1、2007 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）求值 sin210=（ ）A B C D2 （5 分）函数 y=|sinx|的一个单调增区间是（ ）A B C D3 （5 分）设复数 z 满足 =i，则 z=（ ）A 2+i B2i C2i D2+i4 （5 分）以下四个数中的最大者是（ ）A （ln2） 2 Bln（ln2） Cln Dln25 （5 分）在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 =2 ， = ，则 =（ ）A B C D6 （5 分）不等式 的解集是（ ）A （2 ，+） B （2，1）（2
2、，+） C （2，1） D （，2）（1，+）7 （5 分）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面ACC1A1 所成角的正弦值等于（ ）A B C D8 （5 分）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A3 B2 C1 D9 （5 分）把函数 y=ex 的图象按向量 =（2，3）平移，得到 y=f（x ）的图象，则 f（x）= （ ）Ae x3+2 Be x+32 Ce x2+3 De x+2310 （5 分）从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人
3、参加，则不同的选派方法共有（ ）A40 种 B60 种 C100 种 D120 种11 （5 分）设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）A B C D12 （5 分）设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A，B ，C 为该抛物线上三点，若 + = ，则 的值为（ ）A3 B4 C6 D9二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （1+2x 2） （x ） 8 的展开式中常数项为 14 （5 分）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（1，2） ，若 在（0，
4、1）内取值的概率为 0.4，则 在（0，2）内取值的概率为 15 （5 分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm 216 （5 分）已知数列的通项 an=5n+2，其前 n 项和为 Sn，则 = 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）在ABC 中，已知内角 A= ，边 BC=2 ，设内角 B=x，周长为 y（1）求函数 y=f（x）的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值18 （12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是
5、二等品”的概率 P（A）=0.96（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p；（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B：“取出的 2 件产品中至少有一件二等品” 的概率 P（B） 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面ABCD，E、F 分别是 AB、 SC 的中点（1）求证：EF平面 SAD（2）设 SD=2CD，求二面角 AEFD 的大小20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线：x y=4 相切（1）求圆 O 的方程（2）圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 P 使|
6、PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围21 （12 分）设数列a n的首项 a1（0，1） ，a n= ，n=2，3，4（1）求a n的通项公式；（2）设 ，求证 bnb n+1，其中 n 为正整数22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3x（1）求曲线 y=f（x）在点 M（t，f（t） ）处的切线方程（2）设 a0，如果过点（a，b）可作曲线 y=f（x）的三条切线，证明：abf（a）2007 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2007全国卷）求值 sin210=（ ）
7、A B C D【分析】通过诱导公式得 sin 210=sin（210180 ） =sin30得出答案【解答】解：sin 210=sin（210180 ）= sin30=故答案为 D2 （5 分） （2007全国卷）函数 y=|sinx|的一个单调增区间是（ ）A B C D【分析】画出 y=|sinx|的图象即可得到答案【解答】解：根据 y=|sinx|的图象，如图，函数 y=|sinx|的一个单调增区间是 ，故选 C3 （5 分） （2007全国卷）设复数 z 满足 =i，则 z=（ ）A 2+i B2i C2i D2+i【分析】将复数 z 设 a+bi， （a，b R） ，代入复数方程，利
8、用复数相等的条件解出复数 z【解答】解：设复数 z=a+bi， （a，bR）满足=i，1+2i=aib， ，z=2i ，故选 C4 （5 分） （2007全国卷）以下四个数中的最大者是（ ）A （ln2） 2 Bln（ln2） Cln Dln2【分析】根据 lnx 是以 e 1 为底的单调递增的对数函数，且 e2，可知0ln21，ln（ln2）0 ，故可得答案【解答】解：0ln2 1，ln（ln2）0， （ln2） 2ln2 ，而ln = ln2 ln2，最大的数是 ln2，故选 D5 （5 分） （2007全国卷）在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若=2 ， = ，则 =（ ）A
