1、2017 中考数学全国试题汇编- 圆24（2017.北京）如图， AB是 O:的一条弦， E是 AB的中点，过点 E作 COA于点 ，过点B作 O:的切线交 CE的延长线于点 D.（1）求证： D； （2）若 12,5AB，求 O:的半径.【解析】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出4= 5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出 sinDEF 和 sinAOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）证明：DCOA, 1+3=90, BD 为切线，OBBD, 2+5=90, OA=OB, 1=2，3= 4，4=5，在 DEB 中, 4=5，DE=DB.考点：圆
2、的性质，切线定理，三角形相似，三角函数 27（2017 甘肃白银）如图， 是 的直径， 轴，ANM:/NBx交 于点 ABM:C（1）若点 ，求点 的坐标；00,6,23B（2）若 为线段 的中点，求证：直线 是 的切线DNCD:解：（1） A 的坐标为（ 0，6），N （0，2）AN=4， 1 分ABN=30， ANB=90，AB=2AN=8， 2 分由勾股定理可知：NB= ，43B（ ，2） 3 分43（2）连接 MC，NC 4 分AN 是M 的直径， ACN=90，NCB=90， 5 分在 RtNCB 中，D 为 NB 的中点，CD= NB=ND，12CND=NCD， 6 分MC=MN，
3、MCN=MNCMNC+CND=90，MCN+NCD=90， 7 分即 MCCD 直线 CD 是M 的切线 8 分25（2017 广东广州） .如图 14， AB是 O:的直径，:,2ACB，连接 C（1）求证： 045A；（2）若直线 l为 O:的切线， 是切点，在直线 l上取一点 D，使 ,BAD所在的直线与 AC所在的直线相交于点 E，连接 D试探究 A与 之间的数量关系，并证明你的结论； EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【解析】试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）xy C DMDOMDBANDNDAN等角对等边
4、；（2）如图所示，作 BFl 于 F由（1）可得， AC 为等腰直角三角形.O是 的中点. OAB AC 为等腰直角三角形.又 l 是 : 的切线， ll 四边形 BE 为矩形 22FDBF 303075DFABA，159157CE，,AEE当 BD 为钝角时，如图所示，同样， 1,302BFDC 851509051AECEA， ，E（3）当 D 在 C 左侧时，由（2）知AB:, ,30AEDCBA 1,22, 5AECBABA30I,在 Rt 中， 22EIECD 2BE 当 D 在 C 右侧时，过 E 作 IAB 于 I 在 RtIBE 中， 22IAECD 2CD考点：圆的相关知识的综
5、合运用25（2017 贵州六盘水）.如图， 是 的直径， ，点 在 上， ， 为 的MNO4MN=AO30AMN= B:AN中点， 是直径 上一动点.PN(1) 利用尺规作图，确定当 最小时 点的位置PAB+P(2) (不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求 的最小值.PAB+【考点】圆，最短路线问题【分析】(1)画出 A 点关于 MN 的称点 ,连接 B,就可以得到 P 点A(2)利用 得AON= =60，又 为弧 AN 的中点,BON=30，所以 ON=90，再30MN ON A求最小值 2【解答】解：20（2017 湖北黄冈）已知：如图，MN 为O 的直径，ME 是O 的弦，MD 垂直于
6、过点 E 的直线DE，垂足为点 D，且 ME 平分DMN求证：（1）DE 是O 的切线；（2）ME 2=MDMN【考点】S9：相似三角形的判定与性质； ME：切线的判定与性质【分析】（1）求出 OEDM，求出 OEDE ，根据切线的判定得出即可；（2）连接 EN，求出MDE=MEN，求出MDE MEN，根据相似三角形的判定得出即可【解答】证明：（1）ME 平分DMN，OME=DME，OM=OE，OME=OEM ，DME= OEM，OEDM ，DM DE，OEDE，OE 过 O，DE 是O 的切线；（2）连接 EN，DM DE， MN 为O 的半径，MDE= MEN=90，NME= DME，MD
