1、第 1 页 共 13 页迫敛准则在极限求解中的应用中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广.关键词：迫敛准则；极限求解；应用Abstract： In advanced mathematics, there are a lot of i
2、mportant concepts and methods and to the limit, and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, Ill focus on the of approximate convergence criteria limit solving. T
3、he approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us. In this paper, squeeze criteria applied directly, and so
4、me promotion.Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving; application1. 引言迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的 和 ny经常x是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.第 2 页 共 13 页本文主要介绍这样一个求极限的方法迫敛性定理，即对于给定的数列 nx，当变量 nx的极限不易求出时，可考虑将其作适当的放大或缩小，使放大或缩小后所得到的新变量均易求极限，并且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于
5、此公共值.2. 极限的定义2.1 数列极限的定义定义 1 设 是一个数列， 是实数.如果对任意给定的 ，总存在一个正整nxa0数 ，当 时，都有 ，我们就称 是数列 的极限，或者称数列Nnnx收敛，且收敛于 ，记为 或 .nxalimnxn2.2 函数极限的定义定义 2 （函数在 点的极限定义） 设函数 在点 的附近（但可能除掉点0xfx0本身）有定义，又设 是一个定数 . 如果对任意给定的 ，一定存在 ，使0xA0得当 时，总有 ，我们就称 是函数 在点 的极限，记0xfAf0x为 或者记为 .0limxf0xx3. 迫敛准则及其证明3.1 数列极限的迫敛准则及其证明定理 1 已知数列 ,n
6、nxyz,若存在正整数 N,当 n时，有 nnxyz，且limnxlinza，则有 lima.证明：因为 linx，故对任意给定的 0，存在正整数 1N，当 1时，有 |nxa，即有nx 3.1第 3 页 共 13 页又因为 limnza，故对上述 0，存在正整数 2N，当 2时，有 |nza，即有nza 3.2又由已知 nnxyz 3.现取 012ma,N，则当 0N时有 三式同时成立，3.1,2.3从而有 nnxyza，即有 |nya成立，故lin. 证毕.推论 已知数列 ,nxy，若存在一正整数 N，当 n时，有 naxy（或nyxa），且 limna，则 linxa.证明：此推论证明方
7、法与定理 1 的证明方法类似,此处略.3.2 函数极限的迫敛准则及其证明定理 若 0,xU,有 fxghx,且 limliooxxfhA,则2limoxgA.证明： 因为limliooxxfhA ,所以,对 0,Ux内的任意数列 n: 00linnx ,由归结原理,有 lilinnnfhxA ,第 4 页 共 13 页又由数列极限的性质;对 *nN，有nnnfxghx,所以 limngA，故 lioxg . 证毕.按假设,对 0分别存在正整数 1和 2,使得当 01|x时,有 Afx,当 02|时,有 h,令 12min,则当 0|x 时,有 Afx, hA , fxghx同时成立,故有 fx
8、ghx,由此得 |A,故limoxgA . 证毕.鉴于以上两个定理,定理 1 告诉了我们一种判断数列的极限存在与否的一种方法,而且我们可以用它来求解极限和证明极限.另外,利用函数极限的迫敛性,我们可以从一些简单的数列极限和函数极限出发,计算一些较复杂的数列极限或函数极限.第 5 页 共 13 页3.3 数列极限的迫敛准则的推广定理 已知 nx, nz为实函数列, ny为一实数列,若有一正整数 N,当23nN时,有 y,且 00limli,nnxza则有 lim.nya证明： 令 linx,li,nzz则对 nnyz 两端取上下极限：limlinnxzlilinn对上式令 0,和 00lilin
9、nxza，可得00limli,limlinnnnyyya ,即 limnya . 证毕.在此定理中，当 nx， nz分别为 ,的常值函数时，此定理即为定理 1，并且此定理条件中并未要求在 时 ,xnz的极限相等，此迫敛性的条件要弱，因此，定理可看成是极限迫敛性的推广，在实际应用中，寻找满足定理条件的 nx,nz也比迫敛性更为灵活 .4. 应用4.1 数列极限迫敛准则的应用例 1 求数列 n的极限.解: 记 1nnah （这里 0,1nh）第 6 页 共 13 页则有 211nnhh,由上式得 0n ,从而有211nahn *对数列 21n ： limn因对于任给的 0,取 21N,则当 N时有
