1、三角形全等证明总结一 证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法” 例如：如图 13-2-10，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， DE AB， DF AC，分别交 AC、 AB 于点 E、 F求证： BF DE分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下CBDFAFCEE BFD DEC（ ASA）BF DE（目标） 以上这种由因导果的方法就是综合法（2）分析法就是从要
2、判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法” 如上题，用分析法的探索过程如下：BF DE BFD DEC ACDFBCBE（3）分析综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面即：已 知 中 间 条 件 结 论 综 合 法 分 析 法 例如：如图 13-2-11，在 ABC 中， AB AC， D 是 BC 的中点
3、， E 是 AD 上任一点，连接 EB、 EC，求证： EB EC分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程先用综合：由因导果CDBDA ABD ACD ， CDAB再用分析：执果索因EB EC ABE ACE AEBC ABD ACD证明： D 是 BC 的中心， BD CD在 ABD 和 ACD 中 C ABD ACD（SSS） BAD CAD在 ABE 和 ACE 中 AEB ABE ACE（SAS） BE CE（全等三角形的对应边相等） 【说明】本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选 BDE CDE，方法同上本题两次用到全等三角形，在分析中应找准
4、三角形，理清思路二 如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等三、二次全等问题1.已知：如图，线段 AC、BD 交于 O，AOB 为钝角，ABCD ，B
5、F AC 于 F，DE AC于 E，AECF 求证：BODO2已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC若过 O 点作直线 l，分别交AB、DC 于 E、F 两点，求证：OEOF.3如图，E 在 AB 上，12，34，那么 AC 等于 AD 吗？为什么？4已知：如图，DEAC，BFAC，AD BC，DE BF.求证：ABDC.四 难题选讲（旋转类型）1、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF2.如图 1、图 2、图 3，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC 与
6、BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？3.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在 ABC 中， AB=AC， P 是 ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ，使 QAP= BAC，连接 BQ、 CP，则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了 ABQ ACP，从
7、而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“ BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明4、已知：在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果 AB=AC，BAC=90(1)当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图甲，线段 BD，CE 之间的位置关系怎样？说明理由。（2 ）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙， (1)中的结论是否还成立？为什么？（线段和差问题）1.如图，已知等边ABC，P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边作
8、等边APE,EC 延长线交 BP 于 M，连接 AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.2.已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CE AB 于 E，且B+D=180 ，求证：AE=AD+BE 2题P BACEMA B D C E 1 2 （垂直类型）1.已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系2.如图：在ABC 中，BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取BD=AC，在 CF 的延长线上截取CG=AB，连结 AD、AG。求证：（1）AD=AG，（2）AD 与 AG 的位
9、置关系如何。3.已知：BD，CE 是ABC 的高，点 F 在 BD 上，BF=AC,点 G 在 CE 的延长线上，CG=AB.求证:AGAFBACEFQPDGHF EDCBAB CDAGEF4、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明：DCBE图1图2DC EAB5.已知：如图， 是等边三角形，过 边上的点 作 ，交ABC ABDGBC于点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ACGDEAE，（1）求证： ；E （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样F FFF的三角形，试证明你的结论6、已知：如图， ABC 中， ABC=45， CD AB 于 D， BE 平分 ABC，且BE AC 于 E，与 CD 相交于点 F， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证： BF=AC；C G A E D B F NMEFACBA(2)求证： CE= 12BF；7. D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证MNDE=DF。（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。
