1、优格教育 龚恒雷 1中考数学压轴题辅导（十大类型 ）目录动点型问题3几何图形的变换（平移、旋转、翻折）6相似与三角函数问题 9三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）.13与四边形有关的二次函数问题16初中数学中的最值问题19定值的问题22存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）25与圆有关的二次函数综合题29其它（如新定义型题、面积问题等）33参考答案.36优格教育 龚恒雷 2中考数学压轴题辅导（十大类型 ）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函
2、数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求 x的值等，或直线（圆）与圆的相切时
3、求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 yf（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用
4、的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜” 。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置
5、的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。优格教育 龚恒雷 3三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，
6、在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件
7、不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例 1 （基础题）如图，已知抛物线 y=x22x3 与 x 轴从左至右分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，顶点为 D（1）求与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；（2）若线段 AD 上有一动点 E，过 E 作平行于 y 轴的直线交抛物线于 F，当线段 EF 取得最大值时，求点 E 的坐标优格教育 龚恒雷 4变式练习：（2012 杭州模拟）如图，已知抛物线 经过点A（2， 0） ，抛物线的顶点为 D，过 O 作射线 OMAD过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 O
8、M 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t（s） 问：当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC=OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 l 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为 t（ s） ，连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值（4）在（3）中当 t 为何
9、值时，以 O，P，Q 为顶点的三角形与OAD 相似？（直接写出答案）优格教育 龚恒雷 5苏州中考题：（2015 年苏州）如图，在矩形 ABCD 中，AD=acm ，AB=bcm（ab4） ，半径为 2cm 的O 在矩形内且与 AB、AD 均相切现有动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着 ABC D 的方向匀速移动，当点 P 到达 D 点时停止移动；O 在矩形内部沿 AD 向右匀速平移，移动到与 CD 相切时立即沿原路按原速返回，当O 回到出发时的位置（即再次与 AB 相切）时停止移动已知点 P 与O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置） （1）如图，点 P 从 AB C D
10、，全程共移动了 cm（用含 a、b 的代数式表示） ；（2）如图，已知点 P 从 A 点出发，移动 2s 到达 B 点，继续移动 3s，到达 BC 的中点若点 P 与O 的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离；（3）如图，已知 a=20，b=10是否存在如下情形：当O 到达O 1 的位置时（此时圆心 O1 在矩形对角线 BD 上） ，DP 与O 1 恰好相切？请说明理由（第 28 题）O1AB CDO P（图）（图）PO DCBA优格教育 龚恒雷 6二、几何图形的变换（平移、旋转、翻折）例 2 （辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点C
11、，A（1，1） 、B（3，1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（0t 4） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90，是否存在 t，使得OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由2OA BCxy11 3PQ优格教育 龚恒雷 7变式练习：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y 34
12、xm 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0， 1） ，抛物线 经过点 B，且与直线 l 另一个交点为C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4） DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） 若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到A 1O1B1，点A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1若A 1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A
13、1 的横坐标优格教育 龚恒雷 8苏州中考题：（2014-2015 学年第一学期期末 高新区）如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：y 34xm 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B(0，1)，抛物线y 12x2bxc 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C(4，n)(1)求 n 的值和抛物线的解析式；(2)点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t(02)的左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C.点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；请探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点P 为直角顶点的等
