1、祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）椭 圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab6. 若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，则切点弦 P1
2、P2 的直,2线方程是 .027. 椭圆 (ab0) 的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆1xya 12F的焦点角形的面积为 .12tanFPS8. 椭圆 （ab0）的焦半径公式：2xy, ( , ).1|MFe20|ex1)c2(0)F0,)Mxy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点M，A 2P 和 A1Q 交于
3、点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 ，2xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB12. 若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab13. 若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 022双曲线1、 点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角.2、 PT 平分PF 1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 2 页 3、
4、 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4、 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5、 若 在双曲线 （a0,b0）上，则过 的双曲线的切线方程是0(,)Pxy21xyb0.2ab6、 若 在双曲线 （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为0(,)xy2xyP1、P 2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 .21xyb7、 双曲线 （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点b，则双曲线的焦点角形的面积为 .12F12tPSco8、 双曲线 （a0,bo）的焦半径公式：( , 1xy (
5、0)2()当 在右支上时， , .0(,)M10|MFexa2|exa当 在左支上时， ,0F9、 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A 2 为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A2Q 交于点 M，A 2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11、 AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则xyb ),(0yx，即 。02KABOM 02yxbAB12、 若
6、 在双曲线 （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是0(,)Pxy21x.202ab13、 若 在双曲线 （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是0(,)xy21xyb.202ab椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆 （abo）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交椭圆于21xy1(0)Aa2()祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 3 页 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .21xyab2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,Cxyab0(,)A两点，则直线 BC 有
7、定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为椭圆 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点, , 21xy 12PF，则 .21Ftnt2co4. 设椭圆 （ab0）的两个焦点为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在2xyPF 1F2 中，记 , , ，则有 .12P1212Psincea5. 若椭圆 （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 0e2xy时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.16. P 为椭圆 （ab0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则21
8、xy,当且仅当 三点共线时，等号成立.211|2|aAFF2,7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是002()()xyb0xByC.222Bx8. 已知椭圆 （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .（1）1 OPQ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 ;（3） 的最小值是221|OPQ24abS.ab9. 过椭圆 （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平21xy分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN10. 已知椭圆 （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相21ya祝各位莘莘学子高考成功！高
9、考数学考出好成绩！第 4 页 交于点 , 则 .0()Px220ababx11. 设 P 点是椭圆 （ ab0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F 2 为其焦点记21y，则(1) .(2) .12F212|cosPF12tanPFSb12. 设 A、B 是椭圆 （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， , 2xyab PAB, ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) P 2|cos|ab.(3) .2tan12cotPABSba13. 已知椭圆 （ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭2xylEF圆相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且
10、轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClC14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线1.
11、 双曲线 （a 0,b0）的两个顶点为 , ，与 y 轴平行的直线交21xyb1(0)Aa2()祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 5 页 双曲线于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 .21xyab2. 过双曲线 （a0,bo）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双xyb0(,)A曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 （常数）.20BCxkay3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点, 21xyb, ，则 （或 ）.12F21tant2ccotantco4. 设双曲线 （a0,b0）的两个焦点
12、为 F1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任2xyb意一点，在PF 1F2 中，记 , , ，则有12P12P12FP.sin()cea5. 若双曲线 （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，左准线为 L，则当 1e21xyb时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.16. P 为双曲线 （a0,b0）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21xyb,当且仅当 三点共线且 和 在 y 轴同侧时，等号成21|AFF2, 2,F立.7. 双曲线 （a 0,b0）与直线 有公共点的充要条件是2xyb0AxByC.2A
13、aBC8. 已知双曲线 （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且1.OPQ（1） ;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最小值为 ;（3） 的最小值是22|24abOPQS.2ab9. 过双曲线 （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦21xyb祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 6 页 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 .|2FeMN10. 已知双曲线 （a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与21ybx 轴相交于点 , 则 或 .0()x2b20abx11. 设 P 点是双曲线 （a0,b0）上异
14、于实轴端点的任一点,F 1、F 2 为其焦点记21yb，则(1) .(2) .12F22|cosbPF12cotPFSb12. 设 A、B 是双曲线 （a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，21xyb, , ，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PBA.2|cos|a(2) .(3) .2tn1e2cotPABabS13. 已知双曲线 （a0,b0）的右准线 与 x 轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的2xyblEF直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线 AC 经过线段CBCEF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆
15、相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.抛物线焦点弦性质总结 30 条祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 7 页 aAC C(X3,Y3)BO FB(X2,Y2)A
16、(X1,Y1)基础回顾1. 以 AB 为直径的圆与准线 相切；L2. ;214pxA3. ;2y4. ;90CB5. ;F6. ;1232()sinpAxx7. ;BP8. A、O、 三点共线；9. B、O、 三点共线；10. ；2sinSA11. （定值） ；3()BP12. ； ；1cosF1cosPF13. 垂直平分 ；C14. 垂直平分 ；A15. ；B16. ；2P17. ；1()AB18. ；AB3K=y19. ;2ptanx-20. ;4F21. .1CB2祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 8 页 22. 切线方程 xmy00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦
17、点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦 轴时，则点 P 的坐标为 在准线xAB0,2p上证明: 从略结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径3、AB 是抛物线 （p0）焦点弦，Q 是 AB 的中点，l 是抛
18、物线的准线， ，y2 lA1，过 A，B 的切线相交于 P，PQ 与抛物线交于点 M则有l1结论 6PAPB结论 7PFAB结论 8 M 平分 PQ结论 9 PA 平分A 1AB，PB 平分 B 1BA结论 10 2PFB结论 11 ASminp二)非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：结论 12 ，pyx2121y结论 13 PA 平分A 1AB，同理 PB 平分B 1BA祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！第 9 页 结论 14 PFBA结论 15 点 M 平分 PQ结论 16 2相关考题1、已知抛物线 的焦点为 F，A，B 是抛物线
19、上的两动点，且 （ 0） ，过 A，B 两yx42 FBA点分别作抛物线的切线，设其交点为 M，（1）证明： 的值；FM（2）设 的面积为 S，写出 的表达式，并求 S 的最小值ABf2、已知抛物线 C 的方程为 ，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物线于两点 A，B；yx42（1）过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证： ；FA（2）若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证：AMBM，且点 M 在直线 l上3、对每个正整数 n， 是抛物线 上的点，过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一点nyx,yx42， （1）试证： （n1）ntsB, s（2）取 ，并 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点，求证：nx（n1）21 FCF
