1、 成功源于专业 0前言21 世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。具体来说本教材有以下几个方面的亮点：1内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。2循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐
2、进地进行学习。3专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。4选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。小升初数学培优编写组成功源于专业 1目录一、数的认识第 1 讲 数的认识 1第 2 讲 数的整除 5二、数的运算第 3
3、讲 简便运算（1） 8第 4 讲 简便运算（2） 11第 5 讲 简便运算（3） 15第 6 讲 简易方程 18第 7 讲 定义新运算 21三、空间与图形第 8 讲 巧求面积（1） 24第 9 讲 巧求面积（2） 27第 10 讲 长方体的表面积和体积 30第 11 讲 圆柱体的表面积 33第 12 讲 圆柱和圆锥的体积 36四、解决问题第 13 讲 画图法解应用题 39第 14 讲 假设法解应用题 42第 15 讲 列方程解应用题（1） 45第 16 讲 列方程解应用题（2） 48第 17 讲 行程问题之多次相遇 51第 18 讲 行程问题之环形赛道 54成功源于专业 2第 19 讲 行程问
4、题之巧用比例 57第 20 讲 图示法解分数应用题 60第 21 讲 还原法解分数应用题 63第 22 讲 转化法解分数应用题 66第 23 讲 抓住不变量解分数应用题 69第 24 讲 巧用比解分数应用题 72第 25 讲 对应法解分数应用题 75第 26 讲 假设法解分数应用题 78第 27 讲 百分数应用题 溶剂问题 81第 28 讲 工程问题（1） 84第 29 讲 工程问题（2） 87第 30 讲 按比例分配 90第 31 讲 比例的应用（1） 93第 32 讲 比例的应用（2） 96第 33 讲 牛吃草问题 99第 34 讲 时钟问题 102第 35 讲 容斥原理 105第 36
5、讲 抽屉原理 108五、实战模拟小升初选校模拟试卷（一） 111小升初选校模拟试卷（二） 114外国语中学入学潜能测试卷（一） 117外国语中学入学潜能测试卷（二） 121成功源于专业 0第 1 讲 数的认识一、夯实基础1数的意义（1）自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像 1、2、3叫做自然数。（2）小数把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几可以用小数表示。（3）分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（4）百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分
6、数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。2数的大小比较（1）整数的大小比较比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。（2）小数的大小比较比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比较大（3）分数的大小比较整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。例如： ，2 241365。61整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。例如： ，3 35。74分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数
7、再进行比较。3小数、分数、百分数的互化成功源于专业 1（1）小数化成分数。原来是几位小数，就在 1 后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。（2）分数化成小数。分母是 10、100、1000 的分数，可以直接去掉分母，看分母中 1 后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（5）
8、分数化成百分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数） ，再化成百分数。（6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是 100 的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例 1比较下列各组分数的大小（1） 和 （2） 和82375394分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选择比较方法，比较的方法越简单越好。（1） 和 这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。8237（2） 和 这两个分数一个大于 ，一个小于 ，可用 为标准进行比较。5942121解（1）： = = ， = = ，64736 ，得出 。6421381解（2）： ， ，得出 。5
9、959例 2某数增加它的 20%后，再减少 20%，结果比原数减少了（ ）。A. 4% B. 5% C. 10% D. 20%分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。解：设某数为 100则 100（1+20%）=120 ，120（120%）=96，（10096）100=4%。故应选 A。成功源于专业 2数的认识课堂过关卷一、细心填空1用 3 个 0 和 3 个 6 组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ） ；读两个零的六位数是（ ） ；一个零也不读的最小六位数是（ ） 。2一个三位小数，四舍五入后得 4.80，这个三位小数最大是（ ） ，最小是（ ） 。3若被减数、减数与差这三
10、个数的和为 36，那么被减数为（ ） 。4把 0.35， ， ，34%， 从大到小排序（ ） 。81345某班男生人数是女生的 ，女生人数占全班人数的（ ）26甲数比乙数多 25%，则乙数比甲数少（ ）% 。7一个分数的分子比分母少 20，约分后是 ，这个分数是（ ） 。738写出三个比 小，而比 大的最简分数是（ ） 、 （ ） 、 （ ） 。3219 中有（ ）个 。5m910有一个最简真分数，分子和分母的积是 36，这个分数最大是（ ） 。11A+B=60，AB= ，A=（ ） ，B=（ ） 。3212( ) ( )= (填 两 个 分 母 小 于 12 的 分 数 ) = (填 两 个