14、腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. xyPOCBA优格教育 龚恒雷 13四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）例 4 （广东省湛江市）已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA 所在的直线为 x轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点 P 是 OA 边上的动点（与点 OA 不重合） ，现将POC 沿 PC 翻折得到PEC，再在 AB 边上选取适当的点
15、 D，将PAD 沿 PD 翻折，得到PFD，使得直线 PE、PF 重合（1）若点 E 落在 BC 边上，如图，求点 P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设 OP x，AD y，当 x 为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使PDQ 是以 PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标图PDECO ABFxy图PDCO ABFxyEF优格教育 龚恒雷 14变式 （广东省深圳市）已知：RtABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角
16、形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OAOB） ，直角顶点 C 落在 y 轴正半轴上（如图 1） （1）求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B 、C 的抛物线的关系式（2）如图 2，点 D 的坐标为（ 2，0） ，点 P（m ，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0） ，连接 DP 交 BC 于点 E当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标又连接 CD、CP（如图 3） ，CDP 是否有最大面积？若有，求出 CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由A B xyA B xyOPDE图 2C优格教育 龚恒雷 15苏州中考题：（2013
17、 年29 题）如图，已知抛物线 y 12x2bxc（b，c 是常数，且c0）与 x 轴分别交于点 A， B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A的坐标为(1，0)(1)b ，点 B 的横坐标为 （上述结果均用含 c 的代数式表示） ；(2)连接 BC，过点 A 作直线 AEBC，与抛物线 y 12x2bxc 交于点 E点 D 是 x 轴上一点，其坐标为(2，0)，当 C，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB，PC，设所得PBC 的面积为 S求 S 的取值范围；若PBC 的面积
18、 S 为整数，则这样的PBC 共有 个优格教育 龚恒雷 16五、与四边形有关的二次函数问题例 5 （内蒙古赤峰市）如图，RtABC 的顶点坐标分别为 A（0， 3） ，B（ 21， 3） ，C（1，0） ，ABC90，BC 与 y 轴的交点为 D，D 点坐标为（0， ） ，以点 D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点 B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC 沿 AC 折叠后得到点 B 的对应点 B，求证：四边形 AOCB是矩形，并判断点 B是否在（1）的抛物线上；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，在线段 BE 上取一点 P，过 P 点作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存在这样的点
19、P，使四边形 PADF 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由CBD优格教育 龚恒雷 17变式练习：（2011 年苏州 28 题）已 知 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 以 AB 为 直 径 在正 方 形 内 作 半 圆 ， P 是 半 圆 上 的 动 点 （ 不 与 点 A、 B 重 合 ） ， 连 接 PA、 PB、 PC、 PD(1)如图，当 PA 的长度等于 时，PAB 60；当 PA 的长度等于 时，PAD 是等腰三角形；(2)如图，以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A 即为原
20、点 O） ，把PAD、PAB、PBC 的面积分别记为 S1、S 2、S 3坐标为（a，b） ，试求 2 S1 S3S 22 的最大值，并求出此时 a，b 的值优格教育 龚恒雷 18苏州中考题：（2011 年29 题）已 知 二 次 函 数 2680yaxa的 图 象 与 x 轴 分 别交 于 点 A、 B， 与 y 轴 交 于 点 C 点 D 是 抛 物 线 的 顶 点 (1)如 图 ， 连 接 AC， 将 OAC 沿 直 线 AC 翻 折 ， 若 点 O 的 对 应 点 O恰 好 落 在 该 抛 物线 的 对 称 轴 上 ， 求 实 数 a 的 值 ；(2)如 图 ， 在 正 方 形 EFG
21、H 中 ， 点 E、 F 的 坐 标 分 别 是 （ 4， 4） 、 （ 4， 3） ， 边 HG 位 于边 EF 的 右 侧 小 林 同 学 经 过 探 索 后 发 现 了 一 个 正 确 的 命 题 ： “若 点 P 是 边 EH 或 边 HG 上的 任 意 一 点 ， 则 四 条 线 段 PA、 PB、 PC、 PD 不 能 与 任 何 一 个 平 行 四 边 形 的 四 条 边 对 应 相 等（ 即 这 四 条 线 段 不 能 构 成 平 行 四 边 形 ） ”若 点 P 是 边 EF 或 边 FG 上 的 任 意 一 点 ， 刚 才 的 结论 是 否 也 成 立 ？ 请 你 积 极
22、探 索 ， 并 写 出 探 索 过 程 ；(3)如 图 ， 当 点 P 在 抛 物 线 对 称 轴 上 时 ， 设 点 P 的 纵 坐 标 t 是 大 于 3 的 常 数 ， 试 问 ： 是否 存 在 一 个 正 数 a， 使 得 四 条 线 段 PA、 PB、 PC、 PD 与 一 个 平 行 四 边 形 的 四 条 边 对 应 相 等（ 即 这 四 条 线 段 能 构 成 平 行 四 边 形 ） ？ 请 说 明 理 由 优格教育 龚恒雷 19六、初中数学中的最值问题例 6 （2014海南）如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（1，0） ，C（0，5）两点，与 x 轴另一交点为 B已
