1、第 7 讲 空间向量在证明空间位置关系中的应用1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为Error!2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1l 2(或 l1 与 l2 重合)v 1v 2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 共面的两个不共线向量为 v1 和 v2，则 l 或l 存在两个实数 x，y，使 vxv 1yv 2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面
2、 的法向量为 u，则 l 或 lvu.(4)设平面 和 的法向量分别为 u1，u 2，则 u 1u 2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1l 2v 1v 2v 1v20.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 u，则 lvu .(3)设平面 和 的法向量分别为 u1 和 u2，则 u 1 u2u 1u20.1利用Error!，列出关于 n( x，y，z) 的方程组，即由 x，y，z 为未知数的两个三元一次方程组成的不定方程组，根据其特点令其中一个为非零实数即可求出其它两个例如令 zz 0(z00)可求出 xx 0，
3、y y 0，则法向量 n( x0，y 0，z 0)2利用向量方法求解立体几何问题，最后将向量关系“翻译”成几何元素关系1(选修 21 P118A 组 T7 改编)已知向量 a(1,1,0)，b(1，0,1)若 kab 与2ab 垂直，则 k 的值为( )A. B.15 25C. D.35 45解析：选 D.kabk(1,1,0) ( 1,0,1)(k1，k, 1)，2ab2(1,1,0)(1,0,1)(3,2，1)，因为 kab 与 2ab 垂直(k 1，k,1)(3,2，1) 0，即 3k32k10，k ，故选 D.452(选修 21 P104 练习 T2(3)改编) 已知平面 ， 的法向量
4、分别为 n1(2,3,5) ，n2( 3,1， 4)，则( )A BC， 相交但不垂直 D以上均不对解析：选 C.n1 n2，且 n1n22( 3)315( 4)230， 不平行，也不垂直，故选 C.3(选修 21 P104 内文改编)已知直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量为 u，v，有下列命题：若 au，则 l ；若 ab，au 则 m；若 uv，则 ；若 au，u v，则 l.其中真命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 B.对于，l 可能在平面 内，故 为假；对于 ，由 ab，即 lm，由 au，则有 l，m，故 为真；对于 ，由 uv，则以 u，v为法向
5、量的两平面 ， 平行即 uv，且 u，v，故 为真；对于 ，由 au，则 l，又由 uv，则 ，l 或 l ，故 为假，、为真，故选 B.4(选修 21 P107 练习 T1 改编) 如图，F 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 CD 的中点E是 BB1 上一点，若 D1FDE ，则有( )AB 1EEBBB 1E2EBCB 1E EB12DE 与 B 重合解析：选 A.建立如图所示的空 间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 2，则 D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，且设 E(2,2，t)则 (0,1，2)， (2,2 ，t)
6、D1F DE 由 D1FDE，得(0,1，2)(2,2， t)0，即 22t0.t1，即 E 为 BB1 的中点，故选 A.5(选修 21 P118A 组 T10 改编)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F、G 分别是 DD1，BD ， AA1 的中点，求证 D1G平面 EFC.证明：取基底 ， ， a，b，c，由 题意有 cb，DA DC DD1 EC ED DC 12 c a b.EF ED DF 12 12 12 a c，GD1 GA1 A1D1 12设 .GD1 EC EF 即(a c) ( cb)( c a b)，12 12 12 12 12Error!解得 1，
7、 2.即存在 1，2，使 ，GD1 EC 2EF 即 、 、 共面又 GD1平面 EFC.GD1 EC EF GD1平面 EFC.(提示：此题还有其他两种证明方法： 建立空间直角坐标系，求出 EFC 的法向量 n，证明 n ；连接 GB 与 BD1，证明平面 GBD1平面 EFC.)D1G 利用向量法证明平行问题 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别是 BB1，DD 1 的中点求证：FC1平面 ADE.证明 如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)(0,
8、2,1)， (2,0,0)， (0,2,1) FC1 DA AE 设 n(x，y，z)是平面 ADE 的一个法向量，则Error!即Error!解得Error!令 z2，则 y1.所以 n(0， 1,2)因为 n220.所以 n.FC1 FC1 因为 FC1平面 ADE，所以 FC1平面 ADE.用向量证明线面平行的方法有：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 1.如图所示，在三棱锥 PABQ 中，PB平面 ABQ，BA BPBQ，D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP，BP
9、 的中点， AQ2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接GH.求证：ABGH.证明：在ABQ 中，AQ 2BD ，ADDQ ，所以 ABQ90，又 PB平面 ABQ，所以BA，BQ，BP 两两互相垂直以 B 为坐标原点，分别以 BA，BQ，BP 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 BABQ BP2，则 B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0，0,2)，Q(0，2,0)所以 (2,0,0)AB 因为点 D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，所以点 G，H 分别是PAQ，PBQ的重心，所以 G ，H ，所以 .(2