7、EMEN， = ，ME 2=MDMN23. (2017 湖北十堰)已知 AB 为半O 的直径，BCAB 于 B，且 BCAB ，D 为半 O 上的一点，连接 BD 并延长交半O 的切线 AE 于 E (1) 如图 1，若 CDCB，求证：CD 是O 的切线； (2) 如图 2，若 F 点在 OB 上，且 CDDF，求 的值AEAF（1）证明：略；（此问简单）（2）连接 AD.DFDC1+BDF=90AB 是O 的直径2+BDF=90图1EDCAOB 图2DFCAOBE43 21FOEDCBA3+EAD=90，E+EAD=903= E又ADE=ADB=90ADEABD ADB FC 1A1=2又
8、3+ ABD=90, 4+ABD=903=4ADF BCDAFDBC21（2017 湖北武汉）如图，ABC 内接于O， ABAC，CO 的延长线交 AB 于点 D(1) 求证：AO 平分BAC(2) 若 BC6，sinBAC ，求 AC和 CD 的长53【答案】（1）证明见解析；（2） 310； 9.（2）过点 C 作 CEAB 于 Esin BAC= 35,设 AC=5m，则 CE=3mAE=4m，BE= m在 RtCBE 中，m 2+(3m)2=36m= 3105，AC=延长 AO 交 BC 于点 H，则 AHBC，且 BH=CH=3，考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3
9、.平行线分线段成比例.21. （2017 湖北咸宁）如图，在 中， ，以 为直径的 与边 分别交于ABCABOACB,两点，过点 作 ，垂足为点 .ED, DFF求证： 是 的切线；O若 ，求 的长52cos,4A【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质； T7：解直角三角形【分析】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，推出ODB=C ；然后根据DFAC，DFC=90，推出 ODF= DFC=90，即可推出 DF 是O 的切线（2）首先判断出：AG= AE=2，然后判断出四边形 OGFD 为矩形，即可求出 DF 的值是多少【解答】（1）证明：如图，连接 OD，作
10、OGAC 于点 G，OB=OD，ODB=B，又AB=AC，C=B，ODB=C，DFAC，DFC=90，ODF=DFC=90，DF 是O 的切线（2）解：AG= AE=2，cosA= ，OA= = =5，OG= = ，ODF=DFG=OGF=90 ，四边形 OGFD 为矩形，DF=OG= 23（2017 湖北孝感） . 如图， 的直径 O:10,AB弦 的平分线交 于 过点 作6,ACB,D交 延长线于点 ，连接DEAB:CE,.ADB（1）由 ， ， 围成的曲边三角形的面积是 ；:（2）求证： 是 的切线；（3）求线段 的长.OE【分析】（1）连接 OD，由 AB 是直径知ACB=90，结合
11、CD 平分ACB 知ABD=ACD= ACB=45，从而知AOD=90，根据曲边三角形的面积=S 扇形 AOD+SBOD 可得答案；（2）由AOD=90 ，即 ODAB，根据 DEAB 可得 ODDE，即可得证；（3）勾股定理求得 BC=8，作 AFDE 知四边形 AODF 是正方形，即可得 DF=5，由EAF=90CAB=ABC 知 tanEAF=tanCBA，即 = ，求得 EF 的长即可得【解答】解：（1）如图，连接 OD，AB 是直径，且 AB=10，ACB=90 ，AO=BO=DO=5，CD 平分ACB ，ABD=ACD= ACB=45，AOD=90 ，则曲边三角形的面积是 S 扇形
12、 AOD+SBOD = + 55= + ，故答案为： + ；（2）由（1）知AOD=90，即 ODAB ，DEAB，ODDE，DE 是O 的切线；（3）AB=10、AC=6，BC= =8，过点 A 作 AFDE 于点 F，则四边形 AODF 是正方形，AF=OD=FD=5，EAF=90 CAB=ABC，tanEAF=tanCBA， = ，即 = ， ，DE=DF+EF= +5= 【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键25（2017 湖北荆州）如图在平面直角坐标系中，直线 y= x+3 与 x 轴
13、、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P、 Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作Q（1）求证：直线 AB 是 Q 的切线；（2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M若 CM 与Q相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、 CM、y 轴与Q 同时相切？若存在，请直接写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由【考点
