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极限的求解方法.doc

上传人:weiwoduzun 文档编号:3209139 上传时间:2018-10-07 格式:DOC 页数:14 大小:285.02KB
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资源描述

1、1求函数极限的方法和技巧1、运用极限的定义2、利用极限的四则运算性质若 Axf)(lim0 Bxg)(li0(I) 0x 0fxBAxg)(lim0(II) f x)(li)(li 000(III)若 B0 则:BAxgfxf)(li)(lim00(IV) (c 为常数)fcfxxli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,3、约去零因式(此法适用于 )型时 0,x例: 求 1267lim232xx解:原式= )0(5li 2232 xx= )6)(1li22xx= =)65(103lim2x )3(25li2x= 2lix74、通分法(适用于 型)2例: 求 )214(lim2xx解: 原

2、式= )(li2x= )(lim2xx= 41li2x5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数 f(x)、g(x) 满足:(I) 0)(lim0xf(II) (M 为正整数)Mg则: )(li0xfx例: 求 x1sinl解: 由 而 lim0x 1sinx故 原式 = 1sinl0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。(I)若: 则 )(limxf 0)(1limxf(II) 若: 且 f(x)0 则 0)(lif )(1lixf例: 求下列极限3 51limx1limx解: 由 故 )( 05li由 故 =01lix 1x7、等价无穷小代换法设 都是

3、同一极限过程中的无穷小量,且有:,, 存在,, lim则 也存在,且有 = limlili例:求极限 20sinco1lxx解: ,si2 )(2x=20sinco1lmxx1)(2注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。1sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形:4)(,)(1lim)( 0,(sin( xexBA例:求下列函数极限xali)1(0、 bxaxcoslni)2(0、)1ln( l)1( ,1 uaxauu于 是

4、则) 令解 : ( auuaauxauln)1l(im)1ln(i)1ln(imli0 000 故 有 : 时 ,又 当 )(cosli)2(0bxx、 原 式 1cs1cos)(lnim0axbxaxli0x 222020 )()(sin)(silmsinli abxbaxxx 9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限) 。5)(lim)(li)( )(li)( 00000 afxfxfauf axi fff xx处 连 续 , 则在 且是 复 合 函 数 , 又若 处 连 续 , 则在若例:求下列函数的极限(2) )1ln(5coslim)1(20xexx、 x)1ln(i0 1

5、ln)1(limn)1l(i)1ln(im)l()l()2(601n5coslim)1ln(5cos)(000110 2 exxxxxfeefxxxxx x故 有 :令 、 由 有 :故 由 函 数 的 连 续 性 定 义 的 定 义 域 之 内 。属 于 初 等 函 数解 : 由 于10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:m、n、k、l 为正整数。lxmnkl1i例:求下列函数极限 、n xmnx(li1)N1)23(lixx解: 令 t= 则当 时 ,于是1t原式= nmtttttnmt )(li1li 121 6由于 =1)23(limxx 1)2(lix令

6、: 则 t1t= =1)23(lixx 1)2(lix210)(limtt= etttt )(li)(li2101011、 利用函数极限的存在性定理定理: 设在 的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有:0xAxhgx)(lim)(li00则极限 存在, 且有0fxfx)(li0例: 求 (a1,n0)xnalim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使k xk+1于是当 n0 时有:knxna)1(及 knkxn1又 当 x 时,k 有knka)(lim0)(li1aakn7及 1limkna01liakn=0xnli12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,

7、以及用定义求极限等情形)。定理:函数极限 存在且等于 A 的充分必要条件是左极限 及右极)(lim0xf )(lim0xfx限 都存在且都等于 A。即有:)(li0xfx= =A0 )(li0xfx)(li0f例:设 = 求 及)(f1,22xe)(lim0xf)(li1f1)(li)(lim)(li 000 xxfexx x解 :由 1f)(li0fx不 存 在由(又 )(lim)01lili 0)1lim121 11xff xxxx13、罗比塔法则(适用于未定式极限)定理:若8Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000

8、) , 则或可 为 实 数 , 也 可 为内 可 导 , 且的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:1、 要注意条件,也就是说,在没有化为 时不可求导。,02、 应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。4、当 不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用)(limxgfax另外方法。例: 求下列函数的极限 )1ln(2i0xex )0,(lni

9、mxax解:令 f(x)= , g(x)= l21)()2, )(xexf 2(xg2“23“ )1(),)1(fx 由于 0(,0) gff但 2),0(“g从而运用罗比塔法则两次后得到912)1(2lim12)(lim)1ln(2im302100 xexexe xxx 由 故此例属于 型,由罗比塔法则有:axxli,li )0,(1limlinlim1 xaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便,下列为常用的展开式:1、 )(!2nx xoe2、 )()!12()!53sin 2nnxox3、 )!(!421co 2nnxx4、 1)l

10、n( nno5、 )(!)1()(!2)(1 nxoxx 6、 no上述展开式中的符号 都有:)(nxo0)(lim0nxo例:求 )0(2li0axax解:利用泰勒公式,当 有10)(21xox于是 axlim0= xax )12(li0= xxoaoax )(2)(2lim0= axxxx 21)(1lim)(li 00 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数 f 满足如下条件:(I) f 在闭区间上连续(II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点 ,使得abff)()(此式变形可为:)10( )( abff例: 求 xexsinlimi0解:令 对它应用中值定理得f)(

11、即: )1(0 )sin(si)in()(sisin xxfxfxex111)(0 )sin(sisini xxfxex连续xf)(1)0()sin(silm0 fxx从而有: 1silii0ex16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况,即若: )0,(a )( 010 bbxbaxQPRnnmm (I)当 时,有 nm 0 li)(lim10bxbaaxPnnm (II)当 时有:若 则 0)(xQ)()li00xQPx若 而 则)(0(0)(lim0x若 , ,则分别考虑若 为 的 s 重根,即:0x)0P0xP也为 的 r 重根,即:()1xs0)(Q可得结论如下:)0xQr12rs

12、, )(Prs ,0)(lim)(li 011000 xQxxQPrsxx例:求下列函数的极限 5032)1(lixx 342lim31xx解: 分子,分母的最高次方相同,故= 5032)(limxx 305032)( )1(,3PP04)(QxQ必含有(x-1)之因子,即有 1 的重根 故有:, 213lim)32()1lim342li 2131 xxxxxx(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式,但求极限方法完全类同,这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例:求 )(lixx解: mx13211limlilim3xxxxxx二、多种方法的综合运用上述介绍了求解

13、极限的基本方法,然而,每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化。例:求 20sinco1lmxx解法一: 20siclxx 220sincoili xx 220sincolimx= 220sincolimxx1注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。解法二: =20sinco1lmxx 21sini12sinlmsinl 22020 xx注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。14解法三: 21sin4limsin2lcos1limsinco1l 0302020 xxxx xxx注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四: 21sin2)(lisinco1lisinco1l 4024020 xxxx注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五: 21lim)(2lisin2lmsinco1l 4002020 xxxx注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六:令 2xu21sincoslimcossinlmlin10 002uuux注:此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七: 21limsincolisinc1l 022020 tgxxxx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

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