10、3，23，23) (0，23，23) GH ( 23，0，0)所以 3 ，所以 ，即 ABGH.AB GH AB GH 2.如图所示，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且PA AD2，E ，F，G 分别是线段 PA，PD ，CD 的中点求证：PB平面 EFG.证明：平面 PAD平面 ABCD，且 ABCD 为正方形， AB，AP，AD 两两垂直以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)法一： (0
11、,1,0)， (1,2，1)，EF EG 设平面 EFG 的法向量为 n(x，y ，z)，则Error!即Error!令 z1，则 n(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量， (2,0，2)， n0，n ，PB PB PB PB平面 EFG，PB平面 EFG.法二： (2,0，2)， (0， 1,0)，PB FE (1,1，1)FG 设 s t ，即(2,0，2)s (0， 1,0)t (1,1， 1)，Error!解得 st 2.PB FE FG 2 2 ，又 与 不共线，PB FE FG FE FG ， 与 共面PB FE FG PB平面 EFG，PB平面 EFG.利用向量法证明垂直问
12、题 如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB BCBD 2，ABCDBC120，E，F 分别为 AC，DC 的中点求证：EFBC .证明 法一：E、F 分别是 AC，DC 的中点 ( )EF 12AD 12BD BA 又| | | | |2，AB BC BD ， ， 120.BA BC BD BC ( ) ( ) (22cos 12022cos 120)EF BC 12BD BA BC 12BD BC BA BC 120， .即 EFBC.EF BC 法二：由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC
13、内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得 B(0,0,0)，A(0，1， )，3D( ，1,0) ，C(0,2,0)，3因而 E(0， )，F( ，0)，12 32 3212所以 ( ，0， )， (0,2,0)，EF 32 32 BC 因此 0. 从而 ，所以 EFBC.EF BC EF BC 用向量证明垂直的方法：线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 1.在如图所示的几何体中，四
14、边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面 ABCD，AE BD，CB CDCF.求证：BD 平面 AED.证明：连接 AC，ABCD，DAB60 ，ADCBCD120.又 CDCBAD，DACDCA30， ACB90，即 ACBC.以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CF 所在的直 线为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，不妨设 BC1，则 C(0,0,0)，B(0,1,0)，A( ，0,0)，D ，3 (32， 12，0)F(0,0,1)，因此 ， ， 0，BD AD，又 AEBD，BD ( 32， 32，0) AD ( 32， 12，0) BD
15、AD 且 AEAD A，AE，AD平面 AED，BD平面 AED.2.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，B C90 ，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB 4PM，PB 与平面 ABCD 成 30角(1)求证：CM平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PAD.证明：(1)以 C 为坐标原点，分别以 CB 所在直线为 x 轴，CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线为 z 轴建立如图(1) 所示的空 间直角坐标系 Cxyz，图(1)PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBC30.PC2，BC2 ，P
16、B4.3D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，3 3M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3,0)，32 32 DP DA 3( ，0， )，CM 32 32令 n(x，y，z)为 平面 PAD 的一个法向量，则Error!即Error!Error!令 y2，得 n( ，2,1)3n 201 0，CM 3 32 32n ，又 CM平面 PAD，CM CM平面 PAD.(2)如图(2)，取 AP 的中点 E，图(2)则 E( ，2,1)， ( ，2,1)3 BE 3PBAB，BEPA.又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0，BE DA 3 3 ，BED
17、A，又 PADAA，BE DA BE平面 PAD，又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.立体几何中的探索性问题 如图所示，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍， P 为侧棱 SD 上的点2(1)求证：ACSD ；(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC？若存在，求 SE EC 的值；若不存在，试说明理由解 (1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，则 ACBD.连接 SO，由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点， ， ， 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角OB OC
18、OS 坐标系设底面边长为 a，则高 SO a，62于是 S ，D ，(0，0，62a) ( 22a，0，0)B ，C ，(22a，0，0) (0，22a，0) ，OC (0，22a，0) ，SD ( 22a，0， 62a)则 0.故 OCSD.OC SD 从而 ACSD.(2)棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.理由如下：由已知条件知 是平面 PAC 的一个法向量，DS 且 ，DS ( 22a，0，62a) ，CS (0， 22a，62a) .BC ( 22a，22a，0)设 t ，则 tCE CS BE BC CE BC CS ，( 22a，22a1 t，62at)由 0 t .
