1、错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256错解剖析得真知（三十一） 第十章 导数及其应用10.1 导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应地改变，如果当 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 c（也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 c 称为函数 在点 的瞬时变化率。2.导数：当 趋近于零时， 趋近于常数 c。可用符号“ ”记作：当 时，或记作 ，符号“ ”读作“趋近于”。函数在 的瞬时变化率，通常称作 在 处的导数，并记作 。3.导函数：如果 在开区间 内每一点
2、都是可导的，则称 在区间 可导。这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为 或 （或 ）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 ， 是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设 ， 是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设 ， 是可导的， ，则5.复合函数的导数:设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数 ,则复合函数 在点 处
3、有导数,且 .6.几种常见函数的导数：错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则 ,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是 。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 选成 ，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜
4、率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.表示 处的导数，即 是函数在某一点的导数； 表示函数 在某给定区间内的导函数，此时 是在 上 的函数，即 是在 内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数 在 处可导，则此函数在点 处连续，但逆命题不成立，即函数在点 处连续，未必在 点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数 在 处的导数，表示曲线在点 处切线的斜率，因此，曲线 在点 处的切线方程可如下求得：错解剖析得真知 高中数学 QQ:326
5、416256（1）求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ，如果曲线 在点的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 .三、经典例题导讲例 1已知 ,则 .错因：复合函数求导数计算不熟练,其 与 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.正解：设 , ,则.例 2已知函数 判断 f(x)在 x=1 处是否可导？错解： 。分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： f(x)在 x=1 处不可导.注： ，指 逐渐减小趋近于 0； ，指 逐渐增大趋近于 0。点
6、评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 ，x0，包括x0 ，与x0 ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例 3求 在点 和 处的切线方程。错因：直接将 ， 看作曲线上的点用导数求解。错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 在 处的函数值；点 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线解：即过点 的切线的斜率为 4，故切线为： 设过点 的切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，又 ，故 ， 。即切线 的斜率
7、为 4 或 12，从而过点 的切线为：点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例 4求证：函数 图象上的各点处切线的斜率小于 1，并求出其斜率为 0 的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数 的图象上各点处切线的斜率都小于 1，只要证它的导函数的函数值都小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1） ，即对函数 定义域内的任一 ，其导数值都小于 ，于是由导数的几何意义可知，函数 图象上各点处切线的斜率都小于 1.（2）令 ，得 ，当 时， ；当 时， ，曲线 的斜率为 0 的切线有两条，其切点分别为 与 ，切线方程分别为
8、或 。点评： 在已知曲线 切线斜率为 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为 时的解，即方程 的解，将方程 的解代入 就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程 有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. 例 5（02 年高考试题）已知 ，函数 ， ，设 ，记曲线 在点处的切线为 . 错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256（1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为 ，求证： ； 若 ，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解：（1）切线 的方程为即 .（2）依题意，切线方程中令 y=0 得， 由知
9、 ，例 6求抛物线 上的点到直线 的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点 到直线的距离表示为自变量 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线 的距离即为本题所求. 解：根据题意可知，与直线 xy2=0 平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到直线 xy2=0 的距离最短，设切点坐标为（ ），那么 ,错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256 切点坐标为 ，切点到直线 xy2=0 的距离 ， 抛物线上的点到直线的最短距离为 .四、典型习题导练1.函数 在 处不可导，则过点 处，曲线 的切线 （ ） A必不存在 B
10、必定存在 C必与 x 轴垂直 D不同于上面结论2. 在点 x=3 处的导数是_.3.已知 ，若 ，则 的值为_.4.已知 P（1，1），Q（2，4）是曲线 上的两点，则与直线 平行的曲线 的切线方程是 _. 5.如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线 和 的一个交点为 P 的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点 ，并求出定点 的坐标.错解剖析得真知（三十二） 10.2 导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有 （或 ），则称 为函数的一个极大（
11、小）值，称 为极大（小）值点.（2）求可导函数 极值的步骤:求导数 。求方程 的根.求方程 的根.检验 在方程 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设 是定义在区间 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上的最大值与最小值，可分两步进行.求 在 内的极值.将 在各极值点的极值与 、 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数 在 上单调增加，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在 上单调递减，则 为函数的最大值， 为
