1、12012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题1.（复数）设 为虚数单位，则复数 （ ）i 56iA. B. C. D.656i 5i65i解析：D. .i52.（集合）设集合 ， ，则 （ ）1,234,6U1,24MUCA. B. C. D.,53,562,46解析：C. .3,6UCM3.（向量）若向量 ， ，则 （ ）2,BA4,7CBCA. B. C. D.2,4, 6,106,10解析：A. .2,4C4.（函数）下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）0,A. B. C. D.ln2yx1yx12xy1yx解析：A. 在 上是增函数.l2,5.已知变量
2、 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）xy1yx3zxyA.12 B.11 C.3D. 1解析：B.画出可行域，可知当代表直线过点 时，取到最大值.联A立 ，解得 ，所以 的最大值为 11.21yx32xyzxy26.（立体几何）某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为（ ）A. B.1245C. D.5781解析：C.该几何体下部分是半径为 3，高为 5 的圆柱，体积为，上部分是半径为 3，高为 4 的圆锥，体积为2354V，所以体积为 .11577.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是（ ）A. B. C. D.49132919解析：D.两位
3、数共有 90 个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个，个位数为 0 的有 5 个，所以概率为 .51498.对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，若平面向量 、 满足ab， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 （ 0ab0,4ab2nZ）A. B.1 C. D.12 3252解析：C. ， ，两式相乘，可得aba1cos2kba2cosk.因为 ，所以 、 都是正整数，于是 ，即212cos4k0,41k2 2121cos4k，所以 .而 ，所以 ， ，于是 .12123k0ab132k3ab二、填空题（一）必做题（913 题）39.（不等式）不等式 的解集为_.21x解析
4、： . 的几何意义是 到 的距离与 到 0 的距离的差，画出1,x2x数轴，先找出临界“ 的解为 ”，然后可得解集为 .21x11,210.（二项式定理） 的展开式中 的系数为_.（用数字作答）62x3x解析：20. 的展开式通项为 ，令 ，621x6212316kk kTCCx3k解得 ，所以 的展开式中 的系数为 .3k62x3x36011.（数列）已知递增的等差数列 满足 ， ，则na1234a_.na解析： .设公差为 （ ） ，则有 ，解得 ，所以21d0214d2d.na12.曲线 在点 处的切线方程为_.3yx1,3解析： . ，所以切线方程为 ，即2021|xy321yx.1x
5、y13.（算法）执行如图 2 所示的程序框图，若输入 的值n为 8，则输出 的值为_.s解析：8.第一次循环， ， ， ；12s4i2k第二次循环， ， ， ；第三次循环，124s6i3k， ， .此时退出循环，输出 的值14683siks为 8.（二）选做题（1415 题）14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，曲线 和 的参数方程分别为xOy1C24（ 为参数）和 （ 为参数） ，则曲线 与 的交点坐标为_.xty2cosinxy1C2解析： .法 1：曲线 的普通方程是 （ ） ，曲线 的普通方程是,1C2yx02，联立解得 ，所以交点坐标为 .2xyxy1,法 2：联立 ，可得
6、 ，即 ，解2cosint22cosin2coscs20得 或 （舍去） ，所以 ，交点坐标为 .coscs1t1,15.（几何证明选讲）如图 3，圆 的半径为 1， 、 、 是圆OABC周上的三点，满足 ，过点 作圆 的切线与 的延长线0ABCO交于点 ，则 _.P解析： .连接 ，则 ， ，因为3690AP，所以 .1OA三、解答题16.（三角函数） （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ）的最小正周期为 .2cos6fxx0xR10（）求 的值；（）设 、 ， ， ，求 的0,2563f5167fcos值.解析：（） ，所以 .10T15（） ，所以5 62cos2cos2sin33