23、知 M（0，1） ，E（a ，0） ，F （a+1，0） ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标；（3）若PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由优格教育 龚恒雷 20变式练习 （四川省眉山市）如图，已知直线 y 21x1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点D，抛物线 y 21x 2bxc 与直线 y x1 交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且B 点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）动点 P 在 x
24、轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标yxCBAD OEy优格教育 龚恒雷 21苏州中考题：（2012 江苏苏州，27，8 分）如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点 D，连接 PA、PB ，设 PC 的长为 .(24)1 当 时，求弦 PA、PB 的长度；=522 当 x 为何值时， 的值最大？最大值是多少？ lPDCBOA优格教育 龚恒雷 22七、定值的问题例 7 （湖南省株洲市）如图
25、，已知ABC 为直角三角形，ACB90，AC BC，点A、C 在 x 轴上，点 B 的坐标为(3，m)(m 0)，线段 AB 与 y 轴相交于点 D，以 P(1，0)为顶点的抛物线过点 B、D（1）求点 A 的坐标（用 m 表示） ；（2）求抛物线的解析式；（3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E，连结BQ 并延长交 AC 于点 F，试证明：FC(AC EC )为定值yxFA ODBP CEQ优格教育 龚恒雷 23变式练习：（2012 江苏苏州，28，9 分）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边FG 重合，将正方形 A
26、BCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接 CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（s） ，线段 GP 的长为 y（cm） ，其中 .02.5试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y =3 时相应 x 的值；记DGP 的面积为 ，CDG 的面积为 ，试说明 是常数；1 2 12当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线
27、段 PD 的长.PHGFEDCBA优格教育 龚恒雷 24苏州中考题：（2014 年苏州）如图，二次函数 y=a（x 22mx3m 2） （其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于C（0，3） ，点 D 在二次函数的图象上，CDAB，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的代数式表示 a；（2）求证： 为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？
28、如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由优格教育 龚恒雷 25八、存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）例 8、(2008 年浙江省绍兴市 )将一矩形纸片 OABC放在平面直角坐标系中， (0)O， ，(60)A， (3)C， 动点 Q从点 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 C向终点 运动，运动 2秒时，动点 P从点 A出发以相等的速度沿 向终点 运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点 的运动时间为 t（秒） （1）用含 t的代数式表示 O， ；（2）当 时，如图 1，将 PQ 沿 翻折，点 O恰好落在 CB边上的点
29、 D处，求点D的坐标；（1） 连结 AC，将 沿 翻折，得到 EP ，如图 2问： PQ与 A能否平行？ PE与 能否垂直？若能，求出相应的 t值；若不能，说明理由优格教育 龚恒雷 26变式练习：如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（ 3，0）两点，与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为 P，连接 AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，且直线 DC 与 x 轴交于点 Q，求直线DC 的解析式；（3）抛物线对称轴上是否存在一点 M，使得 SMAP=2SACP？若存在，求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由优格教育
30、 龚恒雷 27苏州中考题：（2015 年苏州本题满分 10 分）如图，已知二次函数21yxm（其中 0m 1）的图像与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l设 P 为对称轴 l 上的点，连接PA、PC，PA =PC （1）ABC 的度数为 ；（2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合） ，使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 y xOPCBAl（第 27 题）优格教育 龚恒雷
31、 28模拟试题：在如图的直角坐标系中，已知点 A（1，0） 、B（0，2） ，将线段 AB 绕点 A按逆时针方向旋转 90至 AC，若抛物线 y= x2+bx+2 经过点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q（0，2）作不平行于 x 轴的直线交抛物线于 E、F 两点，问在 y 轴的正半轴上是否存在一点 P，使PEF 的内心在 y 轴上？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）在抛物线上是否存在一点 M，使得以 M 为圆心，以 为半径的圆与直线 BC 相切？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由优格教育 龚恒雷 29九、与圆有关的二次
32、函数综合题：例 9. 如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A、B ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D，且直线 DC 的解析式为 y=x+3（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC 外接圆的半径及外心的坐标；（3）若点 P 是第一象限内抛物线上一动点，求四边形 ACPB 的面积最大值优格教育 龚恒雷 30变式练习：如图，已知抛物线 y=a（x2） 2+1 与 x 轴从左到右依次交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0） ，连接 AC、BC（1）求此抛物线的解析式；（2）若 P 为抛物线的对称轴上的一个动点，连接 PA、PB 、PC，设点 P 的纵坐标表示为m试探究：当 m 为何值时，|PAPC|的值最大？并求出这个最大值在 P 点的运动过程中， APB 能否与 ACB 相等？若能，请求出 P 点的坐标；若不能，请说明理由