12、函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为 0 的点称为函数 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 在点 处有极小值 =0，可是这里的 根本不存在，所以点 不是 的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数 的导数 ，在点 处有，即点 是 的驻点，但从 在 上为增函数可知，点 不是 的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系
13、式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是
14、局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.三、经典例题导讲例 1已知曲线 及点 ，求过点 的曲线 的切线方程.错解： ， 过点 的切线斜率 ， 过点 的曲线 的切线方程为 .错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点 凑巧在曲线 上，求过点 的切线方程，却并非说切点就是点 ，上述解法对求过点 的切线方程和求曲线在点 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：
15、设过点 的切线与曲线 切于点 ，则过点 的曲线 的切线斜率，又 ， 。 点 在曲线 上，代入得化简，得 ， 或 .若 ，则 ，过点 的切线方程为 ；若 ，则 ，过点 的切线方程为 过点 的曲线 的切线方程为 或例 2已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围.错解： 在 上是减函数， 在 上恒成立，对一切 恒成立， ，即 ， .正解: ， 在 上是减函数， 在 上恒成立， 且 ，即且 ， .错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256例 3当 ，证明不等式 .证明： ， ，则 ，当 时。 在 内是增函数， ，即 ，又 ，当 时， ， 在 内是减函数， ，即 ，因此，当 时，不等式 成立.点
16、评：由题意构造出两个函数 ， .利用导数求函数的单调区间，从而导出及 是解决本题的关键.例 4设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?解 ： 设 BD 之间的距离为 km,则|AD|= ,|CD|= .如果公路运费为 元/km,那么铁路运费为 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 为: + ,
17、( ).对该式求导,得 = + = ,令 ,即得 25 =9( ),解之得=15, =-15(不符合实际意义 ,舍去).且 =15 是函数 在定义域内的唯一驻点,所以 =15 是函数 的极小值点,而且也是函数 的最小值点 .由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简
18、单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例 5（2006 年四川）函数 ，其中 是 的导函数.（1）对满足1 1 的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；（2）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与直线 3 只有一个公共点.解：（1）由题意令 ，对 ，恒有 ，即错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256 即解得故 时，对满足 1 1 的一切 的值，都有 .（2）当 时， 的图象与直线 只有一个公共点当 时，列表： 极大 极小又 的值域是 ，且在 上单调递增当 时函数 的图象与直线
19、 只有一个公共点 .当 时，恒有由题意得即解得综上， 的取值范围是 .例 6若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动，桌面上有与点 O 距离为 的另一点 A，问电灯与点 0 的距离怎样，可使点 A 处有最大的照度？（ 照度与 成正比，与 成反比）分析：如图，由光学知识，照度 与 成正比，与 成反比，即 （ 是与灯光强度有关的常数）要想点 处有最大的照度，只需求 的极值就可以了.错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256解：设 到 的距离为 ，则 ，于是 ， .当 时，即方程 的根为 （舍）与 ，在我们讨论的半闭区间 内，所以函数在点 取极大值，也是最大值。即当电灯与 点距离为 时，
20、点 的照度 为最大. （0， ）+ - 点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 =0 且在该点两侧， 的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.四、典型习题导练1已知函数 ，若 是 的一个极值点，则 值为 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函数 在 处有极值为 10，则 = .3给出下列三对函数： ， ， ；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .4已知函数 有极大值和极小值，求 的取值范围.5已知抛物线 ，过其上一点 引抛物线的切线 ，使 与两坐标轴在第一象
21、限围成的三角形的面积最小，求 的方程.错解剖析得真知 高中数学 QQ:3264162566设 在 上的最大值为 ， ，（1）求 的表达式；（2）求 的最大值.10.3 定积分与微积分基本定理一、知识导学1可微：若函数 在 的增量 可以表示为 的线性函数 （ 是常数）与较 高阶的无穷小量之和:（1）,则称函数 在点 可微，（1）中的 称为函数 在点 的微分，记作 或.函数 在点 可微的充要条件是函数 在 可导，这时（1）式中的 等于 .若函数在区间 上每点都可微，则称 为 上的可微函数.函数 在 上的微分记作 .2微积分基本定理：如果 ，且 在 上可积.则.其中 叫做 的一个原函数.由于 ， 也
22、是 的原函数，其中 为常数.二、疑难知识导析1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者 趋近于 0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成 份，这样只要 2 其中的使 就可以了.2）对每个小区间内 的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是 ，而是 .2在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下
23、选那个不带常数的。因为 .3利用定积分来求面积时，特别是位于 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256三 、经典例题导讲例 1求曲线 与 轴在区间 上所围成阴影部分的面积 S.错解：分两部分，在 ，在 ，因此所求面积 为 2+（-2）=0。分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。正解：例 2用微积分基本定理证明（ ）分析：即寻找 的原函数代入进行运算。解；设 ，则= =由微积分基本定理的逆运用可知：上式所以原式成立，即证。注：该式可用来求分
24、布在 轴两侧的图形的积分。例 3根据等式求常数 的值。1） 2）分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入 求解解：1）2）例 4某产品生产 x 个单位时的边际收入 （） 求生产了 50 个单位时的总收入。（） 如果已生产了 100 个单位时，求再生产 100 个单位时的总收入。错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数 和边际收入的关系可得（1）生产 50 个单位时的总收入为 = =99875（2）已生产了 100 个单位时后，再生产 100 个单位时的总收入为答：生 产 50 个 单 位 时 的 总
