(3)xf有最大值， 2lg(3)lg2x 有最小值， 01，故 32t 上式对一切 R均成立，从而判别式 .3,4解 得14.（2009 广东三校一模）设函数 xxf1ln2.(1)求 xf的单调区间;(2)若当 1,e时,(其中 718.2e)不等式 mxf恒成立,求实数 的取值范围;(3)试讨论关于 x的方程: axf2在区间 2,0上的根的个数.解 （1）函数的定义域为 ,1121 x
12、f . 1 分由 0xf得 ; 2 分 由 得 1x, 3 分则增区间为 ,减区间为 01. 4 分(2)令 ,2xf得 x,由(1)知 xf在 0,1e上递减,在 1,0e上递增, 6 分 12 由 ,21ef2ef,且 21e, 8 分,x时, xf 的最大值为 2,故 2em时,不等式mf恒成立. 9 分(3)方程 ,2axf即 ax1ln2.记 xxg1ln2,则11xg.由 0g得 ;由 0得 .所以 g(x)在0,1 上递减，在1，2上递增.而 g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2) g(1) 10分所以，当 a1 时，方程无解；当 3-2l
13、n3a1 时，方程有一个解，当 2-2ln2aa3-2ln3 时，方程有两个解；当 a=2-2ln2 时，方程有一个解；当 a2-2ln2 时，方程无解. 13分字上所述，a )2ln,(),1(时，方程无解；,3ln2(或 a=2-2ln2 时，方程有唯一解；l,a时，方程有两个不等的解. 14 分 9 月份更新一、选择题1.（2009 聊城一模）已知函数 ),0(),()(,4)(2 是 定 义 在xgxf 上的奇函数，当 x0 时， )(,log)(2fyx则 函 数 的大致图象为 （ ） 13 答案 B2.（2009 临沂一模）已知函数 f(x)= 31()log5x，若 x0 是方程
14、 f(x)=0 的解，且 00 时是单调函数，则满足 f(2x)=f(4x)的所有 x 之和为A、 92 B、 72 C、8 D、8答案 C4.（2009 青岛一模）设奇函数 ()fx在 0)， 上为增函数，且 (1)0f，则不等式()0fx的解集为A 1()， ， B (1)(， ， C ()()， ， D ()1， ，答案 D5.（2009 日照一模） （6）函数32()lnfxx的零点一定位于区间A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）答案 A6.（2009 日照一模） （函数 ()yfx的图象如右图所示，则函数12log()yfx的图象大致是答案 C 14 7.（
15、2009 泰安一模）已知函数 y=f(x)与 xye互为反函数，函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图像关于 x 轴对称，若 g(a)=1,则实数 a 值为（A）-e (B) 1e (C) e (D) e答案 C8.（2009 枣庄一模）已知 ,10,)(2xxf则关于右图中函数图象的表述正确的是（ ）A是 )1(xf的图象B是 的图象C是 |)(|(|xff或 的图象D以上说法都不对答案 D9.（2009 枣庄一模）设函数 )52(,)2(1231)( fxxf 则（ ）A3 B 4 C7 D9答案 C二、填空题1.（2009 青岛一模）定义：区间 122,x的长度为 21x.已知函数
16、|2xy的定义域为 ,ab，值域为 ,2，则区间 ab的长度的最大值与最小值的差为_.答案 12.（2009 冠龙高级中学 3 月月考）已知函数 2()fx，若 3log1(2)fmf，则实数 m的取值范围是 。答案 8(,)93.（2009 闵行三中模拟）若函数 ()yfx的值域是 1,32，则函数1()()Fxfx的值域是 答案 02,3 15 4.（2009 上海普陀区）已知函数 )10(log1)(axxfa且 ， )(xf是 f的反函数，若 )(1xfy的图像过点 3,4，则 . 答案 25.（2009 上海十校联考）已知函数 231fxmx的值域是 0,)，则实数 m的取值范围是_
17、答案 0,19,6.（2009 上海卢湾区 4 月模考） （2009 上海卢湾区 4 月模考）设 fx()的反函数为 1()fx，若函数 fx()的图像过点 (1,2)，且 1fx()， 则 答案 12三、解答题1.（2009 聊城一模）已知函数 )1,(23)( abaxxf 且为 实 数 在区间1，1上最大值为 1，最小值为2。（1）求 )(xf的解析式；（2）若函数 mxfg)(在区间2，2 上为减函数，求实数 m 的取值范围。解：（1） ,3)(2axf（2） ,1)(23g.42mxx由 上 为 减 函 数在 ,)(，知 .2,0 上 恒 成 立在 xg )2(， 即 04m .20
18、.2的 取 值 范 围 是实 数2.（2009 临沂一模）设函数 f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（I） 当 a=0 时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数 m 的取值范围; .12)(.34,223)1(),1()1(,232)1(,23)1(,1)0(.1,0,0,1)(,1,0,0)(2321上为减函数在上为增函数在得令xxxfaafffafafbfxfaaxxxf 16 （II） 当 m=2 时，若函数 k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（III） 是否存在实数 m，使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具
19、有相同的单调性？若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由。解：（1）由 a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x 即 lnxm记 lnx，则 f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于 min().求得 21() 当 ,xe时; ()0x;当 (,)e时， ()0x故 ()在 x=e 处取得极小值，也是最小值，即 min()xe，故 e.（2）函数 k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。令 g(x)=x-2lnx,则 2()1gx当 1,2)x时， 0,当 (,3时， ()0gxg(x)在1,2上是单调递减函数，在
20、 2上是单调递增函数。故 min()()2lngx 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(1)g(3),只需 g(2)0，解得 x 2m或 x1，则函数 f（x）= loga x 的图象与其反函数 y=f-1（x）的图象 （ ）A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点答案 D3.（2007 届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数 |1)(xf(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数 f(x)的值域为（1，1） ；乙：若 x1x 2，则一定有 f(x1)f(x 2)；丙：若规定 )()(,
21、1fxffnn， |)(nfn对任意 nN*恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 D二、填空题 18 4.（2008 年高考数学各校月考试题）已知函数 xf)21(的图象与函数 g（x）的图象关于直线 xy对称，令 |),1()xgh则关于函数 h有下列命题: )(h的图象关于原点对称； )(x为偶函数； x的最小值为 0； 在（0，1）上为减函数.其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）答案 5.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 ()yfx的图象经过点 1(2,)8，则满足 ()fx27 的 x 的
22、值是 .答案 13三、解答题6.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)已知函数 2lg2lg()xxf(1)判断函数 )f的奇偶性。 (2)判断函数 )(xf的单调性。解 （1） 2lglg2l)2lg( 2xxf= )()l(2lg2f )xf为奇函数（2） (是 R 上的增函数， （证明略）7.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，且对任意的 a、b R，有 f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R
23、上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。解 （1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2f(0)0 f (0)=1 19 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x )f(-x) )(1(xff由已知 x0 时，f(x)10，当 x0，f(-x)0 0)(1)ff又 x=0 时， f(0)=10对任意 xR，f(x)0(3)任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )() 12121 ffff(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x )f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 0x38.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)已知函数 10()2xyR（1）求反函数 1(yfx（2）判断 )是奇函数还是偶函数并证明。 解 （1）令 0xt则 tt 2-2yt-1=0t= y+ 1210 x=y+ 2f -1(x)=lg(x+ 12)(xR) （2） 12)lg(=lg2x=-lg(x+ 12)=-f-1(x)1()f为奇函数 20