9、B C D【分析】本题要求字母系数，办法是把 表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用 和 表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出 【解答】解：在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点 =2 ， = ， = ，= ，故选 A6 （5 分） （2007全国卷）不等式 的解集是（ ）A （2 ，+） B （2，1）（2，+） C （2，1） D （，2）（1，+）【分析】首先不等式 的分母可化为（x+2） （x 2） ，不等式的分子和分母共由 3 个一次因式构成要使得原不等式大于 0，可等同于 3 个因式的乘积大于 0，再可根据
10、串线法直接求解【解答】解：依题意，原不等式 可化为等同于（x+2） （x1） （x2 ）0，可根据串线法直接解得2x1 或 x2，故答案应选 B7 （5 分） （2007全国卷）已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于（ ）A B C D【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取 A1C1 的中点 D1，B 1AD1 是所求的角，再由已知求出正弦值【解答】解：取 A1C1 的中点 D1，连接 B1D1，AD 1，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1D1面 ACC1A1，则B 1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所
11、成的角，正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等， ，故选 A8 （5 分） （2007全国卷）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A3 B2 C1 D【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间【解答】解：设切点的横坐标为（x 0，y 0）曲线 的一条切线的斜率为 ，y= = ，解得 x0=3 或 x0=2（舍去，不符合题意） ，即切点的横坐标为 3故选 A9 （5 分） （2007全国卷）把函数 y=ex 的图象按向量 =（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则 f（x）= （ ）Ae x3+2 Be x+32 Ce x2+3 De
12、x+23【分析】平移向量 =（h，k）就是将函数的图象向右平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位【解答】解：把函数 y=ex 的图象按向量 =（2，3 ）平移，即向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，平移后得到 y=f（x）的图象，f（ x）=e x2+3，故选 C10 （5 分） （2009湖北）从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40 种 B60 种 C100 种 D120 种【分析】分 2 步进行，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3
13、 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，有 C52 种情况，再从剩下的 3 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 A32 种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 C52A32=60 种，故选 B11 （5 分） （2007全国卷）设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）A B C D【分析】由题设条件设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中 2a=|AF1
14、|AF2|=2，由此可以求出双曲线的离心率【解答】解：设 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，设|AF 2|=t，| AF1|=3t， （t0）双曲线中 2a=|AF1|AF2|=2t， t，离心率 ，故选 B12 （5 分） （2007全国卷）设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 + + = ，则 的值为（ ）A3 B4 C6 D9【分析】先设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据 =0，判断点 F 是
15、ABC 重心，进而可求x1+x2+x3 的值最后根据抛物线的定义求得答案【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3， y3）抛物线焦点坐标 F（1，0） ，准线方程：x= 1 = ，点 F 是ABC 重心则 x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x 1（1）=x 1+1|FB|=x2（1 ）=x 2+1|FC|=x3（1）=x 3+1|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x2+1+x3+1=（x 1+x2+x3）+3=3+3=6故选 C二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （2007全国卷） （1+2x 2
