1、排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正，以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。一、“至少”问题易重复例 1：在 100 件产品中有 3 件次品，从这些产品中取出 4 件，至少有 1 件次品的抽法有多少种？ 解法 1：先在 3 件次品中抽出 1 件，抽法有 种；然后在其余的 99 件产品（含未被抽出13C的 2 件次品）中任意抽出 3 件，抽法有 种，这样抽出的 4 件产品至少含 1 件次品。根9据分步计数原理，符合题意的抽法有
2、 （种） 。70531点评：解法 1 是错的，假设 A、B 、C 分别为三件次品，D 为某一合格品， “先抽出 A（的一种可能） ，再抽 B、C、D （ 的一种可能） ”与先抽出 B，再抽 A、C 、D 是相同13C39的抽法，所以解法 1 含 3 件次品的抽法重复而导致错误。又，假设 E 是另一合格品， “先抽出 A，再抽出 B、D、E” 与“先抽出 B，再抽出 A、D、E ”是相同的抽法，所以解法 1中多出的种数还有含 2 件次品的抽法重复在内。正确方法：直接法 或间接法 种。4563819739739713 45638974102、均分组问题易重复例 2：将 8 个不同的小球分成四堆，每
3、堆 2 个，共有多少种不同的分堆方法？ 解法 1 ：分四步完成。首先，从 8 个不同的小球中任意取出 2 个作为一堆 ，有 种取法；28C然后，从其余的 6 个小球中任取 2 个作为一堆，有 种取法；再者，从剩下的 4 个小球6C中任取 2 个作为一堆，有 种取法；最后，留下的 2 个作为一堆，有 种取法；根据分4C2步计数原理，共有不同的分堆方法种数为 种。504628点评：解法 1 是错误的，比如将 8 个不同的小球编号，对应号码分别为 1，2，3，8。第一种取法：第一次取出 1，2 号球，第二次取出 3，4 号球，第三次取出 5，6 号球，第四次取出 7，8 号球，分成了四组。第二种取法
4、：第一次取出 7，8 号球，第二次取出 1，2 号球，第三次取出 3，4 号球，第四次取出 5，6 号球，分成了四组，不难看出这两种取法是同一种分组方法，因此解法 1 出现重复，导致错误。正确解法：根据分步计数原理，共有 种取法，再除以均分堆的重复24268C次，所以共有不同的分堆方法有 种。4A10542268AC3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复例 3：6 人任意排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？ 解法 1 ：6 个人任意排成一排排法总数为 种，其中不合题意的排法分两类。第一类：6甲排在左端，其余 5 个人排在剩下的 5 个位置上，有 种排法；第二类：乙排在
5、右端，5A其余 5 人排在剩下的 5 个位置上，有 种排法。所以适合题意的排法有种。48026A点评：解法 1 是错误的。解法 1 中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因：解法 1 第一类，甲在左端为 中有5左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导致错误。正确解法：在 的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有 种，562A 4A所以适合题意的排法有 种。504564、环排问题易重复例 46 个人围圆桌而坐，一共有多少
6、种不同的排法？解法 1：6 个人围坐，又无其他限制，则总共 种。726！点评：6 个人围桌坐和 6 个人坐成一排是不同的，原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不妨设 6 个人为 ，坐法 与 其实是相同的。为此，fedcba, fedcba, afec,可把某人固定一个位，其余 5 人尽量变换次序，其余 5 人此时可全排为 。故正确的解法！5应为 种。120)(！5、顺序固定问题易重复例 5、某人的电子邮箱的密码由 5 位数字组成，为了提高保密程度，他决定再插入两个英文字母 ，原来的数字及顺序不变，求可构成的新密码的个数。ba、解法 1：新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成，则可构成的新密码应为 种。7A点评：虽然新密码由 5 个数字和两个字母这 7 个不同元素组成，但题中规定原来的数字及顺序不变，也即在 7 个元素的排列过程中，原来 5 个元素的相对位置是不能改变的。故正确的方法是先把 7 个不同的元素全排列，则应是 种方法，对其中的一类排列分析：不妨7A设 在第一、二两位，另 5 位上全排，共有 种方法，而这 种方法中只有一种是ba、 5A5A正确的，所以正确的方法应是 种。 4257A綜上，解排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不“重”不漏。