11、 不 同 的 整 数 )。1112 1() 1() 1513一个最简分数，若分子加上 1，可以约简为 ，若分子减去一，可化简成 ，321这个分数是（ ） 。14修一段 600 米长的路，甲队单独修 8 天完成，乙队单独修 10 天完成。两队合修（ ）天完成它的 。109成功源于专业 315一种商品，先提价 20%，又降价 20%后售价为 96 元，原价为（ ）元。16甲、乙两个数的差是 35.4，甲、乙两个数的比是 5：2，这两个数的和是（ ）。17有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为 4%，乙种盐水含盐量为 5%，丙种盐水含盐量为 6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为 2%
12、的盐水 60 千克。如果这项工作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，加水（ ）千克。18x表示取数 x 的整数部分，比如13.58=13 。若 x=8.34，则x2x3x= （ ） 。二、选择1 最大的小数单位与最小的质数相差（ ）。A 1.1 B 1.9 C 0.9 D 0.123.999 保留两位小数是（ ）。A 3.99 B 4.0 C4.00 D3.903下列四个数中，最大的是（ ） 。A101% B0. C D 1 920984.平均每小时有 36 至 45 人乘坐游览车，那么 3 小时中有 人乘坐游览车。A少于 100 B100 与 150 之间 C150 与 200 之
13、间 D200 与 250 之间5.小明所在班级的数学平均成绩是 98 分，小强所在班级的数学平均成绩是 96 分，小明考试得分比小强的得分（ ） 。 A高 B低 C一样高 D无法确定6一次数学考试，5 名同学的分数从小到大排列是 74 分、82 分、a 分、88 分、92分，他们的平均分可能是（ ） 。A75 B84 C86 D93 7 的分子加上 6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ ）103A加上 20 B加上 6 C扩大 2 倍 D增加 3 倍 8书店以 50 元卖出两套不同的书，一套赚 10%，一套亏本 10%，书店是( ) A亏本 B赚钱 C不亏也不赚9把 1 克盐放入 100
14、 克水中，盐与盐水的比是（ ） 。A1：99 B1：100 C1：101 D100：10110甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓 ，这时甲仓41中的煤的数量比乙仓少（ ） 。A.50% B.40% C.25%成功源于专业 4三、星级挑战1财会室会计结账时，发现财面多出 32.13 元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？ 2暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7 月 13 日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每 3 天去一次。（1）7 月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ） 。（2）从 7 月 13 日到 8 月 31 日，他们一起
15、去敬老院的情况有（ ）次。第 2 讲 数的整除一、夯实基础整数 a 除以整数 b（b0） ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，也可以说 b 能整除 a。如果数 a 能被数 b 整除，那么 a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数。能被 2 整除的数叫偶数。也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数是偶数。不能被2 整除的数叫奇数。也就是个位上是 1，3，5，7，9 的数是奇数。一个数如果只有 1 和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了 1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合
16、数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有 1 的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例 1从 0、7、5、3 四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被 2、3 和 5 整除这样的三位数有几个？分析：根据能被 2、3、5 整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5 整除，这个三位数的个位数字必须是 0。现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从 7、5、3 三个数字中选取，且每位上数字的
17、和要能被 3 整除。解：一共有两个：570 或 750。成功源于专业 5例 2有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大 1 岁，又知它们年龄的乘积是360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？分析：360 是年龄的乘积，故可将 360 分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成 4 个连续自然数的乘积。再经过比较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数。解：360=222335=3（22）5（23）=3456答：年龄最大的小朋友是 6 岁。例 3同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成 10 行、15 行、18 行、24 行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人
