1、1九年级上册第 1 章 二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函2yaxbca，0a数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数0abc，2. 二次函数 的结构特征：2yx 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项c，abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号 开口方向 顶点坐 标 对
2、称轴 性质0a向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐 标 对称轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐 标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，X=h时， 随 的增大而减小；
3、 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 24. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如2yax ，下： 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kr 点 P 在O 外；dr 点 P 在O 上；dr 点 P 在O 内。5、三角形的外接圆，外心三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。三角形外心到
4、三角形三个顶点的距离相等。相关知识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。二、圆的性质1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，
5、并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等即： 是直径 弧 弧 ABABCDEB 弧 弧 中，任意 2个条件推出其他 3个结论。C推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， O弧 弧4、与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角三、弧、扇形、圆锥侧面的计算 圆的面积: ，周长:2RSR
6、C2OE DCBA8 圆心角为 n，半径为 R 的弧长 180Rnl 圆心角为 n，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积 或 .3602RnSlS1知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。 圆锥的侧面展开图为扇形。底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 ，全面积为l，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 。2lS 22hRl四、作图平分已知弧；作三角形的外接圆。五、辅助线圆中常见的辅助线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距” 组成的直角三角形进行计算；4作弦构造同弧或等弧所对的
7、圆周角；5作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角；6遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。第 4 章 相似三角形知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点 2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线ba, nm,段的比是 ，或写成 nmbanm:注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段dc,ba和 dc和叫做成比例线段，简称比例线段ca,注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的
8、，如果说 是 的第四比例项，那么应得比例adcb,式为： adcb知识点 3 比例的性质基本性质：(1) ；bcdb:(2) aca2注意：9()()abcdbbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ，除bcad了可化为 ，还可化为 ， ， ，d: dbca:ba:cad:， ， ， :ba:c更比性质(交换比例的内项或外项)：反比性质(把比的前项、后项交换)： cdab合比性质： dcbadc注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如
9、： 等等dcbadcb等比性质：如果 ，那)0(nfdnmfedcba么 f注意：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，k变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中 fdefedcbafedcba 3232 032fdb知识点 4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的
10、三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边知识点 5 黄金分割10把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中AB)(,BCAABC和项，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中0.618 C215知识点 6 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和
11、对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为 1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点 7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是：，BCDE/ A知识点 8 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一 有 ABCAB(2)对称性：若 ，则 C(3)传递性：若 ，且 ，则 ABCB知识点 9 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两
12、边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这11EADCBEADCBA DCB两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
13、个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。 每 一条 直 角 边 是 这 条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。公 式 如 图 ， Rt ABC 中 ， BAC=90， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ， 则 有 射影 定 理 如 下 ： （ 1） （ AD） 2=BDDC，（ 2） （ AB） 2=BDBC ，（ 3） （ AC） 2=CDBC 。证
14、明 ： 在 BAD 与 ACD 中 ， B+ C=90， DAC+ C=90， B= DAC， 又 BDA= ADC=90， BAD ACD 相 似 ， AD/BDCD/AD， 即（ AD） 2=BDDC。 其 余 类 似 可 证 。注 ： 由 上 述 射 影 定 理 还 可 以 证 明 勾 股 定 理 。 由 公 式 （ 2） +（ 3） 得 ：（ AB） 2+（ AC） 2=BDBC+CDBC =（ BD+CD)BC=（BC） 2，即 （ AB） 2+（ AC） 2=（ BC） 2。这 就 是 勾 股 定 理 的 结 论 。知识点 10 相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比
15、例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似三角形常见的图形（1）若 DEBC（A 型和 X型）则ADEABC（2）射影定理 若 CD为 RtABC 斜边上的高（双直角图形） 则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB，CD 2=ADBD，BC 2=BDAB；（3）满足 1、AC 2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB12ADCBEADCB（4）当 或 ADAB=ACAE时，ADEACBADECB（3） （4）
