1、奥数第一讲 巧算小朋友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但如果善于观察、勤于思考，计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪明和机敏。一、计算： 9.99629.98169.93999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数 “凑整 ”以后，就容易计算了。当然要记住， “凑整 ”时增加了多少要减回去。9.99629.98169.93999.5=1030 170 4000（0.0040.020.10.5）=4
2、210 0.624 =4209.376二、计算：10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01解：式子的数是从 1 开始，依次减少 0.01，直到最后一个数是 0.01，因此，式中共有 100 个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数 这样的顺序排列的。由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每 4 个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第 1 个数减第 3 个数，第 2 个数减第 4 个数，各得 0.02，合起来是 0.04，那么，每组数（即每个括号）运算的结果都是 0.0
3、4，整个算式 100 个数正好分成 25 组，它的结果就是 25 个0.04 的和。10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=（1 0.99 0.980.97）（0.960.950.940.93）（0.040.030.020.01） =0.0425 =1如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1 0.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=1（ 0.99 0.980.970.96）（0.950.940.930.92）（0.030.020.01） =1 三、计算： 0.1
4、0.20.30.80.90.100.110.120.190.20解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成， 0.10.20.30.80.9 是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.1，而 0.100.110.120.190.20 是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.01，所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.2=（0.1 0.9） 92（0.10 0.20）112=4.5 1.65 =6.15四、计算： 9.99.91.99解：算式中的 9.99.9 两个因数中一
5、个因数扩大 10 倍，另一个因数缩小 10 倍，积不变，即这个乘法可变为 990.99+1.99 可以分成 0.991 的和，这样变化以后，计算比较简便。9.99.91.99=990.990.991=（99 1）0.99 1 =100五、计算： 2.43736.54 243.70.6346解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的 2.437 和后一个乘法的 243.7 两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可以运用乘法分配律进行简算了。2.43736.54243.70.6346=2.4373
6、6.542.43763.46=2.437（36.5463.46） =243.7六、计算： 1.11.21.31.41.5解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。平时注意积累计算经验的同学也许会注意到 7、11 和 13 这三个数连乘的积是 1001，而一个三位数乘 1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例如 5781001=578578，这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。 1.11.21.31.41.5 =1.11.30.721.21.5 =1.0013.6 =3.6036 练习15.4673.8147.53
7、34.18626.251.256.433.99719.961.9998199.740.10.30.90.110.130.150.970.995199.919.98 199.819.97623.753.987 6.01392.076.83239.877200420052005200420042004200520058 （10.120.23）（0.120.230.34）（10.120.230.34）（0.12 0.23）96.7341.5363.2664.464100.80.1251189.190.388.692.188.990.8124.830.590.411.590.3245.91337.52
8、1.50.11235.512.50.112 1499992222+333333341519891999-19882000奥数第二讲 数的整除如果整数 a 除以不为零数 b，所得的商为整数而余数为 0，我们就说 a 能被 b 整除，或叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除，那么，b 叫做 a 的约数，a叫做 b 的倍数。数的整除的特征：（1） 能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被 2 整除。（2） 能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被 3（或 9）整除，那么这个整数一定能被 3（或 9）整除。（3） 能被 4
9、（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么这个数就一定能被 4（或 25）整除。（4） 能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么这个整数一定能被 5 整除。（5） 能被 6 整除的数的特征：如果一个整数能被 2 整除，又能被 3 整除，那么这个数就一定能被 6 整除。（6） 能被 7（或 11 或 13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是 0 或是 7（或 11 或13）的倍数，这个数就能被 7（或 11 或 13）整除。（7） 能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个
10、整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么这个数就一定能被 8（或 125）整除。（8） 能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被 11 整除。1、例题与方法指导例 1、下列各数哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？（数的整除特征）88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。例 2、一个六位数 2356是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_或_.思路导航 ：一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11
11、 的倍数.根据 8的倍数,它的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或 23 8 56 8 又 230560 88=2620238568 88=2711所以,本题的答案是 2620 或 2711.例 3、123456789,这个十一位数能被 36 整除,那么这个数的个位上的数最小是_.思路导航 ：因为 36=9 4,所以这个十一位数既能被 9 整
12、除,又能被 4 整除.因为1+2+9=45，由能被 9 整除的数的特征， （可知+之和是 0（0+0） 、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和 18（9+9）.再由能被 4 整除的数的特征:这个数的末尾两位数是 4 的倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有 0,2,6 三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是 0.例 4、下面一个 1983 位数 333444 中间漏写了一个数字(方框),已991 个 991 个知这个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_.思路导航 ：333444991 个 991 个=333 1099