18、？分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和 24 的最小公倍数。解：10、15、18 和 24 的最小公倍数是:2351134=360答：操场上的同学最少是 360 人。数的整除课堂过关卷一、填空1在 l 至 20 的自然数中， （ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。2一个数，如果用 2、3、5 去除，正好都能整除，这个数最小是（ ） ，用一个数去除 30、40、60 正好都能整除，这个数最大是（ ） 。38（ ）5（ ）同时是 2， 3 ，5 的倍数，则这个四位数为（ ） 。4一个五位数 735，如果这个数能同时被 2、3、5 整除，那么
19、代表的数字是（ ） ，代表的数字是 ( )。5从 0、5、8、7 中选择三个数字组成一个同时能被 2、3、5 整除的最大三位数，这个三位数是（ ） ，把它分解质因数是：（ ） 。6把 84 分解质因数：84=（ ） 。72 和 54 的最大公约数是（ ） 。712 的约数有（ ） ，从中选出 4 个数组成一个比成功源于专业 6例是（ ） 。8公因数只有（ ）的两个数，叫做互质数，自然数 a 和（ ）一定是互质数。9a、b 都是非零自然数，且 ab=c，c 是自然数， （ ）是（ ）的因数，a、b 的最大公因数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。10A、B 分解质因数后分别是：A=237 ，B=2
20、57 。A、B 最大公因数是（ ） ，最小公倍数是（ ） 。 11A=223，B=2C5 ， 已知 A、B 两数的最大公约数是 6，那么 C 是（ ） ，A、B 的最小公倍数是（ ） 。12在括号里填上合适的质数：（ ）（ ）=21=（ ） （ ） 。13两个质数的和是 2001，这两个质数和积是（ ） 。1445 与某数的最大公因数是 15，最小公倍数是 180，某数是（ ） 。15已知两个互质数的最小公倍数是 153，这两个互质数是（ ）和（ ） 。二、解决问题1有两根绳子，第一根长 18 米，第二根长 24 米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几
21、根跳绳？2一块长方形木板长 20 分米，宽 16 分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔 15 分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔 27 分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔 36 分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？成功源于专业 7三、星级挑战1有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前 100 个数中，偶数有多少个？ 2有一堆苹果，如果 3 个 3
22、 个的数，最后余 2 个，如果 5 个 5 个的数，最后余 4 个，如果 7 个 7 个的数，最后余 6 个，这堆苹果最少有多少个？ 第 3 讲 简便运算（1）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“ 凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc ）
23、=abac a（bc ）=abac二、典型例题例 1. （1）9999777833336666 （2）765640.52.50.125分析（一）：通过观察发现这道题中 9999 是 3333 的 3 倍，因此我们可以把3333 和 6666 分解后重组，即 333332222=99992222 这样再利用乘法分配律进行简算。解（一）: 原式=99997778333332222=9999777899992222=（77782222）9999成功源于专业 8=99990000分析（二）：我们知道 0.52，2.54，0.1258 均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将 64 分解成 24
24、8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。解（二）： 原式=765（248）0.52.50.125=765（20.5）（42.5） （80.125）=7651101=7650例 2399.6919980.8分析：这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系，可以发现减数的因数1998 是被减数因数 399.6 的 5 倍，因此我们根据积不变的规律将 399.69 改写成（399.65）（95），即 19981.8，这样再根据乘法分配律进行简算。 解: 原式=（399.65）（95）19980.8=19981.819980.8=1998（1.80.8）=19981=1998例 365432112345
25、6654322123455分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少 1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1，123456 比 123455 多 1，我们可以将被减数改写成（654321）（1234551），把减数改写成（6543211）123455，再利用乘法分配律进行简算。解： 原式=654321（1234551）（6543211） 123455=654321123455654321654321123455123455=654321123455=530866三、熟能生巧1（1） 888667444666 （2）99991222 3
26、3336662（1） 400.6720030.4 （2）2397.2 9568.2 成功源于专业 93（1） 1989199919882000 （2）86422468 86442466四、拓展演练11234432624682837 2 2751216502333007.53 7654321123456776543221234566 五、举一反三六、星级挑战1315325335345 成功源于专业 1023333455555 77777 39999999999994. 48.67673.2486.7973.40.05第 4 讲 简便运算（2）一、夯实基础在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形
27、式中分子与分母同时扩大或缩小若干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：乘法结合律：abc=a（bc）=（ac）b乘法分配律：a（bc ）=abac a（bc ）=abac拆分： = = （ ）n)1(1nka)(k1n二、典型例题例 1 （1）20062006 （2）9.14.84 1.6 1.3076203成功源于专业 11分析（一）：把 2006 化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，2076则便于约分和计算。解（一）: 原式=2006 206=2006