7、65f . ，所以 .因为 、sin51516ss6 7f 8cos175，所以 ， ，所以0,224cos1in5215sincos7.831cosis7817.（概率统计） （本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：、 、 、 、0,5,60,70,8,90、 .9,1（）求图中 的值；x（）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望.解析：（）由 ，解得 .0.63.10541x018x（）分数在 、 的人数分别是 人、8,9, 0.9人.所
8、以 的取值为 0、1、2.50.613， ，02916CP139276CP，所以 的数学期望是 .203916910212E18.（立体几何） （本小题满分 13 分）如图 5 所示，在四棱锥 中，底面 为矩PABCDAB形， 平面 ，点 在线段 上， 平面PABEP.BDE（）证明： 平面 ；（）若 ， ，求二面角 的正切值.12ADBCA解析：（）因为 平面 ， 平面 ，所以 .又因为PCEDEPCBD6平面 ， 平面 ，所以 .而 ， 平面PABCDABCDPABCPA， 平面 ，所以 平面 .P（）由（）可知 平面 ，而 平面 ，所以 ，而BDC为矩形，所以 为正方形，于是ABAB.2
9、D法 1：以 点为原点， 、 、 为 轴、 轴、DAPxy轴，建立空间直角坐标系 .则 、z B0,1、 、 ，于是 ，2,0C,B0,2,2C.设平面 的一个法向量为 ，则 ，从而,1PP1n,xyz0BCP1n，令 ，得 .而平面 的一个法向量为 .20yxzx1,02nPAC2,2D所以二面角 的余弦值为BPCA，于是二面角210cos,51212=n的正切值为 3.法 2：设 与 交于点 ，连接 .因为 平面ACBDOEPC， 平面 ， 平面 ，所以 ， ，于是 就BDEOEBOEBOEB是二面角 的平面角.又因为 平面 ， 平面 ，所以 是PDAPAC直角三角形.由 可得 ，而 ，所
10、以 ，ACP2D2，而 ，所以 ，于是 ，而 ，2C1313EB于是二面角 的正切值为 .BPOB19.设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 、 、nanS12nna*N1a25成等差数列.3a（）求 的值；1a7（）求数列 的通项公式；na（）证明：对一切正整数 ，有 .1213naa解析：（）由 ，解得 .1232175aa1（）由 可得 （ ） ，两式相减，可得1nnSa12nnS，即 ，即 ，所以数列 （12na3n 13naa2na）是一个以 为首项，3 为公比的等比数列.由 可得， ，所以24a 1225，即 （ ） ，当 时， ，也满足该式子，所以数列29nnan2na的通项公
11、式是 .n3na（）因为 ，所以 ，所以 ，于是11122nn132nn13na.112113232nnnnaa 点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题 ，该加1213nnaa强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为 的等比数列 ，其前 项和为 ，希望能得到qnb1nnbqT，考虑到 ，所以令 即可.由112 32nnbaa 11nq132q的通项公式的形式可大胆尝试令 ，则 ，于是 ，此时只需证明n q1b13n就可以了.13nba当然， 的选取并不唯一，也可令 ，此时 ， ，与选取 不同q12q134b12n13q8的地方在于，当 时， ，当 时， ，所以此时我们不能从第一项就开1nnb
12、a21nba始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当 时， ；当 时， ；当 时，1n132an1235an.12359a当 时， ，所以4n1nba.312 121 13595962nnaa综上所述，命题获证.下面再给出 的两个证法.1213naa法 1：（数学归纳法）当 时，左边 ，右边 ，命题成立.n1a32假设当 （ ， ）时成立，即 成立.为了证明当k2kN132kii时命题也成立，我们首先证明不等式： （ ， ）.1nk3iiii1iN要证 ，只需证 ，只需证11323iiii1122iiii，只需证 ，只需证 ，该式子明显成立，所以1iiii12ii.1iiii于
