1、数学史上无理数 的几种三角函数求法【读三角之美 边边角角的趣事有感】江苏东海高级中学 222300 孟剑卫序言：笔者本人在读了马奥尔的这本精彩的书以后着实震惊，感觉到三角函数在数学的发展中与其他分支有着不可分割的关系，是代数与几何深入结合的产物。当三角函数用弧度制来表示的时候，就与一个无理数 联系到了一起。据了解现在计算机已经能够计算出圆周率 小数点后面 206,158,430,000 位十进制精度，这是怎么精确计算出来的？好，转入今天的正题，接下来我们就来看看几种常见的算法。一 sin1【倍角公式法】.先看一个三角函数中熟悉的二倍角公式 . (1) Xsin=2cos.in反复运用倍角公式，
2、则; , si=2co.sin4cos.in24xxx= 1si.c28nnxx,si,nxx对 求 极 限 当 取 充 分 小 时 sin2nx则 上 式 等 价 于in12.cosco.cs284nn= (2) 1.s.2nxxx于是 (3) 1sicoco.cs284nx上式也可写成： = （其中表示“乘积”）six1s2nkx)sin0(0,R说 明 ： 因 为 上 式 对 任 意 实 数 都 成 立 ， 包 括 如 果 我 们 定 义 =1，等式右边不可能出现 ，只能让左边出现 ，可令 2x,再重复利用半角公式 ，可以化简得到等式： 2cos41coscs2xx(4)2.2根据上式可
3、以精确算出 的值.2【泰勒展开式法】 sin,x由 泰 勒 公 式 可 得 的 展 开 式 即 它 的 幂 级 数 形 式 ：(5)n n上 面 的 式 子 是 一 个 次 多 项 式 ， 著 名 学 者 欧 拉 认 为 既 然 一 般 的 次 多 项 式 可 以那到1sinixn x写 成 个 形 如 的 因 子 的 乘 积 ， 那 么 也 可 以 写 成 无 穷 乘 积 的 形 式 ，i底 是 什 么 样 的 形 式 呢 ？ 只 需 将 每 个 因 子 中 的 用 的 零 点 代 入 即 可 。 所 以 :有(6)2222si.1.149xx n在上式中右边含有单独的 X 项，下面就从这个
4、 X 入手，作为联系 的工具：令得: （）2x1.216364整理得： 4357于是: （）210n，令 ，则会得到：当 然 ， 利 用 （ ） 式 还 可 得 到 其 他 含 的 形 式 ， 例 如 6x161281257379于是 : = (9)32106n二 .tan【泰勒展开式法】类似于上面的 的求法，sin（10）上式等价为:2222444cos11.195xxxn（11）到这里你也许要问了明明标题是用 来求 ，怎么写的是 ，没错，tan cos但细心的人很快就已经发现了这里的 是不具有引出 的能力的，在这里cos只起到为下一步作铺垫的作用。既然上式两边都不具备 X 项，那就可以与
5、结合起来作用，既可以与sin相乘，也可作 的分母，还可以作幂指数，当然幂指数在这里不好使就sin sin不必说了。相乘的话则有 = ，接下来的处理方法与 (7)类似这sincos12sin2里就不一一赘说了，下面主要讨论做分母的情况。将 展开式分别代入 得：sin， cos tan(12)22222222.11.1494 4.95tanxxxnx上面出现的这个式子看上去确实有点吓人，不过如果我们利用有理函数的部分分式分解这一技巧就方便多了，即如下的分解方法： 1122332121tan .2 21135nnABABABABxxxxxx(13) “”3为 了 求 出 上 式 的 各 项 系 数
6、， 我 们 采 用 一 种 清 除 分 母 的 方 法 ， 即 让 （ ） 式cossinxx左 右 两 边 同 时 乘 上 它 的 右 式 的 每 一 个 分 母 ， 即 ， 那 么 左 式 就 剩 下 了 ，:所 以 有 2222sin.11.149xn= 2221 4951Axx+ 222144.1.195xBxxn+2222 13A + 22224415xxnB + (14) 1 12211.xxAB上 式 只 有 项 中 不 含 有 也 只 有 项 中 不 含 有 根 据 以 上 特 点 ，, 4x 为 了 求 出 令 ， 则 其 余 项 都 被 消 去 。 于 是 有 16(15)
7、.1361246.357221 1:3解 出 A由 于 上 式 右 边222463.部 分 可 以 用 式 代 替 ， 所 以 化 简 得 ：1 1=B， 同 理 得 到 A(16)2i i i（ 以 ） 马 奥 尔 曾 给 出 A， B的 通 式 =-将这些系数带入(13)式，再两两分组分别相加，于是我们得到：(1)2222111tan8 .495494xxxxx 在(1)式中， 除了 外，其余实数均可取得，而且有一个单379,独的 项可以用来引出 。接下来的事就是将一些特殊的角度带入，例如x先举个特殊的例子吧，令 ，得到,436. 4x22221118 .495494 (18) 2222.
