1、http:/ 4 分，共 20 分）1） 。2xdx1122xdx2）已知单位向量 适合等式 ，则,abc0abc。323） 的最大值是 。20xtfed21e4）过原点 作曲线 的切线，则切线方程为 。,13xy13yx5）曲线 的水平渐近线 。212tanxyercx4二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）1） 在 上连续，则 （ A ）23si1axfex,aA、 B、0 C、2 D、任意实数ln2）已知 ， （ D ）2cos1ydyA、 B、2x2tan1xdC、 D、2tan1dx 2tx3）设 存在，则 （ C ）0f002limhfxfhA、一定不存在 B、不一定存在C、
2、D、0fx 03fx4）若 的导函数是 ，则 的一个原函数是（ B ）cosxeA、 B、sinxecosxeC、 D、coin5）若 连续， ，则 （ B ）fx201xftdx40fxdhttp:/ B、4 C、8 D、16三、计算题（每题 6 分，共 36 分）1）讨论极限 。0sinlmx解： 因为 0000i sini sinll1,lml1xxxx所以 不存在。0sinlx2）设 求 。tey2,dyx解： 2ttttttdexe22 2332tttttttyedxe3）求不定积分 。2xd解：令 ，则xtelnt22 2lnxttddtdt22 2248lnln4ttdt tt2
3、larctttC242rtnxxxee4）设 ，求 。10xfe21fxdhttp:/ 1tx2 010 10fdftftdft10 10101lnxx exxe1lnln25）讨论 的敛散性。2lkdx解：1222lnimli(ln)(ln)lilakaakkaxdxdx当 时， 收敛；当 时， 发散。1k2(l)kx12(ln)kdx6）试确定 使 有一个拐点 且点 处有极大值 ，,abc32yabxc,101并求此函数的极小值。解： 23,6yx由点 在曲线 上可得 ；1,32yxabc2abc点 适度拐点可得 ；点 处有极大值可得030x0b因此 3,0,1abc易得 时有极小值，极小
4、值为 。2x四、证明题1）设 可导，试证明： 的两个零点之间一定有 的零点。f fxfxf证明：设 ，且 。在区间 上考虑函数0afbab,abxFef因为 也是可导函数，且 ，由罗尔中值定理，至少存在一点Fx0F使得,0effff 2）设 ，试证明 。01x22ln1xx证明：在 上考虑函数, 2lfhttp:/ ，所以 在 内递减ln110,1xxxlnx0,1即 ， 在 内递减，0,f，因此 在 内递减，,fxfx,，即221ln0,1xf221ln0,1xx五、应用题（8 分）给定曲线 ，20yx1） 在曲线上求一点 ，使曲线在在该点处的切线与曲线以及 轴所围成平面0,My x图形 的面积为 。D122） 求图形 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 。xV解：1）过点 的切线方程为0,y2000012yxxyx20011x dy2032 30004xyyxx所求点为 1,2） 113512402026xxVxdxd563l