10、,1n于是不等式 *的左右两边的极限皆为 1，故由迫敛准则，可得 lim1n.例 2 求极限 2221li .nnn . 解: 因为 2222211. 1nnn,而 2lim1n ,2lim1n,故由数列极限的迫敛准则可得：2221li .nnn .第 7 页 共 13 页由上例我们知道，当数列中的一般项为 n项的和时，在这种情况下，我们就可以放大或缩小 ny：取 n 中最大的分母作为 x 的分母，最小的分母作为 nz 的分母，而 ,xz 的其余部分具体情况具体定，一般为项数乘以原来 y 中项的分子作为 n 的分子，若有 limlinnxza ，则可用迫敛性求得.注意：对于无穷项和的极限，不能
11、拆成极限的和. 例 设 12,.ka 是 个正数，证明：31212lim.max,.nnkka.证明: 记 12ax,.kA , 12.nnkxaa ,则有 nxk,而 limnA,故由迫敛准则有: linx,即 1212lim.max,.nnkka . 证毕. 注：在此例题中直接运用了例 1 的结论，这里 .lin例 4 设 0,2.na ， li0na ，证明： li1na .证明: 因 1,.n ,故由极限的保号性知: 0a ,且当 充分大时，有n2na第 8 页 共 13 页于是有: 2nnaa,且lim1n,li21na故由迫敛准则知: lina . 证毕.注：在此例题中也是直接运用
12、了例 1 的结论，这里 lim12na， li21na.此外，通过这道例题，我们可以更加明显地感受到，利用迫敛准则不仅可以用来求解极限，还可以用来证明极限，这在上面的几道例题中得到了充分的体现. 说明：以上几道例题均是对数列极限迫敛准则的应用，由此可见，在求解一些比较复杂数列极限的时候，通过应用迫敛准则能够很快解决问题.4.2 函数极限迫敛准则的应用例 求 01limx （注： * 表示取整函数）. 35解: 由取整函数定义知： 10x所以有 11xx,当 时，有 1x,而 0lim1x,故由迫敛性得: 01lix.另一方面，当 0x时 ，有 ,故由迫敛性又可得:第 9 页 共 13 页01l
13、imx .综上所述，可得： 01lix.说明：对于上述例 5，首先要应用取整函数的定义得到不等式，然后利用不等式求出左右极限，最终求出所求函数极限.例 6 求 2sinlm4x.解: 因为 R，有 1six,从而由题意可得：当 2x 时有:222sin44x,并且有 221limli04xx,同理有 2li4x,从而由函数极限的迫敛准则可得：2sinlm04x .说明：在上例中要注意不等式成立的条件.另外，迫敛准则在解决问题的过程中，要借助不等式的放缩（技巧要求比较高，最主要是放缩之后要能求出极限），再利用极限的相关性质，法则和定理，才能很快第 10 页 共 13 页求出极限.这种方法在解决一
14、些难度较高的问题时，可以变复杂为简单，是一种非常有效的工具.5. 迫敛准则的推广定理 若级数 1na与 1nb收敛，且成立不等式 1,2.nnaub，则级数41nu收敛，且 11nnu.证明: 因为 nnab，于是有 0nnua 1,2.，又因为级数 1na与 1b收敛，从而级数 1nb收敛，故级数 1nu收敛.又因为 ,所以 收敛,11nnbu1nu又由于 ,2.nnau ，所以 11nnkkkaub于是令 n得： 11nnaub. 证毕. 第 11 页 共 13 页定理 设函数 ,hxfgx都在任何区间 ,aA,上可积，且对任意45,xa,有 f,若无穷积分: ahxd与 agxd 都收敛
15、，则无穷积分 afxd 收敛，且 aaahxdf. 证明: 对 ,由条件知，有 0gxfgxh因为 ahxd与 agxd都收敛,从而 agxhd收敛,故 agf收敛.又因 aaafxdgxgxfdx,所以 afxd收敛. 又因为对于任给的 ，有 ,a0hxfgx所以 ,有AAAAaaahxdfxgdx令 得：A证毕.aaahxdfxgxd以上这两个定理，定理 4 是将迫敛准则推广到数项级数的情形，而定理 5 则是将迫敛准则推广到无穷限的反常积分的情形.接下来看一个积分区间为有限的例子.第 12 页 共 13 页例 7 求10limnnxd.解: 由 1nx 0,1x,将上述不等式对 从 0 到
16、 1 积分得：1001nnxdx.又由 lim1n,据迫敛性，有10linnxd.例 8 求 0limsixt.解: 由于 int是以 为周期的函数，因此，有 ，其中 nN,00sisin2tdt所以 x,存在 n ，使1x ,则有1000sinsisinxtdttd,有 02si21xt,于是第 13 页 共 13 页0sin2121xtdn,两边取极限有： 012limsinxtd.这两个例题均是积分区间为有限的，自变量趋于无穷大的情况.6. 结束语极限是微积分学中的最基本的概念，迫敛性是极限的一个重要性质，利用它我们既可以来判断极限的存在，又可以用它来求出极限.通过对迫敛性定理的应用，我
17、们可以更快更准确的求出一些极限，对于一些极限的证明，我们也可以利用迫敛准则.但是，在迫敛性解决一些实际问题时，常常需要进行一些技巧性较高的放缩，然后再利用其他相关知识加以求解.由此可见，迫敛性是一种很好的解决问题的工具.数列极限是函数极限的基础，通过对数列极限，函数极限迫敛性的深入理解，可以将迫敛性条件减弱、放宽，加以推广.在这篇文章中，我将迫敛准则的应用推广到了级数和积分中，另外还可以再进一步推广到二重积分、三重积分中.参考文献1 陈传章，等.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，1983,36.2 覃燕梅，吴凯腾，等.极限迫敛性的推广J.内江师 范学院报，2006，21（4）.3 欧阳光中，等.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，2007.4 孙雪莹.迫 敛性及其应用J.科技信息， 2008:139-141.