28、 786=2006 =20分析（二）：根据除法的性质可知 9.14.84 1.6 1.3 可以写成12039.14.84 （ 1.6 1.3） ，又根据分数与除法的关系，可以将其写成分数形式，2103其中 9.1 与 1.3，4.8 与 1.6，4 与 存在倍数关系，可以进行约分后再计算。2103解（二）： 原式= .56.89=7330=630例 2 （1） （2） （9 7 ）（ ）0624051259分析（一）：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中 20052006可变形为（20041）2006=2004200620061，同时发现 20061=2005，这样就可以把原式转化成
29、分子与分母相同，从而简化运算。解（一）： 原式= 20642051)(= =1分析（二）：在本题中，被除数提取公因数 65，除数提取公因数 5，再把和 的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。719解（二）： 原式=（ ）（ ）765975=65（ ）5（ ）119=655=13成功源于专业 12例 3 21341109分析：因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如=1 ， = ， = 其余的部分分数可以互相抵消，34这样计算就简便许多。解: 原式=（1 ）（ ）（ ）（ ）211910=1 3490=1 =109三、熟能生巧1 （1）238238 （2）3.419.90.380
30、.193 1.13981032（1） （2） （ 1 ）（ ）186543987361375943 213415617四、拓展演练1（1）123 41 （2） 2.843 （1 1.42）1391435254成功源于专业 132 （1） （2） （96 ）（32 ）14380592042543672581733 15279210五、举一反三六、星级挑战1 24618321642. 3512354成功源于专业 143 42168250424 1 32709314256第 5 讲 简便运算（3）一、夯实基础所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无
31、法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆”与“ 凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：等差数列的一些公式：项数=（末项首项）公差1某项=首项公差 （项数1）等差数列的求和公式：（首项末项）项数2二、典型例题例 1 2468198200成功源于专业 15分析：这是一个公差为 2 的等差数列，数列的首项是 2，末项是 200。这个数列的项数=（末项首项）公差1=（2002）21=100 项，如何求和呢？我们先用求平均
32、数的方法：首、末两项的平均数=（2200）2=101；第二项和倒数第二项的平均数也是（498）2=101 依次求平均数，共算了 100 次，把这 100个平均数加起来就是数列的和。即和=（首项末项）2项数。 解: 原式=（2 200）2100=10100例 2 0.99.999.9999.99999.999999.9分析：通过观察我们可以发现题目中的 6 个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、100000 这 6 个整数，都分别少 0.1，因此我们可以把这 6 个加数分别看成 1、10、100、1000、10000、100000 的整数，再从总和中减去6 个 0.1，使计算简
33、便。解: 原式=110 1001000 100001000000.16=1111110.6=1111110.4例 3200820092009200920082008分析：这道题数值较大，计算起来比较繁琐，但观察这些数，可以发现具有规律性，即被减数和减数中因数具有相同的排列规律，因此我们可以把 20092009 写成 200910001，把 20082008 写成 200810001，这样题目中被减数和减数的因数就完全相同，我们也就可以直接算出结果为 0。解: 原式=20082009100012009200810001=0三、熟能生巧1 135765672 9999999999999993112
34、01221122112211221112011201120成功源于专业 16四、拓展演练1（1）0.110.130.150.970.99（2）8.90.28.80.2 8.70.28.10.22（1）98998999899998999998（2）3.90.390.0390.00390.000393（1）12344321432143214321123412341234（2）200260066006300340044004五、举一反三六、星级挑战1 （1）438.95 （2）47.265 （3）574.6225 （4）14.7580.252. （44332443.32）（88664886.64）成
35、功源于专业 173 1.82.83.850.84 20021999199619931990198716131074第 6 讲 简易方程一、夯实基础含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的基础，解方程通常采用以下策略：对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例 1解方程 4（x2）1
36、5=7x20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。4（x2）15=7x20解： 4x815=7x20成功源于专业 183x=27x=9 经检验 x=9 是原方程的解。例 2解方程 x2=（3x10） 5分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘 2 和 5 的最小公倍数，使方程转化为 x5=（3x10）2 再求解。x2=（3x10 ）5解： x210=（3x10）510x5=（3x10）25x=6x20x20=0x=20 经检验 x=20 是原方程的解。例 3解方程 360x3601.5x=6 分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘 3x 使方程转化后再求解。360x36