13、3+34 10990+444990 个 990 个 因为 111111 能被 7 整除，所以 333 和 444 都能被 7 整除,所以只要990 个 990 个34 能被 7 整除，原数即可被 7 整除.故得中间方框内的数字是 6.例 5、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三个数是_.思路导航 ：三个连续的两位数其和必是 3 的倍数,已知其和是 11 的倍数,而 3 与 11 互质,所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99.所以有当和为 33 时,三个数是 10,11,12；当和为 66 时,三个数是 21,22,2
14、3；当和为 99 时,三个数是 32,33,34.所以，答案为 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34。注“三个连续自然数的和必能被 3 整除”可证明如下：设三个连续自然数为 n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以， 能被 3 整除.)2()1n2、巩固训练1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大1 的数,它的两个数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是_.2. 一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.3. 任取一个四位数乘 3456,用
15、A 表示其积的各位数字之和,用 B 表示 A 的各位数字之和, C 表示 B 的各位数字之和,那么 C 是_.4. 有 0、1、4、7、9 五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,如果十位数不变,则个位增加 1,其和便不能整除 4,因此个位数一定是 9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是 39+79=118. 2 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且 15 15=225200,所以其中至少有 1 个因数小于 15
16、,而且这些因数均需是奇数,但 11 不可能符合条件,因为对于小于 200 的自然数凡 11 的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查 13 的倍数中小于 200 的三位数 13 13=169不合要求,13 15=195 适合要求.所以,答案应是 195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为 3456=384 9,所以任何一个四位数乘 3456,其积一定能被 9 整除,根据能被 9 整除的数的特征,可知其积的各位数字之和 A 也能被 9 整除,所以 A 有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从
17、而 A 的各位数字之和 B 总是 9,B的各位数字之和 C 也总是 9.4. 90+1+4+7+9=21 能被 3 整除,从中去掉 0 或 9 选出的两组四个数字组成的四位数能被 3 整除.即有 0,1,4,7 或 1,4,7,9 两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五个数的末位数字是 9.3、拓展提升1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2.只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能
18、被 225 整除,怎样修改？3.试问,能否将由 1 至 100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中,都至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以” ，则只要举出一种排法；如果回答：“不能” ，则需给出说明.答案1. 如果最小的数是 1,则和 1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有 2 和 3 两数，因此最小的数必须大于或等于 2.我们先考察 2、3、4、5 这四个数,仍不符合要求,因为 5+2=7,不能被 5-2=3 整除.再往下就是 2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为 225=25 9,要使修改后的数能被
19、 25 整除,就要既能被 25 整除,又能被 9 整除,被 25 整除不成问题,末两位数 75 不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是 9 的倍数,则这个数能被 9 整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把 1 改为 0；把4 改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1.3. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的 100 个数,我们来按所排列顺序将它们每 5 个分为一组,可得 20 组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的 5个数中都至少有两个数是 3 的倍数.从而一共有不少于 40 个数是 3 的
20、倍数.但事实上,在 1 至 100 的自然数中有 33 个数是 3 的倍数,导致矛盾.奥数第三讲 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头” （打一城市名） 。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中 ”指什么？“天”。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头 ”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是 “天”字，容易想到“ 天津” 这个地名，而 “津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“ 虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。 “虫食算” 主要指横式
21、算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、 、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。 横式字谜1、例题与方法指导例 1、，8，97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少？思路导航 ： 1503-8-97-5=340所以 3 个数之和为 3+4+5=12。例 2、我学数学乐我学数学乐= 数数数学数数
22、学学数学在上面的乘法算式中， “我、学、数、乐” 分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表 9，那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1 ，我 =8，数=6 ，8161981619=6661661161例 3、（）=24 在式中的 4 个方框内填入 4 个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航 ：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a（ bcd）=acdb (去括号）当 a=1 时，有 682=24，893=24；当 a=2 时，有 493=12，684=12，896=12；所以，满足要求的等式有：1（268）=24，1（389）=24，2（349）=2
23、4， 2（468）=24，2（689）=24。例 4、 =5 ； 12+=，把 1 至 9 这 9 个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3 个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：78=56，69=54；如果为78=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当 69=54 时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8 或 12+3-8=7 都能满足。2、训练巩固1. 迎迎春春 =杯迎迎杯，数数 学学=数赛赛数，春春 春春=迎迎赛赛在上面的 3 个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这 3 个等式都成立，那么， “迎+