19、BE DS 13即当 SEEC21 时， .BE DS 又 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标 ，即找到“存在点” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在” 1.(2016武汉调研)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都等于 2，ABC 和A 1AC均为 60，平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求证：BD AA1；(2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置，若
20、不存在，请说明理由解： (1)证明：设 BD 与 AC 交于点 O，则 BDAC，连接 A1O，在AA 1O 中，AA12，AO 1 ，A1AO60，A 1O2AA AO 22AA 1AOcos 603，AO 2A 1O2AA ，21 21A1OAO.由于平面 AA1C1C平面 ABCD，A1O平面 ABCD.以 OB，OC，OA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0， 1,0)，B( ，0,0)，3C(0,1,0)，D( ，0,0)，A1(0,0， )，C1(0,2， )3 3 3由于 ( 2 ，0,0)， (0,1， )，BD 3 AA1 3
21、0(2 )10 00，AA1 BD 3 3 ，即 BDAA1.BD AA1 (2)假设在直线 CC1 上存在点 P，使 BP平面 DA1C1，设 CC 1，P(x，y，z)，则(x，y 1，z)(0,1， )CP 3从而有 P(0,1 ， )， ( ，1， )3 BP 3 3设 n3平面 DA1C1，则Error!又 (0,2,0)， ( ，0， )，A1C1 DA1 3 3设 n3(x 3，y3，z3)，Error!取 n3(1,0 ，1)，因为 BP平面 DA1C1，则 n3 ，即 n3 0，BP BP 3 3得 1，即点 P 在 C1C 的延 长线上，且 C1CCP.2.如图，在四棱柱
22、ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面ABCD，ABDC，AA 11，AB 3k，AD 4k ，BC 5k，DC6k(k0)(1)求证：CD 平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值67解：(1)证明：取 CD 的中点 E，连接 BE，如图(1)图(1)ABDE，ABDE3k ，四边 形 ABED 为平行四边形，BEAD 且 BEAD4k .在BCE 中，BE4k， CE 3k，BC5k， BE2CE 2BC 2，BEC90，即 BECD.又 BEAD，CDAD.AA1平面 ABCD，CD平面 ABCD，AA1CD.又 AA1AD A
23、， CD平面 ADD1A1.(2)以 D 为原点， ， ， 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立如图(2) 所示的空间直角DA DC DD1 坐标系，则 A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)， (4k,6k,0) ， (0,3 k,1)，AC AB1 (0,0,1)AA1 图(2)设平面 AB1C 的法向量 n(x， y，z)，则由Error!得Error!取 y2，得 n(3,2，6k)设 AA1 与平面 AB1C 所成的角为 ，则sin |cos ，n| ，解得 k1，故所求 k 的值为 1.AA1 |AA1 n|AA1 |n| 6k36k2
24、 13 671(选修 21 P117A 组 T3 改编) 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为 2，底面边长为1，M 为 BC 的中点， ，且 AB1MN，求 的值C1N NC 解：如图所示，取 B1C1 中点 P，以 ， ， 的方向为 x，y，z 轴正方向建立空间直角MC MA MP 坐标系，底面 边长为 1，侧棱长为 2，则 A(0， ，0)，B1( ，0,2)，C( ，0,0)，C1( ，0,2)，M(0,0,0)，32 12 12 12设 N( ，0，t)，12 ，N( ，0， )，C1N NC 12 21 ( ， ，2)，AB1 12 32( ，0， )MN 12 21 又
25、AB1MN， 0.AB1 MN 0， 15.14 41 2. (选修 21 P113B 组 T2 改编 )如图，四边形 ABEF 与 ABCD 是两个全等的正方形，且平面 ABEF 与平面 ABCD 互相垂直，M、N 分别是 AC 与 BF 上的点，且 CMBN.(1)求证 MNAB；(2)求证 MN平面 CBE.证明：(1)设正方形的边长为 1. ，则 .CM CA BN BF 取一组向量的基底为 ， ， ，记为a，b， cBA BE BC 则|a |b| c|1，且 abbcca0. MN MC CB BN CA CB BF (ac )c (ab) b( 1) c， b(1)caMN BA