25、 收 入 为 99875； 生 产 了 100 个 单 位 时 后 ， 再 生 产 100 个 单 位 时 的 总 收 入为 19850.例 5一个带电量为 的电荷放在 轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿 轴方向从 处移动到 处时电场力对它所作的功。分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。解：单位正电荷放在电场中，距原点 处，电荷对它的作用力为在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知答：电场力对它做的功为 。例 6一质点以速度 沿直线运动。求在时间间隔 上的位移。分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。解：答：位移为
26、。四、典型习题导练1. ( )错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256A. B. C. D.2 （ ）A0 B.2 C.-2 D.4 3 ，则 。4利用概念求极限：5求下列定积分；（1） （2） 6写出下面函数在给定区间上的总和 及 的表达式错解剖析得真知（三十三） 第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如 的数（ ），复数通常有小写字母 表示，即 ,其中 叫做复数的实部、叫做复数的虚部， 称做虚数单位.2. 分类：复数 ( )中，当 时，就是实数；除了实数以外的数，即当 b 时， 叫做虚数；当 ,b 时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复
27、数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，记作： = .错解剖析得真知 高中数学 QQ:3264162565. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设 = ,则向量 的长度叫做复数 的模（或绝对值），记作 .(1) ；(2) = ；(3) ；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2 则 ，而 ，则 不一定成立，如 时 ；3 ，而 则 不一定成立；4若 不一定能推出 ；5若 ，则
28、= ，但若 则上式不一定成立.三、经典例题导讲例 1两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数错解:当得到 时就错误的选 B，忽略了 b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为 及 则 或当 时， ， 为纯虚数当 时， ， ，因此应选 D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.例 2判断下列命题是否正确(1)若 , 则(2)若 且 ，则(3)若 ，则错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复错解剖析得真知 高中数学 QQ:326
29、416256数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设 则(2)错，反例设 ， ，满足 ，但不能比较大小.(3)错， ， ，故 ， 都是虚数，不能比较大小.例 3实数 分别取什么值时，复数 是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解：实部 ，虚部 .（1）当 时， 是实数；（2）当 ，且 时， 是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数例 4 设 ，当 取何值时，(1) ; (2) .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法
30、，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值解：(1)由可得： 解之得 ，即：当 时 (2)当 可得：或 ，即 时 .例 5 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点 P 和 Q，且 ，证明OPQ 为直角三角形（ O 是坐标原点），并求两锐角的度数分析 本题起步的关键在于对条件 的处理等式左边是关于 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256解：由 （ ，不为零）， 得即向量 与向量 的夹角为 ，在图中， ，又 ，设 ，在OPQ 中，由余弦定理OPQ 为直角三角形，四、典型习题导练1. 设复数 z 满足关系 ，那么
31、 z 等于（ ）A B C D2.复数系方程 有实数根，则这个实数是 .3. 实数 m 取何值时，复数 是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限4.已知 且 求复数 .5.设复数 满足 且 在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求 的值.错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256错解剖析得真知（三十四） 11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以 、 为两邻边的平行四边形对角线 所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数 是连接向量 、 的终点，并指向被减数的向量 所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数 z 、
32、、 和自然数 m、n，有， ，(2) ， ， ， ；， ， ， .(3) ， ， .(4)设 ， ， ， ， ，二、疑难知识导析1.对于 ，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当 时，不总是成立的.(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256三、经典例题导讲例 1 满足条件 的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆错解：选 A 或 B.错因：如果把 看作动点 Z 到定点（0，2）
33、的距离，由上式表示到两个定点（ 0，2）与（-1，0）的距离之和为常数动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解： 点（0 ，2）与（-1，0）间的距离为 ，动点在两定点（ 0，-2）与（-1，0）之间，选 C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.例 2 求值：错解：原式=错因：上面的解答错在没有真正理解 的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=评注：虚数单位 整数幂的值具有以 4 为周期的特点，根据 必须按被 4 整除余数为
34、 0、1、2、3 四种情况进行分类讨论.例 3已知 ，求 的值.错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式 ，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.原式=评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例 4 （06 年上海春卷）已知复数 满足 为虚数单位）， ，求一个以 为根的实系数一元二次方程.解法一： ， . 若实系数一元二次方程有虚根 ，则必有共轭虚根 . ，所求的一个一元二次方程可以是 . 解法二：设，得 ， 以下解法同解法一.例 5解析 错解剖析得真知 高中数学 QQ:3264162
35、56四、典型习题导练1（06 年四川卷）非空集合 关于运算 满足：（1）对任意 ，都有 ； （2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称 关于运算 为“融洽集”；现给出下列集合和运算： 其中 关于运算 为“融洽集”_;（写出所有“融洽集”的序号）2. 3计算4.计算 5解下列方程：(1) ；(2) . 错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256错解剖析得真知（三十五） 第十二章 统计121 抽样方法一、知识导学1抽签法：（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从 1 到 N）；（2）将 1 到 N 这 N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；（3）将号签放在
