1、排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的,其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正,以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。一、“至少”问题易重复例 1:在 100 件产品中有 3 件次品,从这些产品中取出 4 件,至少有 1 件次品的抽法有多少种? 解法 1:先在 3 件次品中抽出 1 件,抽法有 种;然后在其余的 99 件产品(含未被抽出13C的 2 件次品)中任意抽出 3 件,抽法有 种,这样抽出的 4 件产品至少含 1 件次品。根9据分步计数原理,符合题意的抽法有
2、 (种) 。70531点评:解法 1 是错的,假设 A、B 、C 分别为三件次品,D 为某一合格品, “先抽出 A(的一种可能) ,再抽 B、C、D ( 的一种可能) ”与先抽出 B,再抽 A、C 、D 是相同13C39的抽法,所以解法 1 含 3 件次品的抽法重复而导致错误。又,假设 E 是另一合格品, “先抽出 A,再抽出 B、D、E” 与“先抽出 B,再抽出 A、D、E ”是相同的抽法,所以解法 1中多出的种数还有含 2 件次品的抽法重复在内。正确方法:直接法 或间接法 种。4563819739739713 45638974102、均分组问题易重复例 2:将 8 个不同的小球分成四堆,每
3、堆 2 个,共有多少种不同的分堆方法? 解法 1 :分四步完成。首先,从 8 个不同的小球中任意取出 2 个作为一堆 ,有 种取法;28C然后,从其余的 6 个小球中任取 2 个作为一堆,有 种取法;再者,从剩下的 4 个小球6C中任取 2 个作为一堆,有 种取法;最后,留下的 2 个作为一堆,有 种取法;根据分4C2步计数原理,共有不同的分堆方法种数为 种。504628点评:解法 1 是错误的,比如将 8 个不同的小球编号,对应号码分别为 1,2,3,8。第一种取法:第一次取出 1,2 号球,第二次取出 3,4 号球,第三次取出 5,6 号球,第四次取出 7,8 号球,分成了四组。第二种取法
4、:第一次取出 7,8 号球,第二次取出 1,2 号球,第三次取出 3,4 号球,第四次取出 5,6 号球,分成了四组,不难看出这两种取法是同一种分组方法,因此解法 1 出现重复,导致错误。正确解法:根据分步计数原理,共有 种取法,再除以均分堆的重复24268C次,所以共有不同的分堆方法有 种。4A10542268AC3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复例 3:6 人任意排成一排照相,甲不排在左端,乙不排在右端,共有多少种不同的排法? 解法 1 :6 个人任意排成一排排法总数为 种,其中不合题意的排法分两类。第一类:6甲排在左端,其余 5 个人排在剩下的 5 个位置上,有 种排法;第二类:乙排在
5、右端,5A其余 5 人排在剩下的 5 个位置上,有 种排法。所以适合题意的排法有种。48026A点评:解法 1 是错误的。解法 1 中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因:解法 1 第一类,甲在左端为 中有5左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,故在“全部减去不符”中,甲在左端乙在右端的情况重复被减去,因而导致错误。正确解法:在 的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有 种,562A 4A所以适合题意的排法有 种。504564、环排问题易重复例 46 个人围圆桌而坐,一共有多少
6、种不同的排法?解法 1:6 个人围坐,又无其他限制,则总共 种。726!点评:6 个人围桌坐和 6 个人坐成一排是不同的,原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不妨设 6 个人为 ,坐法 与 其实是相同的。为此,fedcba, fedcba, afec,可把某人固定一个位,其余 5 人尽量变换次序,其余 5 人此时可全排为 。故正确的解法!5应为 种。120)(!5、顺序固定问题易重复例 5、某人的电子邮箱的密码由 5 位数字组成,为了提高保密程度,他决定再插入两个英文字母 ,原来的数字及顺序不变,求可构成的新密码的个数。ba、解法 1:新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成,则可构成的新密码应为 种。7A点评:虽然新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成,但题中规定原来的数字及顺序不变,也即在 7 个元素的排列过程中,原来 5 个元素的相对位置是不能改变的。故正确的方法是先把 7 个不同的元素全排列,则应是 种方法,对其中的一类排列分析:不妨7A设 在第一、二两位,另 5 位上全排,共有 种方法,而这 种方法中只有一种是ba、 5A5A正确的,所以正确的方法应是 种。 4257A綜上,解排列组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不“重”不漏。