26、 (ba)( 1)( ca)0( 1)00. ，即 MNAB.MN BA (2)法一：由(1)知 MNAB.又 ABBE，ABBC，BEBC B .AB平面 CBE.又 MN平面 CBE.MN平面 CBE.法二：由(1)知， b( 1)cMN (1) .BE BC 与平面 CBE 共面MN 又 MN平面 CBE.MN平面 CBE.3(选修 21 P119B 组 T2 改编)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1AD 1，E为 CD 的中点(1)求证：B 1EAD 1；(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由解：
27、(1)证明：以 A 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间AB AD AA1 直角坐标系(如图)设 ABa， 则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E ，B1(a，0,1)，故 (0,1,1)， ， (a,0,1) ，(a2，1，0) AD1 B1E ( a2，1， 1) AB1 .AE (a2，1，0)因为 01 1(1)10，B1E AD1 a2所以 B1EAD1.(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP平面 B1AE，此时 (0， 1，z0)DP 又设平面 B1AE 的法向量 n(x，y ，z)因为 n平面
28、B1AE，所以 n ，n ，得Error!AB1 AE 取 x1，则 y ，za，得平面 B1AE 的一个法向量 n .a2 (1， a2， a)要使 DP平面 B1AE，只要 n ，有 az 00，解得 z0 .DP a2 12又 DP平面 B1AE，所以存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时|AP| .12一、选择题1在空间四点 O，A，B，C 中，若 ， ， 是空间的一个基底，则下列命题不OA OB OC 正确的是( )AO，A，B ，C 四点不共线BO，A，B，C 四点共面，但不共线CO，A，B，C 四点不共面DO，A，B ，C 四点中任意三点不共线导学号 03350667 解析：
29、选 B.选项 A 对应的命题是正确的，若四点共线，则向量 ，OA ， 共面，构不成基底；选项 B 是错误命题，若四点共面，则 ， ， 共面构不成基OB OC OA OB OC 底；选项 C 是正确的，若四点共面，则 ， ， 构不成基底；选项 D 是正确的，若有三点共OA OB OC 线， 则这四点共面，向量 ， ， 构不成基底OA OB OC 2正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别是面 A1B1C1D1 和侧面 DCC1D1 的中心，若 0( R)，则 的值为 ( )EF A1D A1 B. 12C1 D12导学号 03350668 解析：选 D.如图，连接 A1C1，C1D
30、，则 E 在 A1C1 上， F 在 C1D 上，易知 EF 綊 A1D， ，即 0， ，故选 D.12 EF 12A1D EF 12A1D 123如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M ，N 分别为 A1B，AC 上的点，A 1MAN ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( )2a3A相交 B平行C垂直 D不能确定导学号 03350669 解析：选 B.正方体的棱长为a，A1M AN ， ， ， 2a3 MB 23A1B CN 23CA MN MB BC CN 23A1B BC 23CA ( ) ( )23A1B1 B1B BC 23CD DA ，又 是平
31、面 B1BCC1 的一个法向量，23B1B 13B1C1 CD 且 0，MN CD (23B1B 13B1C1 )CD ，MN CD MN平面 B1BCC1，故选 B.4已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C ，若x y z (x，y，zR) ，则“x2，y 3， z2”是“P，A，B，C 四点共OP OA OB OC 面”的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件导学号 03350670 解析：选 B.当 x2，y 3，z2 时，即 2 3 2 .OP OA OB OC 则 2 3( )2( )，即 3 2 ，根据共面向量定理AP AO OA AB A
32、O AC AO AP AB AC 知，P ，A，B，C 四点共面；反之，当 P，A，B，C 四点共面时，根据共面向量定理，设 m n (m，nR)，即 m ( )n ( )，即 (1mn)AP AB AC OP OA OB OA OC OA OP m n ，即 x1mn，y m， zn， 这组数显 然不止 2，3,2.OA OB OC 故“x2，y3，z2”是“ P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件，故选 B.5.如图，已知边长为 6 的正方形 ABCD 和正方形 ADEF 所在平面互相垂直，O 是 BE的中点， ，则线段 OM 的长为( )FM 12MA A3 B.2 19C2 D.5