14、】FI：一次函数综合题【分析】（1）只要证明PAQBAO，即可推出APQ=AOB=90，推出 QPAB，推出 AB 是O 的切线；（2）分两种情形求解即可：如图 2 中，当直线 CM 在O 的左侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形如图 3 中，当直线 CM 在O 的右侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形分别列出方程即可解决问题（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 QP在 RtAOB 中， OA=4，OB=3，AB= =5，AP=4t，AQ=5t， = = ，PAQ=BAO，PAQ BAO，APQ=AOB
15、=90，QP AB，AB 是O 的切线（2）解：如图 2 中，当直线 CM 在O 的左侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形易知 PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，OC+CQ+AQ=4 ，m+ t+5t=4，m=4 t如图 3 中，当直线 CM 在O 的右侧与Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形OC+AQCQ=4，m+5t t=4，m=4 t（3）解：存在理由如下：如图 4 中，当Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时，3t+5t=4，t= ，由（2）可知，m= 或 如图 5 中，当Q 在 y 则的左侧与 y 轴相切时，5t 3t=4，t=2，由（2）可知
16、，m= 或 综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）22（2017 湖北鄂州）如图，已知 BF 是O 的直径，A 为 O 上（异于 B、F）一点. O 的切线MA 与 FB 的延长线交于点 M；P 为 AM 上一点，PB 的延长线交O 于点 C，D 为 BC 上一点且PA =PD，AD 的延长线交O 于点 E.（1）求证： = ；:BEC（2）若 ED、EA 的长是一元二次方程 x25x5=0 的两根，求 BE 的长；（3）若 MA =6 ， , 求 AB 的长.21sin3AMF（1）PA =PD PAD= PDA BAD+ PAB= DBE+ EO
17、 的切线 MA PAB= DBE BAD= CBE = :BEC（2）ED 、EA 的长是一元二次方程 x25x5=0 的两根、ED EA=5 BAD= CBE,E=EBDEABEBE 2=EDEA=5 BE= 521（2017 湖北黄石）如图，O 是ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，点 E 为ABC 的内心，连接 AE 并延长交O 于 D 点，连接 BD 并延长至 F，使得 BD=DF，连接 CF、BE（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线 CF 为O 的切线【考点】MI：三角形的内切圆与内心；MD ：切线的判定【分析】（1）欲证明 DB=DE，只要证明DBE=DEB；（2）欲证明直线
18、 CF 为O 的切线，只要证明 BCCF 即可；【解答】（1）证明：E 是ABC 的内心，BAE=CAE ，EBA=EBC，BED= BAE+EBA，DBE= EBC+DBC，DBC=EAC，DBE= DEB，DB=DE（2）连接 CDDA 平分 BAC，DAB=DAC， = ，BD=CD，BD=DF，CD=DB=DF，BCF=90 ，BC CF，CF 是 O 的切线23（2017 湖北恩施）如图，AB、CD 是O 的直径，BE 是O 的弦，且 BECD，过点 C 的切线与EB 的延长线交于点 P，连接 BC（1）求证：BC 平分ABP ；（2）求证：PC 2=PBPE；（3）若 BEBP=P
19、C=4，求 O 的半径【考点】MC ：切线的性质； KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质【分析】（1）由 BECD 知1=3，根据2= 3 即可得1=2；（2）连接 EC、AC，由 PC 是O 的切线且 BEDC，得1+4=90，由A+2=90且A= 5 知5+2=90，根据1=2 得4=5，从而证得PBCPCE 即可；（3）由 PC2=PBPE、BEBP=PC=4 求得 BP=2、BE=6，作 EFCD 可得 PC=FE=4、FC=PE=8，再 RtDEFRtBCP 得 DF=BP=2，据此得出 CD 的长即可【解答】解：（1）BECD，1=3，又OB=OC，2=3，1
