1、1曲线积分与曲面积分补充题1.设有 表示曲面: , 表示曲面1)0(422zazyx2axyx22.)20(az(1) 求 及 所围立体的体积；1,0（2）求 被 所截部分的表面积；2(3) 求 被 所截部分的侧面积；1(4) 若 表示 被 所截的部分曲面,求 ；S2 dSzyxIS22(5) 若 表示 被 所截的部分曲面,求 ；1 ax3(6) 若 表示 被 所截曲面的上侧部分,求 ；2 zyyzI(7) 若 表示曲面 的交线在第一卦限部分曲线,从 轴正向往下看是逆时针;1设力 ,求该力沿曲线 从 到 所做的功.kzjyixF)0,2(aA)2,(aB(8) 若其他条件同（6）,力为 ,此时
2、功为多少? 若 点为 上任一kzjyixF点，功又为多少？2.(1)设 为连续函数, 且对任意平面闭曲线 都有 .)(yxf Cdsyxf0),(试证: .0,(2)设 为连续函数, 且对任意空间闭曲面 都有 .)(zyxf ),(Szyf试证: .(3)设 有连续偏导数 ,且对任意封闭曲线 ,有 .),(,yxQPCQdyPx0试证: .02(4)设 有连续偏导数,且对任意封闭曲面 都有)(),(),(zyxRQzyxP .试证: .0dd 0zRyQP3.设 为从点 到点 的有向光滑曲线弧.函数),(1zyxA),(2xB连续.证明:),)(hygxf; ; .21(xdf21)()(yd
3、g21)()(zdh4.设有向光滑曲线弧 在 面上的投影曲线为 ,其正向与 的正向相应,且 在oL光滑曲面 上,函数 连续.证明:)(yz)()(),(zyxRQzxP(1) L dyxdypddxP ),(, (2) )(,)( xyRzyLy5. 设 在 内具有连续导数, 求:xf，dyxfydxyfIL 1)()(122 其中 是从点 到点 的直线段. 答案:-4)3/,(A,B6. 设函数 具有二阶连续导数.曲线积分)xgf C dyxfygdxygey 0)(2)(2(2其中 为平面上任一简单封闭曲线.(1)求 使 .（2）计算沿任一条曲线从 到 的积分. )(,xgf 0)(f )
4、,(1,答案: )74;21)(41,141 eIxeexgeexx7. 设 有连续导数 ,对平面上任意一条分段光滑曲线 ,积分, L与路径无关.dyxyxdyxIL )()()(2223(1)当 时 ,求1)0(,2)()(,x(2)设 是从 到 的分段光滑曲线,求 . L/I答案: )4/1(;2cos)(2sin)( 2xxx8. 设 连续可导, , 为不含原点的单连通区域.任取 ,在f1)fGGNM,内曲线积分 与路径无关.G()2xdyfxNM(1) 求 ; (2) 求 ,其中 为 取正向.)(f)()12yf 3232ayx答案: .;)(2f9. 设 为连续函数, 为 平面上分段
5、光滑闭曲线,证明: )(ufCxoy.0)(2dyf10. 设曲线 的方向为逆时针,证明:0:2yxL2cossin2dyxL11. 若对平面上任何简单闭曲线 恒有 ,C0)()(42dyxff其中 在 上有连续的一阶导数,且 ,试求: )(xf)0(1) ; (2) . 2,1()0 422)()dyxfdxyf答案: .108);(2)(exef12. 设 在圆盘 内有二阶连续偏导数,且 ,),(yxu1:2yxD )(22yxu则 . ( 是 的外单位法向量). Cedsn)1nC413. 求 其中 是绕原点两周的正向闭曲线. 答案: .CyxdI2)()( C414. 计算 .其中 是
6、平面dzyxzIC )3()()( 222 C与柱面 的交线,从 轴正向看 是逆时针. 答案: .zyx1yx 2415. 已知平面区域 , 为 的边界,试证:yxD0,)( LD(1). ;dxedyexLyxL sinsinsinsin (2). . 2sisi 16. 确定常数 , 使在右半平面 上的向量0xjyiyxyA )()(2),( 24224为某二元函数 的梯度,并求 . 答案: .u,u Cxyyxu2arctn),(;117. 计算 ,其中 取外侧.zdxyzxdyI 222cossco 1:22z答案: .tan418. 设 有连续导数,计算 .)(uf zdxyyxfd
7、zyxfI 11其中 是 所围立体的外侧. 答案: .228,6zxy 219. 计算曲面积分 . 其中 是曲线xdyyIsin2 10yzx绕 轴旋转一周而成的曲面 ,其法向量与 轴的正向夹角为锐角.(12)z z答案: .1528I20. 求 其中 为dxyzzdxxyI )1(2425绕 轴旋转所成的曲面下侧. )1,020(ayaz z答案: . )1(4)()ln41l2424 aaaI 21. 设 为椭球面 的上半部分,点 , 为 在点 的切S12zyxSzyxP,P平面, 为点 到平面 的距离.求 . 答案: .z,0,OSdzI,2322. 设 是圆周 的正向边界曲线. 为大于零的连续函数.证C1122yx )(xf明: .dfyf)()(23. 设函数 具有一阶连续偏导数,且满足 ,闭曲线 C 包围,(xvu xvyux,原点, 取正向. 证明: 0,212 dvudyxvC 24. 设 是球面 (常数 ).证明:022 azazyx a.313dSyxI 25.计算 , 其中dzydzx222 )1(4:22yzyx取外侧. 26. 设 试计算曲面积分22,z, xyxyfxyz当0， 当。答案: 22,xyztFtfxyzds 4628t