16、） （x ） 8 的展开式中常数项为 42 【分析】将问题转化成 的常数项及含 x2 的项，利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0， 2 求出常数项及含 x2 的项，进而相加可得答案【解答】解：先求 的展开式中常数项以及含 x2 的项；由 82r=0 得 r=4，由 82r=2 得 r=5；即 的展开式中常数项为 C84，含 x2 的项为 C85（1） 5x2 的展开式中常数项为 C842C85=42故答案为4214 （5 分） （2007全国卷）在某项测量中，测量结果 服从正态分布N（1，2） ，若 在（0，1）内取值的概率为 0.4，则 在（0，2）内取值的概率为
17、 0.8 【分析】根据 服从正态分布 N（1，2 ） ，得到正态分布图象的对称轴为 x=1，根据在（0，1）内取值的概率为 0.4，根据根据随机变量 在（1，2）内取值的概率与 在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量 在（0，2）内取值的概率【解答】解：测量结果 服从正态分布 N（1，2 ） ，正态分布图象的对称轴为 x=1，在（0，1）内取值的概率为 0.4，随机变量 在（1，2）内取值的概率与 在（0， 1）内取值的概率相同，也为 0.4，随机变量 在（0，2）内取值的概率为 0.8故答案为：0.815 （5 分） （2007全国卷）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上
18、如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 2+4 cm2【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上如果正四棱柱的底面边长为 1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为 1cm，设正四棱柱的高为 h，2R=2= ，解得 h= ，那么该棱柱的表面积为 2+4 cm2故答案为：2+416 （5 分） （2007全国卷）已知数列的通项 an=5n+2，其前 n 项
19、和为 Sn，则= 【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到 的值【解答】解：数列的通项 an=5n+2，a 1=3，a 2=8，d=5其前 n 项和为 Sn ，则 = 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分） （2007全国卷）在ABC 中，已知内角 A= ，边 BC=2 ，设内角 B=x，周长为 y（1）求函数 y=f（x）的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值【分析】 （1）由内角 A= ，边 BC=2 ，设内角 B=x，周长为 y，我们结合三角形的性质，ABC 的内角和 A+B+C=，ABC 的周长 y=A
20、B+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解【解答】解：（1）ABC 的内角和 A+B+C=，由 得应用正弦定理，知，因为 y=AB+BC+AC，所以 ，（2）= ，所以，当 ，即 时，y 取得最大值 18 （12 分） （2007全国卷）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“ 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率P（A ）=0.96（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p；（2）若该批
21、产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B：“取出的 2 件产品中至少有一件二等品” 的概率 P（B） 【分析】 （1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果（2）由上面可以知道其中二等品有 1000.2=20 件取出的 2 件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果【解答】解：（1）记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品 ”，A 1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”则 A0，A 1 互斥，且 A=A0+A1，故 P（A
22、 ）=P（A 0+A1）=P（ A0）+P（A 1）=（ 1p） 2+C21p（1 p）=1p2于是 0.96=1p2解得 p1=0.2，p 2=0.2（舍去） （2）记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”，则 若该批产品共 100 件，由（1）知其中二等品有 1000.2=20 件，故19 （12 分） （2007全国卷）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面 ABCD，E 、F 分别是 AB、SC 的中点（1）求证：EF平面 SAD（2）设 SD=2CD，求二面角 AEFD 的大小【分析】法一：（1）作 FGDC 交 SD 于点 G，则 G