24、春+杯+数+学+ 赛” 等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春春春=迎迎赛赛 的只有8888=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4 ；这样，不难得到第一个为：7788=6776，第二个为：5599=5445；所以，迎+春 +杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春 春 =迎春， （迎+杯） （迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“ 迎+ 春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）（8+1）=81，于是，迎=8 ；这样，第一个算式显然只有：8+99=89
25、 ；所以，迎 +春+ 杯=8+9+1=18。3、拓展提升1.在下列各式的中分别填入相同的两位数：(1)5=2； (2)63。2.将 39 中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)=； (2)。3.在下列各式的中填入合适的数字：(1)448=； (2)2822=；(3)13= 46。4.在下列各式的中填入合适的数：(1) 32831； (2)5733229；(3)48377427。答案与提示 练习 224.(1)287；(2)17；(3)65。竖式字谜一、例题与方法指导例 1 在图 4-1 所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“ 喜欢”这两个汉
26、字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢” 是 0 或 5，但是 “欢”是第二个数的十位，所以“ 欢” 不能是 0，只能是 5。 再看十位， “欢”是 5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人” 就应该是偶数，因为结果的百位也是 “人”，所以“人”只能是 2；由此可知， “喜”等于 8。 所以， “喜欢” 这两个汉字所代表的两位数就是 85。例 2 在图 4-2 所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+ 解+ 数+字+谜=30 ，那么“ 数字谜” 所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5 个“谜” 相加的结果个位还是等于 “谜”， “
27、谜”必定是 5（0 显然可以排出） ； 接着看十位，四个“字” 相加再加上进位 2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个 “数”相加再加上进位 2，结果尾数还是“ 数” ， “数”可能是 4 或 9； 再看千位， （1）如果“ 数”为 4，两个“ 解”相加再加上进位 1，结果尾数还是“解” ，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6， “巧” 等于 6 与“字”等于 6 重复，不能； （2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位 2，结果尾数还是 “解”，那说明“ 解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位
28、数是 965。例 3 图 4-4 是一个加法竖式，其中 E，F，I，N，O，R S，T，X，Y 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且 F，S 不等于零那么这个算式的结果是多少？ 分析：先看个位和十位，N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上，S 比 F 大1；千位上 O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以，I 只能是 1，O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2，且 X 不能是 0，因此决定了 T、R 只能是 7、8 这两个；如果 T=7，X=3，这是只剩下了 2、4、6 三个数，无法满足 S、F 是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到 X=4；那么， F=2，S=3，Y=6
29、。所以，得到的算式结果是 31486。2、训练巩固1. 在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么 D+G 等于多少？分析：先从最高位看，显然 A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为 E 等于 9，说明个位有借位，所以 F 只能是 8；由 F=8 可知，C=7；这样，D、G 有2、4，3、5 和 4、6 三种可能。所以，DG 就可以等于 6，8 或 10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得 2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用 abcdefg
30、来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3 ；那么， e=6。所以，王老师家的电话号码是 8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数如果新数比原数大 7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2，则 d=9；但个位上 10
31、+a-d=2，所以，a只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9，那么，c=8 正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。3、拓展提升1.已知图 4-6 所示的乘法竖式成立那么 ABCDE 是多少？ 分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857。1428573=428571。2. 某个自然数的个位数字是 4，将这个 4 移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的 4 倍问原数最小是多少？ 分析：由个位起逐个递推：44=16，原十位为 6；46+1=25，原百位为 5；45+2=22，原千位为 2；42+2=10，原万位为 0； 14=4，正好。所以，原数最小是 102564。
32、奥数第四讲 定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、 、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如 ab=3a-3b ，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、例题与方法指导例 1
33、、设 ab 都表示数，规定 ab 表示 a 的 4 倍减去 b 的 3 倍，即 ab=4a-3b,试计算 56， 65。解 56=54-63=20-18=265=64-53=24-15=9说明 例 1 定义的没有交换律，计算中不得将 前后的数交换。例 2、对于两个数 a、b,规定 ab 表示 3a+2b,试计算（56）7，5（67） 。思路导航 ：先做括号内的运算。解：（56）7=（53+62）7=277=273+72=955（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例 3、已知 23=234，42=45 ，一般地，对自然
34、数 a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52） 。思路导航 ：原式=67-56=336-30规定：a =a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1 ）,其中 a,b 表示自然数。例 4、已知 13=1+2+3=6，求 1100 的值。已知 x10=75,求 x.思路导航 ：（1）原式=1+2+3+100= （1+100）1002=5050（2）原式即 x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以： 10X+(1+2+3+9)=7510x+45=75 10x=30x=3例5、定义运算：a b=3a+5ab+kb，其中a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=32
35、+527+7k。（1）已知52=73。问：85 与5 8 的值相等吗？（2）当k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a b=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为52=35+552+k2=65+2k，所以由已知52=73，得65+2k=73，求得k= （73-65）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因为244247，所以8558。（2）要使ab=b a，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3(a-b)-k(a-b)
