1、一元函数积分学考试要求：1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法。2. 了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.4. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.考试内容解析：（一） 不定积分1. 基本概念（1）原函数：若在某区间 I 内， 或 ，则称 为()Fxf()dFxfd()Fx在该区间内的一个原函数（有时候区间略而不提）.()fx（2）原函
2、数与不定积分的关系：若已知 是 一个原函数，则 ，其中 为任意常数.()Ffx()()fxdC注：若 有一个原函数 ，则 必有无穷多个原函数，并且所有原函数皆()F为 的形式。()xC例 1 设 的导数是 ，则 的原函数是fsinx()f（3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系：或()()fxdf()()dffx或FCFC（4）不定积分的性质：， 为任意常数.()()()afxbgdafxdbg,a（5）不定积分的几何意义：的不定积分 表示具有斜率为 的“平行”曲线组.()f()f()fx2. 基本积分表（式中 为任意常数， ）C0a(1)0dx(2)xd(3)dx(4)xad5e6sin7c
3、os2(8)secxd 2(9)csxd10tan(1)scotxd2()x 2(3)x2(14)da2(15)da2(16)dxa7secx 8csx2(19)da2(0)da3. 基本积分法（1）直接积分法：直接利用或将被积函数适当恒等变形后，再利用基本积分表以及积分的性质和法则，可以求一些较简单的不定积分，此法成为直接积分法.例 2 求下列不定积分： 22();()tan.cosindxxd（2）第一类换元积分法：设 是 的连续函数， 及其导数 是 的连续函数，若()fu()u()x则 .()dFCfxdFCxuxuxaeuxbauxdfdxffxf xdffxdafdafeexfxfd
4、abafbaf xarcsintcotansiln)(arcsi)(rin1)(arcsin.1ttt0o)(cs)(o.9tanectan8s)(i)(.7ios6)(l1)(.54)(ln)(ln.3)012()()(.122 法分积元换一第 换 元 公 式积 分 类 型例 3 求下列不定积分： arctn(1)sec;(2).1xxdd例 4 设 ，则()arcsinxfdxC ()dxf例 5 设 ，且 则()xxfe(1)0f()fx（3）第二类换元积分法：设 连续，而 难计算，可选择连续可微且其导数无零点的函数 ，()fx()fxd ()xt则 .1()()()()ffttGCxC
5、 常用的方法： 当被积函数中含有a) 可令 b) 可令 2,axsinat2,xatanc) 可令 d) 可令 ecnbnxbe) 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换 .t1例 6 求下列不定积分： 2(1);(2)1dxdxa（4）分部积分法：公式： 或udvuvdxuvdx使用这个公式的时候，选取谁是 ，谁是 很关键。顺序：反对幂指三。例 7 求不定积分 .dxe2分析：若被积函数是幂函数(指数为正整数) 与指数函数或正 (余)弦函数的乘积, 可设幂函数为 u, 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.解：例 8 求不定积分 .xdln3
6、分析：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为 u, 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.解：例 9 求不定积分 .xdesin注：若被积函数是指数函数与正(余) 弦函数的乘积, u, dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的 u, 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.解：分部积分的灵活应用例题：例 10 求不定积分 .(1)sinl)(2)xxded关于不定积分的注释：（1） 求导数与求积分是互逆的.已知一个函数求其导数是唯一的，但其逆运算求不定积分的结果则不是唯一的.积分结果的对与错只能用求导验证；（2） 连续函数一定有原函数，但是未必能用初等函数表示出来，例如：等；2sin,lnxdde（3） 求一个已给的积分，一般先考虑直接积分法，行不通时，再考虑凑微分法.当被积函数为两个不同类型函数之积时，较多地应优先考虑分部积分法；而当被积函数中含有根号时，经常考虑第二换元法，去掉根号.实战练习：计算下列不定积分1. 已知 的一个原函数为 则()fx2ln,x()fdx2. 设 ，计算2(sin)ifx()1fxd3. 计算 arcsinxd4. 计算 2ln1xd5. 设 为 的原函数，且当 时， ，已知()Fxf0x2()(1)xefF，试求 .01,0()f
