1、第2课时 数列的递推公式与通项公式,第2章 2.1 数 列,学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 递推公式,思考 数列1,2,4,8，的第n项an与第n1项an1有什么关系？,答案 an12an,梳理 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.,二,an,an1,特别提醒：(1)与所
2、有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.,知识点二 数列的表示方法,思考 以数列2,4,6,8,10,12，为例，你能用几种方法表示这个数列？,答案 通项公式法：an2n.,列表法：,图象法：,梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.,思考辨析 判断正误 1.利用an12an，nN*可以确定数列an.( ) 2.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决.( ) 3.递推公式是表示数列的一种方法.( ),题型探究,例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在
3、四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.,类型一 数列的表示法,解答,解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a11，an13an，nN*，个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 所以，这个数列的一个通项公式是an3n1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示).,反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.,跟踪
4、训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n1(n2，nN*)个三角形数多_个石子.,n,答案,解析,解析 a2a12，a3a23，anan1n.,命题角度1 由递推公式求前若干项,解答,类型二 数列的递推公式,解答,引申探究,an是周期为4的数列， a2 018a45042a23.,反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项
5、.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.,解答,解 a11，a22，a31，a41，a52， a61，a71，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6. 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且T6. a2 018a33662a22.,跟踪训练2 已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？,命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3
6、a2)(anan1)an(n2，nN*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；,解答,解 当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 2(n1)12n1. a11也符合上式， 所以数列an的通项公式是an2n1.,解答,a11也符合上式，,解答,，,又当n1时，a11，也符合上式.,(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1),达标检测,1.数列1,3,6,10,15，中anan1_(nN*且n1).,答案,解析,1,2,3,4,n,解析 由已知得a2a12，a3a23，a4a34， a5a45，an1ann1，nN*.,
7、答案,解析,1,2,3,4,解析 an1an1. ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2 2(1)(n1)3n.,2.已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项an_.,3n,答案,解析,1,2,3,4,an2n1，nN*,3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.,解析 a13，a2325，a33227， a432229，an2n1，nN*.,1,2,3,4,解析 x11，x2 ，x31， 数列xn的周期为2，x2 018x2 .,答案,解析,1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.,规律与方法,