36、=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数a ，b，要使上式成立，必有 3-k=0，即k=3。当新运算是 ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即 ab=ba。例6、对任意的数a ，b，定义： f（a ）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g （3）的值；（2）求f（g（2） ）+g（f（2） ）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x 的值。解：（1） f（5）-g （3）= （25+1）-（33）=2 ；（2）f（g（2） ）+g（f （2） ）=f（22 ）+g （22+1 ）=f（4）+g（5）= （24+1）+ （55）=34；（3）f（x+1）=2 （x+1）+
37、1=2x+3，由 f（x+1）=21，知 2x+3=21，解得 x=9。2、巩固训练1、 若对所有 b,ab =ax,x 是一个与 b 无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33） 。求（14）2 的值。2、如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。3、对于任意的两个数a 和 b，规定a*b=3a-b3 。求8*9 的值。4、对于任意的两个数P ， Q，规定PQ=（PQ）4。例如：28=（28 ）4。已知x（85）=10，求x 的值。5、定义：定义： ab=ab-3b，a b=4a-b/a。计算：（43） （24） 。6、已知： 23=234， 45=
38、45678 ，求（44）（33）的值。7、定义两种运算“ ” 和“”如下：ab 表示a，b 两数中较小的数的 3 倍，ab 表示 a，b 两数中较大的数的2.5 倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5 。计算：(0.6 0.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.64 0.2)。8、设m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算m n=（Am-n）4，并且23=0.75。试确定常数A，并计算：（57） （2 2）（32） 。9、对任意两个不同的自然数a 和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。比如73=1 ，5 29=4 ，4 20=0。（1）计算：19982000，
39、（519）19，5（195） ；（2）已知11x=4，x 小于20，求x 的值。10、对于任意的自然数a ， b，定义：f（a ）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6） ）-g （f（3） ）的值；（2）已知 f（g（x） ）=8，求 x 的值。奥数第五讲 周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断
40、重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。1、例题与方法指导例 1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_.思路导航 ：因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2 月 29 日均为星期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了31+30+31+1=93(天).因为 937=132，所以这年 6 月 1 日是星期二.例 2、1989 年 12 月 5 日是星期二,
41、那么再过十年的 12 月 5 日是星期_.思路导航 ：依题意知，这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652（天）因为（3652+1） 7=5216，所以再过十年的 12 月 5 日是星期日.注上述两题(题 1题 2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年.例 3、按下面摆法摆 80 个三角形,有_个白色的.思路导
42、航 ：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为 6，并且每一周期有 3 个白色三角形.因为 80 6=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形 13 3=39（个） .例 4、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯,小明想第 73 盏灯是_灯.思路导航 ：依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由 73 4=181,可知第 73 盏
43、灯是白灯.例 5、时针现在表示的时间是 14 时正,那么分针旋转 1991 周后,时针表示的时间是_.思路导航 ：分针旋转一周为 1 小时,旋转 1991 周为 1991 小时.一天 24 小时,1991 24=8223，1991 小时共 82 天又 23 小时.现在是 14 时正,经过 82 天仍然是 14 时正,再过 23 小时,正好是 13 时.注在圆面上,沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.例6、在100 米地跑道两侧每隔2
44、米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？解：一侧：1002=50（人） 50+1=51（人）51（2+1）=17 组一组里有2 个女生，女生217=34（人）两侧共有女生342=68（人）答：共有女生 68 人。2、巩固训练1. 把自然数 1,2,3,4,5如表依次排列成 5 列，那么数“1992”在_列.第一列 第二列 第三列 第四列 第五列1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 13 1418 17 16 15 2. 把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是_.743. 循环小数 与 .这两个循环小数在小数点后第_
45、位,9251.07463.0首次同时出现在该位中的数字都是 7.4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有 1991 个数.(1)其中共有_个 1,_个 9_个 4；(2)这些数字的总和是_.5、 7 7 7 7 所得积末位数是 _.50 个答案：1、3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组 9 个
46、数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用 9 除有如下规律:第 1 列用9 除余数为 1,第 2 列用 9 除余数为 2,，第 5 列用 9 除余数为 5.(3)10 9=11，10 在 1+1 组，第 1 列19 9=21，19 在 2+1 组，第 1 列因为 1992 9=2213，所以 1992 应排列在（221+1）=222 组中奇数排第 3列数的位置上.2、7=0.571428574它的循环周期是 6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8110 6=182因为余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第
47、2 个，就是 7.3、35因为 0.1992517 的循环周期是 7,0.34567 的循环周期为 5,又 5 和 7 的最小公倍数是 35,所以两个循环小数在小数点后第 35 位,首次同时出现在该位上的数字都是 7.4、853,570,568,8255.不难看出,这串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4 为一个循环,即周期为 7,且每个周期中有 3 个 1,2 个 9,2 个 4.因为 19917=2843，所以这串数中有 284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数 1，9，9.其中 1 的个数是:3284+1=853(个),9 的个数是 2284+2=570(个),4 的个数是 2284=568(个).这些数字的总和为1853+9570+4568=8255.3、拓展提升1. 紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如 8 9=72