8、3517 观察中括号内的数字，均为 2,6,10 等数字的平方减去一，即 我们241n对其先因式分解，再裂项求和，得到所以: 4111. .35793 1.435793（19） 苏格兰数学家 James Gregory 曾在 1675 年用正切的反三角函数发现并证明出结论上述结论。他将 Z=1 带入正切的反三角函数就得到了（19）式。【注】从（17）式中我们还可以得到一个有趣的结论，令 ，将 除到左边0x去，对 求极限 ,所以（17）式就tanx000tansi1liml.limcosxxx变为 即 （20）2811.9542.8954多说一句，由上式可以联想到 11.46T解出 ，是一个定2
9、11. .92546384T T26值。上面涉及到一个无限循环小数的转换为分数的形式的方法，在这里稍微提一下：例如，0.9999990,9999=0,9+0.0999,在这里我们让 0,9999=T，则 T=0.9+ ,解出 10T 得 T=1，再比方说，3.67836783678,在这里让 S=3.67836783678所以 S=3.678+ ，同样可以解出 S。在第一个例子中，如果我们对100000.9999求极限的话，那它的值也是 1.好了，关于 的用法就先说到这里。tan【小结】上面主要介绍的是泰勒展开式法，下面先列出常用的几个三角函数的幂级数展开式，在这里就不一一讨论了，不过有一点，
10、那就是一定要构造出等式两边一边含有 X 的一项，而另一边带入 X 的时候， 能够被消掉。对于上面几个式子只要细心对比，找出共同之处，给予合适的构造一样可以有不可思议的用途。下面继续介绍上面在 SinX 中提到的倍角公式法在 cotX 中的应用。三 cot在这里我们主要介绍倍角公式法，先来看看余切倍角公式： 21tancotantcotcot 2xxx同样，对 有： (20) cot cotantcot22txx对上式重复使用倍角公式（当然，这里的 ），可以得,02nxZn其 中到一个无限的式子： cotancotan22txx= 2tt41111223211cottantatan.tantta
11、n2 2n nnxxxxxx (21)对 求极限得： 1cot2nx111limcotlicotlim22tan2nnnxxx于是我们得到： 1122321 11tantatan.tantt2nnxxxx这回好办了，等式两边的一边出现了含有的独立项，下面只需对1cotx进行赋值就大功告成了。在这里提一个比较特殊的情况，令上式中的取 ，得到 +21+12352431 114tantantan.tanttan=-2，为了使式子更“好看，我们把等式右边的用 给换掉，于是：t21123524321 114tantantan.tanttant再把等式两边同时除下，由此我们得到一个漂亮的式子 +22+11
12、54321ttt.ttt+ta=nnnn （）【后记】从上面的过程我们可以发现数学中各个分支中深藏的内在联系，解析几何将代数与几何结合在一起，向量，平面几何，三角函数，复数又是一个大家族，每个家族都如同一个小社会，每个人的分工明确，却又彼此互通，在两个世界连接的地方总能找到令人欣喜的东西，在现有的基础上，往往只要你敢往其他方向走上那么一小步，虽是一小步”，却连接了两个世界，就好比说从到的跨度虽远不及从到，但是却实现了从无到有的一个过程。有时候另一个世界也许没有人涉足过，这时候就需要有像冒险家一样的精神，“无限曾在数学史上被世人所忌讳，如今却也占据了数学的半壁江山。就拿上面讲到的来说吧， 原本与
13、三角函数没有什么关系，但在弧度制引进以后， 便成了三角函数的常客，弧度制就像是一种工具，链接两种不同事物的工具。再比如说，函数与几何变换，几何变换这一分支正是基于函数的发展而出现的，它将变换后的图形解释为原图形的一种对应，而几何变换就是研究这一对应的法则的一个分支，函数自然也是起到理论依据的作用。说到工具，导数，向量，微积分，矩阵等等，或者起到桥梁的作用，或者起到捷径的作用，都在不动声色的推动着各个分支发展与延伸。学科的不同分支有联系，不同学科之间也有联系，相互借鉴，相互利用。在这里以一个现象作结：两只蚂蚁在桌面上一张矩形纸（很长）的两段，（这里姑且将蚂蚁看做二维的），矩形纸上的蚂蚁走到一起是很费劲的，当我们从二维进入三维空间时，对于这个问题就很好办了，我们只需将矩形纸折起来，两只蚂蚁就可以毫不费力的走到了一起。这就启示我们在一个地方走不动，或者很费劲，这时候我们就要敢于跳出来，去寻找“另一条路”，当然，这条路可能并不事先就存在。参考文献：非凡的公式P149 P160 【以】tan马奥尔三角之美 边边角角的趣事 Peter Beckmann A History of Boulder，Colo：Golem Press，1977 PP132-133
