1、高中各种函数图像及其性质一次函数（1）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（2）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如 （ ， 是常数，且 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是ykxb0k自变量。当 时，一次函数 ，又叫做正比例函数。0bykx一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断b是否能化成以上形式当 ， 时， 仍是一次函数
2、k当 ， 时，它不是一次函数0b正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当
3、b0 b0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限k0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升）k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 个单b位；b0 或 ax+b0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，函数在 x0 上同为减函数；k0 上同为增函数。 定义域为 x0；值域为 y0。 3.因为在 y=k/x(k0)中，x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例函数的
4、图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2 则 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线） ，对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点（m、n 同号） ，那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n2+4km（不小于）0。 8.反
5、比例函数 y=k/x 的渐近线：x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 指数函数概念：一般地，函数 y=ax（a0，且 a1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为 1，否则不能为指数函数。指数函数的
6、定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律：1. 当 两 个 指 数 函 数 中 的 a 互 为 倒 数 时 ， 两 个 函 数 关 于 y 轴 对 称 ， 但这 两 个 函 数 都 不 具 有 奇 偶 性 。2.当 a1 时，底数越大，图像上升的越快，在 y 轴的右侧，图像越靠近 y 轴；当 0a1 时，底数越小，图像下降的越快，在 y 轴的左侧，图像越靠近 y 轴。在 y 轴 右 边 “底 大 图 高 ”； 在 y 轴 左 边 “底 大 图 低 ”。3.四字口诀：“大增小减” 。即：当 a1 时，图像在 R 上是增函数；当 0a1时，图像在 R 上是减函数。4. 指 数 函 数 既 不
7、是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 。比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用 0 或 1 作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数1.对数函数的概念由于指数函数 y=ax在定义域(-，+)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数 y=ax(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记为 y=loga
8、x(a0，a1).因为指数函数 y=ax的定义域为(-，+)，值域为(0，+)，所以对数函数 y=logax的定义域为(0，+)，值域为(-，+).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数 y=logax(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log 10x，y=log 10x,y=log x,y=log x 的草图2110由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a0，a1)的图像的特征和性质.见下表.a1 a1图象
9、(1)x0(2)当 x=1 时，y=0(3)当 x1 时，y00x1 时，y0(3)当 x1 时，y00x1 时，y0性质(4)在(0，+)上是增函数 (4)在(0，+)上是减函数补充性质设 y1=logax y2=logbx 其中 a1，b1(或 0a1 0b1)当 x1 时“底大图低”即若 ab 则 y1y 2当 0x1 时“底大图高”即若 ab，则 y1y 2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都
10、不相同，则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数一般形式 y=ax(a0，a1) y=logax(a0，a1)定义域 (-，+) (0，+)值域 (0，+) (-，+)函数值变化情况当 a1 时，)0(x当 0a1 时，)(x当 a1 时)(0logxa当 0a1 时，)(logxa单调性 当 a1 时，a x是增函数；当 0a1 时，a x是减函数.当 a1 时，log ax 是增函数；当 0a1 时，log ax 是减函数.图像 y=ax的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数 随着 的不同，
11、定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像nyx分类记忆的方法熟练掌握 ，当 的图像和性质，列表如下nyx12,3从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂1,函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在 上是增函数,2,3a0, 时，幂函数图像不过原点且在 上是减函数1 任何两个幂函数最多有三个公共点nyx奇函数 偶函数 非奇非偶函数1nO xyO xyO xy01nO xyO xyO xy0nO xyO xyO xyyx2yx3yx12yx1yx定义域 R R R |0|0奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇在第象限的增减性在第象限单调递增
12、在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数 yx（ R， 是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数 yx（ R， 是常数）的图像都过点 )1,(；当 2,3时函数 yx的图像都过原点 )0,(；当 1时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 2c） ；当 3,2时， yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 1）当1时， 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如 3c）当 1时， yx的的图像不过原点 )0,(，且在第一象限是“下滑”曲线（如 4c）当 0时，幂函数 yx有下列性质：（1）图象都通过点 )1,(0；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象
13、限内， 1时，图象是向下凸的； 10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点 ),(后，图象向右上方无限伸展。当 0时，幂函数 yx有下列性质：（1）图象都通过点 )1,(；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与 y轴无限地接近；向右无限地与 x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点 )1,(后， 越大，图象下落的速度越快。无论 取任何实数，幂函数 yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。对号函数函数 （a0,b0）叫做对号函数，因其在（0，+）的图象似符号xbay“”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当 x0 时， （当且仅abx2当 即 时取等号） ，由此可得函数 （a0,b0,xR +）的性质:xbaabaxy当 时，函数 （a0,b0,xR +）有最小值 ，特别地，当abxxbayab2a=b=1 时函数有最小值 2。函数 （a0,b0）在区间（0， ）上是减函数，在区间（ ，+）上是增函数。ab因为函数 （a0,b0）是奇函数，所以可得函数xby（a0,b0,xR -）的性质：xay当 时，函数 （a0,b0,xR -）有最大值- ，特别地，当bxbayab2a=b=1 时函数有最大值-2。函数 （a0,b0）在区间（-，- ）上是增函数，在区间（- ，0）上是减函数。ab