37、01.5x=6解： 1080720=18x18x=360x=20 经检验 x=20 是原方程的解。三、熟能生巧11 22（ x1）=4 5x19=3（x 4）152（ 2x4 ）18=28 （5.3x5）7=x8 37 （x3 ）=3（x5） 4 xx32x30=180成功源于专业 19四、拓展演练1 （x+10）6 84.5x325 122x x x7.4= x9.215642353 ：18% 20x5.64.2x1508五、举一反三六、星级挑战1解方程： 13x4（2x5）=17（x2）4（2x1）2解方程： 17（23x）5（12x）=8（17x）成功源于专业 203解方程： =231x
38、54. 解方程： （x5）=3 （x5）3132第 7 讲 定义新运算一、夯实基础同学们，我们都知道四则运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“” 、 “” 、 “”、 “”。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：、并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例 1 （1）ab=a b，求 95 的值。（2）定义新运算“ ”，mn=mn2.5 。求： 60.40.4 的值是多少？ 3510.3
39、 的值是多少？分析（1）：本题中的新运算符号“”表示的是求“”前后两个数的和，也就是求 9 与 5 的和是多少。解（1） ： 95=95=14成功源于专业 21分析（2）：本题中新运算“”的含义是求“ ”前后两个数的商的 2.5 倍是多少。解（2）： 60.40.4=60.40.42.5=1512.5=377.5 3510.3=3510.32.5=11702.5=2925例 2 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（ab）2，求34*（52*48）值。分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48”，再用 34 与
40、“52*48”的结果在进行一次这样的运算。解：52*48=（5248）2=42=2因此 34*（52*48）=34*2=（342）2=322=16。例 3定义两种新运算“”和“*”，对于任意两个 数 x、y，规定 xy=x5y，x*y=（xy）2 ，求 563.5*2.5 的值。分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“”表示求“”前面的数与后面数的 5 倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差的 2 倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。解：56=556=353.5*2.5=（3.52.5）2=2563.5*2.5=352=37三、熟能生巧1（1） a
41、b=ab，求 45.238.9 的值。（2）x、y 是两个自然数，规定 xy=（x+y）10 ，求 38 的值。2定义一种新运算“”，规定 AB=2（AB），求 0.6（5.45）的值。3定义两种新运算“” 和 “”，已知 ab=a24.1b， ab=83（ab），求6142 的值。成功源于专业 22四、拓展演练1 （1）定义一种新运算“”，规定 AB=4A 3B 5，求（1）69 （2）96。（2）定义一种新运算“” ，规定 ab=（3xy）2x，求： 1015 15102（1）定义新运算“”，规定 mn=（m n）2，那么 8 （122）与12（82）是否相等？如果不相等，哪个大？（2）定
42、义一种新运算“ ”，已知 a b=5a10b，求 3 75 8 的值。3定义两种运算“ ”和“”，对于任意两个整数 a，b，a b=ab1，ab=ab1。计算 4（6 8） （3 5）。五、举一反三六、星级挑战1定义新运算“”，若 23=234，54=5678。求 2（32）的值。成功源于专业 232. 设 a、b 表示两个数如果 ab，规定：a b=3a2b；如果 ab，规定：ab=（ab）3。求： 96 88 273设 a、b 表示两个数，a b=aba+b，已知 a7=37，求 a 的值。 4设 a、b 表示两个整数，规定：a b=a （a1）（a 2）（a3）（ab1） ，求 1100
43、 的值。第 8 讲 巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形 边长边长 S=a2长方形 长宽 S=ab平行四边形 底高 S=ah三角形 底高2 S=ah2梯形 （上底+下底） 高2 S=(a+b)h2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例 1两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。成功源于专业 24分析：阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都
44、不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC 的面积。解：直角梯形 OEFC 的上底为：103=7（厘米），直角梯形 OEFC 的面积为（7+10）22=17（平方厘米）。答：阴影部分的面积是 17 平方厘米。例 2如图，平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米，直角三角形 ECB 的直角边EC 长 8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求平行四边形 ABCD 的面积。分析：
45、因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，都加上梯形 FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD 比直角三角形ECB 的面积大 10 平方厘米。解：三角形 EFG 的面积为：1082=40（平方厘米）。平行四边形 ABCD 的面积为：40+10=50（平方厘米）。答：平行四边形的面积为 50 平方厘米。例 3如图,在三角形 ABC 中， BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC的中点.那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？分析:由“ E、F 分别为 AB 和 AC 的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形 ABF 和三角形 CBF 是同底等高的三角形，面积相等；三角形 AE