36、同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽出 1 个号签，并记录其编号，连续抽取 k 次；（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.2随机数表法：（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；（2）在随机数表中任选一个数作为开始；（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；（4） 根据选定的号码抽取样本.3系统抽样（等距抽样）：（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号按一定的间隔（设为 k）分段，当 （N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时， ；当
37、 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数 N 能被 n 整除，这时 ，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 ；（4）将编号为 的个体抽出.4分层抽样：（1）将总体按一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.二、疑难知识导析1简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.2简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.3简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多
38、的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.错解剖析得真知 高中数学 QQ:3264162564 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样.5 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.三、经典例题导讲例 1某工厂生产 A,B,C,D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中 A 型号有 16 件，那么此样本容量 n 是多少？错解：样本容量 16 =2（件）错因：混淆了 A 型号产品与样本容量的比例关系 .正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，
39、所以，样本容量为答：此样本容量为 88 件.例 2从 1002 名学生中选取 100 名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤 .解：（1）将 1002 名学生进行编号，号码分别为 1，2，1002；（2）用随机数表法剔除 2 个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为 1，2，1000；（3）将 1000 个号码平均分成 100 组，并在第一组 1，2，10 中用简单随机抽样法确定一个号码（如 ）；（2） 将号码为 的个体抽出.例 3某学校有 2005 名学生，从中选取 20 人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？分析：由于学
40、生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法解：采用随机数表法实施步骤：（1） 对 2005 名同学进行编号，0000-2004（2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如 21 行 45 列的数字 9 开始的 4 位：9706；依次向下读数，5595，4904,，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在 0000-2004 范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1
41、855 的学生组成容量为 20 的样本.例 4某工厂有 3 条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是 3000 件，4000 件，8000 件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 150 件产品的样本，应该如何抽样？解：总体中的个体数 N=3000+4000+8000=15000样本容量 n=150抽样比例为所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取 3000 =30 件产品在第二条流水线生产的产品中随机抽取：4000 =40 件产品在第三条流水线生产的产品中随机抽取：5000 =50 件产品错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，
42、所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法。四、典型习题导练1为了解某班 50 名同学的会考及格率，从中抽取 10 名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为样本容量为 .2采用系统抽样从含有 2000 个个体的总体（编号为 0000，0001，1999）中抽取一个容量为 100 的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为 0013，则前 6 个入样编号为 . 3某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成 13 类，然后每个行业抽 的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 .4用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为 5
43、0 的样本，其中在管理营销部门抽了 15 人，技术部门 10 人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人 375 人，那么这个企业共有多少职工？5采用简单随机抽样从含有 5 个人的身高的总体 中抽取一个容量为 2 的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.12.2 频率分布直方图、折线图与茎叶图一、知识导学1频率分布表：反映总体频率分布的表格.2一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距= ；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.3 频率（分布）直方图：利用直方图反映
44、样本的频率分布规律.4 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.5 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.6 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.二、疑难知识导析1 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率
45、分布表更好地反映数据的分布情况.2 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.3 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线.4 茎叶图对于分布在 099 的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.5 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图.三、典型例题导讲错解剖析得真知 高中数学 QQ:326416256例 1（06 全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、