13、是当 时， ，所以1nk112113323322kkkii iiii命题在 时也成立.综合，由数学归纳法可得，对一切正整数 ，有 .n123naa备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一9个错误的认识.法 2：（裂项相消法） （南海中学钱耀周提供）当 时， 显然成立.当 时， 显然成立.1n132a2n1235a当 时，31nn12nnnCC，又因为 ，所12 21nnnCC 25a以 （ ） ，所以 （ ） ，所以na1nan.12311132342na n 综上所述，命题获证.20.（解析几何） （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ：
14、（ ）的离心率xOyC21xyab0a且椭圆 上的点到点 的距离的最大值为 3.23eC0,2Q（）求椭圆 的方程；（）在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 ： 与圆 ：,Mmnl1mxnyO相交于不同的两点 、 ，且 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及21xyABOM对应的 的面积；若不存在，请说明理由.OAB解析：（）因为 ，所以 ，于是 .设椭圆 上任一点 ，23e23ca23abC,Pxy则 （ ）.222 2214yPQxyayb b当 时， 在 时取到最大值，且最大值为 ，由01b2P24解得 ，与假设 不符合，舍去.24901b当 时， 在 时取到最大值，且最大值为 ，由 解得2
15、Qy236b2910.于是 ，椭圆 的方程是 .21b23aC213xy（）圆心到直线 的距离为 ，弦长 ，所以 的面积l2dmn21ABdOAB为 ，于是 .而 是椭圆上的2112SABd22214Sd,Mmn点，所以 ，即 ，于是 ，而 ，所以23mn223n22213mn1， ，所以 ，于是当 时， 取到最大值 ，此时2011ddS4取到最大值 ，此时 ， .S2n2综上所述，椭圆上存在四个点 、 、 、6,62,62,，使得直线与圆相交于不同的两点 、 ，且 的面积最大，且最大值62, ABO为 .1点评：此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高.（2012 年南
16、海区高三 8 月摸底考试）已知椭圆 的两焦点为 、 ，并C1,0F21,且经过点 .31,2M（）求椭圆 的方程；C（）已知圆 ： ，直线 ： ，证明：当点 在椭圆 上O21xyl1mxny,PmnC运动时，直线 与圆 恒相交；并求直线 被圆 所截得的弦长的取值范围.l O21.（不等式、导数） （本小题满分 14 分）设 ，集合 ， ， .1a0AxR23160BxRaxDAB（）求集合 （用区间表示） ；D（）求函数 在 内的极值点.32216fxaxD解析：（）考虑不等式 的解.011因为 ，且 ，所以可分以下三种情况：2314631aaa 当 时， ，此时 ， .30BR0,DA当 时
17、， ，此时 ， .1a1x,1,当 时， ，此时 有两根，设为 、 ，且 ，302360a1x212x则 ， ，于是1 14aax 234ax.12Bx或当 时， ， ，所以 ，此时03a130a1230xa210x；当 时， ，所以 ， ，此时 .12,Dx121 2,Dx综上所述，当 时， ；当 时， ；当,DA3,时， ；当 时， .其中03a120,x0a2,x， .134ax23114ax（） ，令 可得 .因为 ，2616fxa0fx0x1a所以 有两根 和 ，且 .01m212m当 时， ，此时 在 内有两根 和 ，列13a0,DA0fxD1ma2表可得 x,a,1a1 ,f+
18、0 - 0 +x递增 极小值 递减 极大值 递增所以 在 内有极大值点 1，极小值点 .fDa当 时， ，此时 在 内只有一根 ，列表13a0,0fxD13ma可得12x10,3131,31,f+ 0 - +x递增 极小值 递减 递增所以 在 内只有极小值点 ，没有极大值点.fDa当 时， ，此时 （可用分析法证明） ，103a120,x120ax于是 在 内只有一根 ，列表可得fxma0, 1,ax2,xfx+ 0 - +递增 极小值 递减 递增所以 在 内只有极小值点 ，没有极大值点.fxDa当 时， ，此时 ，于是 在 内恒大于 0， 在 内0a2,x21xfxDfxD没有极值点.综上所述，当 时， 在 内有极大值点 1，极小值点 ；当 时，13afxDa13在 内只有极小值点 ，没有极大值点.当 时， 在 内没有极值点.fxD0afxD
