1、- 1 -初中数学竞赛题汇编（几何部分 1）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、 解答例 1：ABC 中，ACBC，CEAB，平分 CAB，过作，交于。求证：。证明分析：延长交于，易证 RtAGFRtAEFAA则易证RtAEC RtAGD例 2：ABC 中，A100，平分A BC求证：。证明分析：在上分别截取，易证ABDEBD，ABED100由已知可得：C40，DBF20，BFD 80由三角形外角性质可得：CDF40 CBED100，BFDDEF 80，例 3：已知在 ABC 中，为的中点，平分BAC，BDA于，求的长证明分析：延长交于可得ABDAFD则又- 2 -，即为 BCF 的中位线DE
2、 FC (ACAB)2例 4：已知在 ABC 中，A108，平分ABC求证：证明分析：在上截取，连接可得 BADBED由已知可得：ABDDBE 18，ABED108，CABC36DECEDC72，例 5：如图（）所示，和分别是ABC 的外角平分线，过点作于，于，延长及分别与相交 I、H，连接（）求证：FG (ABBC CA)（）若(a)与分别是ABC 的内角平分线，如图（） ；(b)是 ABC 的内角平分线，是 ABC 的外角平分线，如图（） 则在图（）与图（）两种情况下，线段与 ABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明图（） 图（） 图（）证明分析：图（）
3、中易证 ABFIBF 及 ACGHCG 有，及，为- 3 -AIH 的中位线FG (ABBCCA) 同理可得图（）中 FG (ABCABC)；图（）中 FG (BCCA AB)。例 6：如图，ABC 中，是边上的中点，于，交BAC 的平分线于，过作于，作于求证：证明分析：连接、垂直平分，易证AMDAND有BMDCND（） 例 7：如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证：证明分析：将 ABF 视为 ADE 绕顺时针旋转 90即可FAB BAEEADBAE90FBAEDA又FABEDA90，ABFADE （ASA） 例 8：如图，在 ABC 中，B2C，平分BAC求证：证明分析：
4、在上截取，连接则有ABDAED BAEDCEDC又B2C，C EDC例 9：如图，点在 ABC 外部，在边上，交于若123，求证：ABCADEBDACFE- 4 -证明分析：若 ABCADE，则 ADE 可视为 ABC 绕逆时针旋转1 所得B1ADE2，且12BADE又13BAC DAE再ABCADE 例 10：在四边形中，平分BAD，过作于，且 AE (ABAD)求ABC ADC 的度数证明分析：延长到，使得则有垂直平分，FCAEDAC有CBFCDA（SAS） CBF D ABCADC 180例 11：如图，已知在正方形中，在上，在上，求证：EAF45证明分析：将 ADF 绕顺时针旋转 90
5、得ABGGAB FAD易证 AGEAFE FAE GAE FAG45例 12：如图，ABC 与 EDC 均为等腰直角三角形，且在上的延长线交于请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程证明分析：将 RtBCD 视为 RtACE 绕顺时针旋转 45即可 例 13：如图，在 ABC 中，ABC90，AEC BD F- 5 -，为中点的延长线上任意一点交延长线于求证：证明分析：连接则 BDE 可视为 CDF 绕顺时针旋转 90所得易证与则BDECDF又易证DBEDCF135 BDECDF例 14：已知在 ABC 中，为上一点，为延长线一点，且求证：证明分析：作交于易证则可视为平移所得四边形为 DC
6、EFA例 15：如图，在梯形 ABCD 中，15求梯形的中位线长证明分析：延长到使得连接可得 ACEB可视为将平移到平移到由勾股定理可得17梯形 ABCD 中位线长为 8.5 例 16：已知，在 ABCD 中，AB BD为的中点，为中点，为中点求证：证明分析：连接EAB BD，EG BC又为 AOD 的中位线EF AD- 6 -例 17：已知，为 ABC 的中线求证： 证明分析：延长到使得连接易证 BDE CDA例 18：如图，为 ABC 的角平分线且求证：证明分析：延长到使得连接CE，易证 ABDECDBADCADECAD例 19：已知在等边三角形中，和分别为与上的点，且连接与交于点，作于求证：证明分析：延长到使得在等边三角形中，ABDC60又，ABDBCE CBEBAD BPQPBAPABPBA DBP60易证 BPQBFQ得，又BPD60BPF 为等边三角形例 20：在 ABC 中，是高，是中线，于求证：（） （）B 2BCE- 7 -证明分析：（1）连接则有RtCDGRtEDG（） （2）BBDEDECBCEDECBCEB2BCE
