1、第1课时 三角函数的定义,一,二,三,思维辨析,一、三角函数的定义 问题思考 1.填空:在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.,一,二,三,思维辨析,2.如图,如果一个锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin ,cos ,tan ?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢?,一,二,三,思维辨析,3.填空:如图,是任意角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系. 设P(x,y)是的终边与单位圆的交点. (1)y叫做的正弦,记作sin ,即sin =y; (2)x叫做的余
2、弦,记作cos ,即cos =x;,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.,一,二,三,思维辨析,一,二,三,思维辨析,5.如果在角的终边上有一点M(3,4),那么如何求角的三个三角函数值?,7.如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin ,cos ,tan 的值是否还存在? 提示终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan 的值不存在,因为分母不能为零,但sin ,cos 的值仍然存在.,一,二,三,思维辨析,8.填空:三角函数的定义域如下表所示.,一,二,三,思维辨析,二、三角函数值
3、的符号 问题思考 1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin ,cos ,tan 在不同象限内的符号吗? 提示当在第一象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第二象限时,sin 0,cos 0;当在第四象限时,sin 0,tan 0.,一,二,三,思维辨析,2.sin ,cos ,tan 在各个象限的符号如下:记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.,一,二,三,思维辨析,3.做一做:判断下列各三角函数值的符号,一,二,三,思维辨析,三、诱导公式一 问题思
4、考 1.30,390,-330三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗? 提示终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等. 2.填空:诱导公式一 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.,一,二,三,思维辨析,一,二,三,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)sin 30,cos 40. ( ) (2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应. ( ) (3)sin ,cos ,tan 的值与点P(x,y)在角终边上的位置无关. ( ) (4)不存在角,使得s
5、in 0,cos 0,tan 0. ( ) (5)若sin =sin ,则必有=. ( ) (6)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化. ( ) (7)若是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos = . ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7),探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】 求解下列各题:,分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探
6、究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,三角函数值的符号判断 【例2】 (1)若sin tan 0,且 ,则角是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)判断下列各式的符号: sin 105cos 230; . 分析(1)由已知条件确定出sin ,cos 的符号即可确定角的象限; (2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,三角函数符号的判定: 对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.,探
7、究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知=2,则点P(sin ,tan )所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析因为=2 ,即在第二象限,所以sin 0,tan 0,则点P(sin ,tan )在第四象限. 答案D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,诱导公式一的应用 【例3】 求下列各式的值: (1)a2sin(-1 350)+b2tan 405-(a-b)2tan 765-2abcos(-1 080);,分析将角转化为k360+或2k+的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值. 解(1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tan
8、(360+45)-(a-b)2 tan(2360+45)-2abcos(-3360) =a2sin 90+b2tan 45-(a-b)2tan 45-2abcos 0 =a2+b2-(a-b)2-2ab=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,诱导公式一的应用策略: (1)诱导公式一可以统一写成f(k360+)=f()或f(k2+)=f()(kZ)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等; (2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2间的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数转化为0到2间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.,探究
9、一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2求下列三角函数值:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视对参数的分类讨论致误 【典例】 角的终边过点P(-3a,4a),a0,则cos = .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知角的终边在直线y=x上,则sin = . 解析易知角的终边在第一象限或第三象限, 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取一点P(1,1),1,2,3,4,5,答案D,1,2,3,4,5,2.若tan sin20,则角在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限 解析因为tan sin20,所以tan 0,于是角在第二象限或第四象限. 答案C,1,2,3,4,5,答案A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.判断下列各式的符号: (1)tan 120sin 269;,解(1)120是第二象限角,tan 1200.,