20、=2，即 BC 平分ABP；（2）如图，连接 EC、AC ，PC 是O 的切线，PCD=90，又BEDC，P=90，1+4=90，AB 为O 直径，A+2=90，又A=5，5+2=90，1=2，5=4，P=P，PBCPCE，即 PC2=PBPE；（3）BE BP=PC=4，BE=4+BP，PC 2=PBPE=PB（PB+BE），4 2=PB（PB+4+PB），即 PB2+2PB8=0，解得 ：PB=2，则 BE=4+PB=6，PE=PB+BE=8，作 EFCD 于点 F，P=PCF=90，四边形 PCFE 为矩形，PC=FE=4，FC=PE=8 ，EFD= P=90 ，BE CD，DE=BC，
21、在 RtDEF 和 RtBCP 中，RtDEFRt BCP（HL），DF=BP=2，则 CD=DF+CF=10，O 的半径为 522（2017 湖北随州）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=BC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的O 与BC 相切于点 D，交 AB 于点 E（1）求证：AD 平分BAC；（2）若 CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）【考点】MC ：切线的性质； KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接 DE，OD 利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明DAO=CAD，进而得出结论；（2）根据等腰三角形
22、的性质得到B=BAC=45，由 BC 相切O 于点 D，得到ODB=90，求得OD=BD，BOD=45，设 BD=x，则 OD=OA=x，OB= x，根据勾股定理得到 BD=OD= ，于是得到结论【解答】（1）证明：连接 DE，OD BC 相切 O 于点 D，CDA=AED，AE 为直径，ADE=90 ，ACBC ，ACD=90，DAO=CAD，AD 平分 BAC；（2）在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC，B= BAC =45，BC 相切 O 于点 D，ODB=90，OD=BD，BOD=45 ，设 BD=x，则 OD=OA=x，OB= x，BC=AC=x+1，AC 2+BC2=AB2，
23、2（x+1） 2=（ x+x） 2，x= ，BD=OD= ，图中阴影部分的面积=S BOD S 扇形 DOE= =1 22（2017 湖北襄阳）如图，AB 为O 的直径， C、D 为O 上的两点，BAC=DAC ，过点 C 做直线 EFAD ，交 AD 的延长线于点 E，连接 BC（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若 DE=1，BC=2 ，求劣弧 的长 l【考点】ME：切线的判定与性质；MN：弧长的计算【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到OAC=DAC，求得DAC=OCA，推出 ADOC，得到OCF=AEC=90 ，于是得到结论；（2）连接 OD，DC，根据角平分线的定义得到
24、 DAC=OAC，根据三角函数的定义得到ECD=30，得到OCD=60，得到BOC=COD=60，OC=2 ，于是得到结论【解答】（1）证明：连接 OC，OA=OC，OAC=DAC，DAC=OCA，ADOC，AEC=90 ，OCF=AEC=90 ，EF 是O 的切线；（2）连接 OD，DC，DAC= DOC，OAC= BOC，DAC=OAC，ED=1 ，DC=2，sin ECD= ，ECD=30，OCD=60，OC=OD，DOC 是等边三角形，BOC=COD=60，OC=2 ，l= = 21（2017 湖北宜昌）已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，DE=EC，以 AE 为直
25、径的O与边 CD 相切于点 DB 点在 O 上，连接 OB（1）求证：DE=OE ；（2）若 CDAB，求证：四边形 ABCD 是菱形【考点】MC ：切线的性质； L9：菱形的判定【分析】（1）先判断出2+3=90，再判断出1=2 即可得出结论；（2）先判断出ABOCDE 得出 AB=CD，即可判断出四边形 ABCD 是平行四边形，最后判断出CD=AD 即可【解答】解：（1）如图，连接 OD，CD 是O 的切线，ODCD，2+3=1+COD=90，DE=EC ，1=2，3=COD ，DE=OE；（2）OD=OE，OD=DE=OE，3=COD= DEO=60，2=1=30，OA=OB=OE，OE