33、 21导学号 03350671 解析：选 B.由题意可建立以 D 为坐标 原点， DA，DC，DE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴的空 间直角坐标系(图略)，则 E(0,0,6)，B(6,6,0)，M(6,0,4)，O(3,3,3)，所以| | ，即线段 OM 的长为 ，故 选 B.OM 6 32 0 32 4 32 19 196如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点，当 BFPE 时，AFFD 的值为( )A12 B11C31 D21导学号 03350672 解析：选 B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA
34、 a，则 B(1,0,0)，E ，P(0,0，a)(12，1，0)设点 F 的坐标为(0，y, 0)，则 (1，y,0)， ( ，1，a)，BF PE 12BFPE， 0，BF PE 解得 y ，即点 F 的坐标为 ，12 (0，12，0)F 为 AD 的中点，AFFD11，故 选 B.二、填空题7已知 (1,5，2)， (3,1，z )，若 ， (x1，y，3) ，且 平AB BC AB BC BP BP 面 ABC，则 _.BP 导学号 03350673 解析： ，AB BC 0，352z0，z 4.AB BC (x1，y，3)，且 平面 ABC，BP BP Error!，即 Error!
35、，解得Error!，故 .BP (337， 157， 3)答案： (337， 157， 3)8P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点如果 (2，1，4) ， (4,2,0)，AB AD (1,2， 1)对于结论： AP AB；APAD； 是平面 ABCD 的法向量；AP AP .其中正确结论的序号是_AP BD 导学号 03350674 解析：由于 2(1) (1)2( 4)(1) 0.AB AP 4(1)220 (1)0，所以 正确AP AD 答案：9已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VAVB VCVD， ， VP 13VC VM 23， .VB VN 23VD 则 VA
36、与平面 PMN 的关系是_导学号 03350675 解析：如图， 设 a， b， c，则 acb，VA VB VC VD 由题意知 b c，PM 23 13 PN 23VD 13VC a b c.23 23 13因此 ， ， ， 共面VA 32PM 32PN VA PM PN 又 VA平面 PMN，VA平面 PMN.答案：平行三、解答题10.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， AB4 ，BC3，AD 5，DAB ABC 90 ， E 是 CD 的中点证明：CD平面 PAE.导学号 03350676证明：以 A 为坐标原点，AB ，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z
37、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAh，则 A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)则(4,2,0)， (2,4,0) ， (0,0，h)CD AE AP 8800， 0，CDAE， CDAP.CD AE CD AP 又 AP平面 PAE.AE平面 PAE，APAEA，CD 平面 PAE.11.如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB PD.证明：12平面 PQC平面 DCQ.导学号 03350677 证明：如图，以 D 为坐标原点， 线段 DA，DP，DC 所在直线为 x轴， y 轴，z
38、轴建立空间直角坐标系 Dxyz.设 DA1，则有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，(1,1,0)， (0,0,1)， (1，1,0)DQ DC PQ 0， 0.PQ DQ PQ DC 即 PQDQ，PQDC，又 DQDCD，故 PQ平面 DCQ，又 PQ平面 PQC，平面 PQC平面 DCQ.12如图，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，M ，N 分别是 AB，PC 的中点(1)指出直线 MN 的一个以 A 为起点的方向向量；(2)若PDA45，求证 为平面 PCD 的一个法向量MN 导学号 03350678 解：(1)如图，取 PD 的中点 E，连接 NE，AE，因为
39、 N 是 PC 的中点，所以 NEDC，NE DC.12又 DCAB，DCAB ，AM AB，所以 AM 綊 CD，所以 NE 綊 AM.12 12所以四边形 AMNE 是平行四边形，所以 MNAE.所以 为直线 MN 的一个以 A 为起点AE 的方向向量(2)证明：在 RtPAD 中，PDA45 ，所以 APAD，所以 AEPD，又因 为 MNAE，所以 MNPD，因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，又因 为 CDAD，PAADA，所以 CD平面 PAD，因为 AE平面 PAD，所以 CDAE.又因为 MNAE，所以 CDMN，又因为 CDPDD ，所以 MN平面 PCD.所以 为平面 PCD 的一个法向量MN