23、为 SD 的中点要证 EF平面 SAD，只需证明 EF 平行平面 SAD 内的直线 AG 即可（2）取 AG 中点 H，连接 DH，说明DMH 为二面角 AEFD 的平面角，解三角形求二面角 AEFD 的大小法二：建立空间直角坐标系， 平面 SAD 即可证明（1） ；（2）求出向量 和 ，利用 ，即可解答本题【解答】解：法一：（1）作 FGDC 交 SD 于点 G，则 G 为 SD 的中点连接 ，又 ，故 为平行四边形EFAG，又 AG平面 SAD，EF 平面 SAD所以 EF平面 SAD（2）不妨设 DC=2，则 SD=4，DG=2 ，ADG 为等腰直角三角形取 AG 中点 H，连接 DH，
24、则 DHAG 又 AB平面 SAD，所以 ABDH ，而 ABAG=A，所以 DH面 AEF取 EF 中点 M，连接 MH，则 HMEF连接 DM，则 DMEF 故DMH 为二面角 AEFD 的平面角 所以二面角 AEFD 的大小为 法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz设 A（a，0 ， 0） ，S（0 ， 0，b） ，则 B（a，a ，0） ，C（0，a，0） ， 取 SD 的中点 ，则 平面SAD，EF平面 SAD，所以 EF平面 SAD（2）不妨设 A（1，0，0） ，则 B（1，1，0） ，C（ 0，1，0） ，S（0，0，2） ， EF 中点 ， ，又 ， ，所以向量 和
25、的夹角等于二面角 AEFD 的平面角所以二面角 AEFD 的大小为 20 （12 分） （2007全国卷）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线：x y=4 相切（1）求圆 O 的方程（2）圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程对于（2）根据圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点 P 在圆内求出取值范围【解答】解：（1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 的距离，即
26、得圆 O 的方程为 x2+y2=4（2）不妨设 A（x 1，0） ， B（x 2，0） ，x 1x 2由 x2=4 即得 A（2，0） ，B（2 ，0） 设 P（ x，y） ，由|PA| ，|PO|，|PB|成等比数列，得 ，两边平方，可得（x 2+y2+4） 216x2=（x 2+y2） 2，化简整理可得，x 2y2=2=x24+y2=2（y 21） 由于点 P 在圆 O 内，故由此得 y21所以 的取值范围为2，0） 21 （12 分） （2007全国卷）设数列a n的首项 a1（0，1） ，an= ，n=2，3，4（1）求a n的通项公式；（2）设 ，求证 bnb n+1，其中 n 为正
27、整数【分析】 （1）由题条件知 ，所以1 an是首项为 1a1，公比为 的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知 ，故 bn0那么，bn+12bn2=an+12（32a n+1）a n2（3 2an）= 由此可知 bnb n+1，n 为正整数方法二：由题设条件知 ，所以由此可知 bnb n+1，n 为正整数【解答】解：（1）由 ，整理得 又 1a10，所以1 an是首项为 1a1，公比为 的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知 ，故 bn0那么，b n+12bn2=an+12（ 32an+1）a n2（32a n）=又由（1）知 an0 且 an 1，故 bn+12bn20，因此 bn
28、b n+1，n 为正整数方法二：由（1）可知 ，因为 ，所以 由 an1 可得 ，即两边开平方得 即 bnb n+1，n 为正整数22 （12 分） （2007全国卷）已知函数 f（x）=x 3x（1）求曲线 y=f（x）在点 M（t，f（t） ）处的切线方程（2）设 a0，如果过点（a，b）可作曲线 y=f（x）的三条切线，证明：abf（a）【分析】 （1）求出 f（x） ，根据切点为 M（t ，f（ t） ） ，得到切线的斜率为 f（t） ，所以根据斜率和 M 点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b） ，则存在 t 使 b=（3t 21）a 2t3，于是过点（a，b ）可作曲线
29、y=f（x）的三条切线即为方程 2t33at2+a+b=0 有三个相异的实数根记g（ t）=2t 33at2+a+b，求出其导函数 =0 时 t 的值，利用 t 的值分区间讨论导函数的正负得到 g（t）的单调区间，利用 g（t）的增减性得到 g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程 g（ t）=0 有三个相异的实数根，得到极大值大于 0，极小值小于 0 列出不等式，求出解集即可得证【解答】解：（1）求函数 f（x ）的导函数；f（x）=3x 21曲线 y=f（x）在点 M（t，f（t） ）处的切线方程为：y f（t）=f （t） （xt） ，即y=（3t 21）x 2t3；（2）如果有一条切线过
30、点（a，b） ，则存在 t，使 b=（3t 21）a 2t3于是，若过点（a，b）可作曲线 y=f（x）的三条切线，则方程 2t33at2+a+b=0 有三个相异的实数根记 g（ t）=2t 33at2+a+b，则 g（t）=6t 26at=6t（t a） 当 t 变化时， g（t ） ，g（t）变化情况如下表：t （，0）0 （0，a）a （a ，+）g（ t）+ 0 0 +g（t）极大值 a+b 极小值 bf（a）由 g（ t）的单调性，当极大值 a+b0 或极小值 bf（a ）0 时，方程 g（t ）=0最多有一个实数根；当 a+b=0 时，解方程 g（t）=0 得 ，即方程 g（t）=0 只有两个相异的实数根；当 bf（a）=0 时，解方程 g（t ）=0 得 ，即方程 g（t）=0 只有两个相异的实数根综上，如果过（a，b）可作曲线 y=f（x）三条切线，即 g（t ）=0 有三个相异的实数根，则即a bf（ a）