26、=DE=EC，OA=OB=DE=EC，ABCD，4=1，1=2= 4= OBA=30，ABOCDE，AB=CD，四边形 AD 是平行四边形，DAE= DOE=30 ，1=DAE ，CD=AD，ABCD 是菱形24（2017 江苏南通）如图，Rt ABC 中，C=90，BC=3 ，点 O 在 AB 上，OB=2，以 OB 为半径的O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长【考点】MC ：切线的性质； KQ：勾股定理【分析】连接 OD，首先证明四边形 OECD 是矩形，从而得到 BE 的长，然后利用垂径定理求得 BF 的长即可【解答】解：连接 OD，作 OEBF 于点 EBE
27、= BF，AC 是圆的切线，ODAC，ODC=C=OFC=90，四边形 ODCF 是矩形，OD=OB=EC=2，BC=3，BE=BCEC=BCOD=32=1，BF=2BE=226（2017 江苏镇江）.如图， 中， ，点 在 上， ，过 两点的ACBRt09DACABD,圆的圆心 在 上.（1）利用直尺和圆规在图 1 中画出 （不写作法，保留作图痕迹，并用黑OABO色水笔把线条描清楚）；（2）判断 所在直线与（1）中所作的 的位置关系，并证明你的结论；D（3）设 交 于点 ，连接 ，过点 作 ， 为垂足.若点 是线段 的黄金分割EDEBCFDAC点（即 ，）如图 2，试说明四边形 是正方形.A
28、C25（2017 江苏扬州）如图，已知平行四边形 OABC 的三个顶点 A、B、C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作 CDAB，分别交 AB、AO 的延长线于点 D、E，AE 交半圆 O 于点 F，连接 CF（1）判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：CF=OC ；若半圆 O 的半径为 12，求阴影部分的周长【考点】MB：直线与圆的位置关系；L5：平行四边形的性质；MN：弧长的计算【分析】（1）结论：DE 是O 的切线首先证明 ABO，BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF 是等边三角形即可解决问题；求出 EC、
29、EF、弧长 CF 即可解决问题【解答】解：（1）结论：DE 是O 的切线理由：四边形 OABC 是平行四边形，又OA=OC，四边形 OABC 是菱形，OA=OB=AB=OC=BC，ABO，BCO 都是等边三角形，AOB= BOC=COF=60，OB=OF，OG BF，AF 是直径，CDAD ，ABF=DBG=D=BGC=90，四边形 BDCG 是矩形，OCD=90，DE 是O 的切线（2）由（1）可知：COF=60，OC=OF ，OCF 是等边三角形，CF=OC在 RtOCE 中，OC=12，COE=60，OCE=90，OE=2OC=24，EC=12 ，OF=12，EF=12， 的长= =4，
30、阴影部分的周长为 4+12+12 24（2017 江苏盐城）如图，ABC 是一块直角三角板，且C=90，A=30，现将圆心为点 O 的圆形纸片放置在三角板内部（1） 如图，当圆形纸片与两直角边 AC、BC 都相切时，（2） 试用直尺与圆规作出射线 CO；（3） （不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动 1 周，回到起点位置时停止，若 BC=9，圆形纸片的半径为 2，求圆心 O 运动的路径长【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图复杂作图【分析】（1）作ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心 O，作射线 CO 即可；（2）添加如图所
31、示辅助线，圆心 O 的运动路径长为 ，先求出ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形 OEDO1、四边形 O1O2HG、四边形 OO2IF 均为矩形、四边形 OECF 为正方形，得出OO 1O2=60=ABC 、O 1OO2=90，从而知OO 1O2CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案【解答】解：（1）如图所示，射线 OC 即为所求；（2）如图，圆心 O 的运动路径长为 ，过点 O1 作 O1DBC 、O 1FAC、O 1GAB，垂足分别为点 D、F、G，过点 O 作 OEBC，垂足为点 E，连接 O2B，过点 O2 作 O2HAB，O 2I AC，垂足分别为点 H、 I，在 RtABC
32、 中，ACB=90、A=30 ，AC= = =9 ，AB=2BC=18 ，ABC=60，C ABC =9+9 +18=27+9 ，O 1DBC、O 1GAB，D、G 为切点，BD=BG，在 RtO 1BD 和 RtO 1BG 中， ，O 1BDO 1BG（HL ），O 1BG= O1BD=30，在 RtO 1BD 中，O 1DB=90，O 1BD=30，BD= = =2 ，OO 1=922 =72 ，O 1D=OE=2，O 1DBC ，OEBC，O 1DOE，且 O1D=OE，四边形 OEDO1 为平行四边形，OED=90 ，四边形 OEDO1 为矩形，同理四边形 O1O2HG、四边形 OO2
33、IF、四边形 OECF 为矩形，又 OE=OF，四边形 OECF 为正方形，O 1GH= CDO1=90，ABC=60，GO 1D=120，又FO 1D=O 2O1G=90，OO 1O2=3609090=60=ABC，同理，O 1OO2=90，OO 1O2CBA， = ，即 = ， =15+ ，即圆心 O 运动的路径长为 15+ 25（2017 江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点 D，AE 平分 BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、 D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，F 与 y 轴相交于另一点 G（1）求证：BC
34、 是F 的切线；（2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0， 1），D（2，0），求F 的半径；试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到 FEA=EAC ，得到FE AC，根据平行线的性质得到FEB=C=90 ，证明结论；（2）连接 FD，设F 的半径为 r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作 FRAD 于 R，得到四边形 RCEF 是矩形，得到 EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可【解答】（1）证明：连接 EF，AE 平分BAC，FAE=CAE，FA=FE，FA
35、E=FEA，FEA=EAC，FE AC，FEB=C=90 ，即 BC 是F 的切线；（2）解：连接 FD，设F 的半径为 r，则 r2=（r 1） 2+22，解得，r= ，即F 的半径为 ；（3）解：AG=AD+2CD证明：作 FRAD 于 R，则FRC=90 ，又FEC=C=90 ，四边形 RCEF 是矩形，EF=RC=RD+CD，FRAD，AR=RD，EF=RD+CD= AD+CD，AG=2FE=AD+2CD27、（2017苏州）如图，已知 内接于 ， 是直径，点 在 上， ，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 边于点 (1)求证： ； (2)求证： ； (3)连接 ，设 的面积为 ，四边形
36、的面积为 ，若 ，求 的值（1）证明：AB 是圆 O 的直径，ACB=90，DEAB，DEO=90，DEO=ACB，OD/BC，DOE=ABC，DOEABC，（2）证明：DOEABC，ODE=A，A 和BDC 是弧 BC 所对的圆周角，A=BDC，ODE=BDC，ODF=BDE。（3）解：因为DOEABC ,所以 ，即 =4 =4因为 OA=OB，所以 = ，即 =2 ,因为 = ,S2= + + =2S1+S1+,所以 = ，所以 BE= OE,即 OE= OB= OD，所以 sinA=sinODE= =【考点】圆周角定理，相似三角形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）易证
37、DEO= ACB=90和 DOE=ABC，根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定DOEABC；（2）由DOEABC，可得ODE=A ，由A 和BDC 是弧 BC 所对的圆周角，则A= BDC，从而通过角的等量代换即可证得；（3）由ODE=A，可得 sinA=sinODE= = ；而由DOE ABC ,可得 ， 即 =4 =4 = ， 即 =2 ,又因为 = ,S2= + + =2S1+S1+,则可得 = ， 可求得 OE 与 OB 的比值. 27（2017 江苏无锡）如图，以原点 O 为圆心， 3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边），P 是半径 OB 上一
38、点，过 P 且垂直于 AB 的直线与O 分别交于 C，D 两点（点 C在点 D 的上方），直线 AC，DB 交于点 E若 AC：CE =1：2（1）求点 P 的坐标；（2）求过点 A 和点 E，且顶点在直线 CD 上的抛物线的函数表达式【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）如图，作 EFy 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H设 H（m ，n），则 P（m，0），PA=m+3，PB=3m首先证明ACPECH，推出 = = = ，推出 CH=2n，EH=2m=6，再证明DPB DHE，推出 = = = ，可得 = ，求出 m 即可解决问题；（2）由题意设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（
39、x5），求出 E 点坐标代入即可解决问题；【解答】解：（1）如图，作 EFy 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H设 H（m ，n），则P（m， 0），PA =m+3，PB=3 mEH AP，ACPECH， = = = ，CH=2n，EH=2 m=6，CDAB ，PC=PD=n，PBHE，DPB DHE， = = = ， = ，m=1，P（1，0）（2）由（1）可知，PA=4 ，HE=8，EF=9 ，连接 OP，在 RtOCP 中，PC= =2 ，CH=2PC=4 ，PH=6 ，E（9，6 ），抛物线的对称轴为 CD，（3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为 y=a（x+3 ）
40、（x5），把E（9，6 ）代入得到 a= ，抛物线的解析式为 y= （x+3）（x5），即 y= x2 x 23（2017 山东济南）（ ）如图，在矩形 中， ， 于点 ，求证： 1ABCDAEDF ABDF（ ）如图， 是 的直径， ，求 的度数2O25BA【答案】见解析【解析】（ ）证明：在矩形 中，1ABCD ，ADBC FE在 和 中，,90,ABDE ，F AB（ ）解： ，225CD ，5 是 的直径，ABO 90在 中， D180180256ABDA22（2017 山东潍坊）如图，AB 为半圆 O 的直径， AC 是O 的一条弦，D 为 的中点，作DEAC，交 AB 的延长线于点
41、 F，连接 DA（1）求证：EF 为半圆 O 的切线；1()图FECBA DCB ADO2()图（2）若 DA=DF=6 ，求阴影区域的面积（结果保留根号和 ）【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出 ODEF，即可得出答案；（2）直接利用得出 SACD =SCOD ，再利用 S 阴影 =SAED S 扇形 COD，求出答案【解答】（1）证明：连接 OD，D 为 的中点，CAD=BAD，OA=OD，BAD=ADO，CAD=ADO，DEAC，E=90，CAD+EDA=90，即ADO +EDA=90 ，ODEF，EF 为半圆 O
42、 的切线；（2）解：连接 OC 与 CD，DA=DF，BAD=F，BAD=F=CAD，又BAD+ CAD+F=90，F=30，BAC=60，OC=OA，AOC 为等边三角形，AOC=60，COB=120，ODEF， F=30，DOF=60 ，在 RtODF 中，DF=6 ，OD=DFtan30=6，在 RtAED 中，DA=6 ，CAD=30，DE=DAsin30 ，EA=DAcos30=9，COD=180AOCDOF=60，CDAB，故 SACD =SCOD ，S 阴影 =SAED S 扇形 COD= 93 62=623（2017 山东威海）已知：AB 为O 的直径， AB=2，弦 DE=1
43、，直线 AD 与 BE 相交于点 C，弦 DE在O 上运动且保持长度不变，O 的切线 DF 交 BC 于点 F（1）如图 1，若 DEAB，求证：CF=EF ；（2）如图 2，当点 E 运动至与点 B 重合时，试判断 CF 与 BF 是否相等，并说明理由【分析】（1）如图 1，连接 OD、OE，证得OAD、ODE 、OEB、CDE 是等边三角形，进一步证得 DFCE 即可证得结论；（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论【解答】证明：如图 1，连接 OD、OE，AB=2，OA=OD=OE=OB=1，DE=1 ，OD=OE=DE，ODE 是等边三角形，ODE=OED=60 ，DEAB，AOD=ODE=60 ，EOB= OED=60，AOD 和 OE 是等边三角形，OAD=OBE=60，CDE=OAD=60， CED=OBE=60，CDE 是等边三角形，DF 是O 的切线，ODDF，EDF=9060=30 ，DFE=90，DFCE，CF=EF；（2）相等；如图 2，点 E 运动至与点 B 重合时，BC 是O的切线，O 的切线 DF 交 BC 于点 F，BF=DF，BDF=DBF ，AB 是直径，ADB=BDC=90，FDC=C，DF=CF，BF=CF【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等
