1、 1四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点 F1，F 2的距离差的绝对值等于常数 2a（02a|F 1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F2|=2c，叫做焦距。 备注： 当|PF 1|-|PF2|=2a 时，曲线仅表示右焦点 F2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF1|=2a 时，曲线仅表示左焦点 F1所对应的双曲线的一支（即左支）； 当 2a=|F1F2|时，轨迹为以 F1，F 2为端点的 2 条射线； 当 2a|F 1F2|时，动点轨迹不存在。双曲线 与 （a0,b0）的区别和联系byax2bxa标准方程 （a
2、0,b0）12 （a0,b0）12bxay图像A2A1 F2F1xOy A2A1F2F1 xOy范 围对称性顶点坐标焦点坐标实、虚轴渐近线准线方程离心率焦半径性质通径a，b，c 之间的关系2xy QB1B2A1 A2NMO（二）双曲线的简单性质1范围： 由标准方程 （a0，b0），从横的方向来看，直线 x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的12yx方向来看，随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围_ ,y 的取值范围_2. 对称性： 对称轴_ 对称中心_3顶点：(如图) 顶点：_特殊点：_实轴： 长为 2a, a 叫做半实轴长 奎 屯王 新 敞新 疆21A虚轴： 长为 2b，
3、b 叫做半虚轴长 奎 屯王 新 敞新 疆B双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 范围：_ace2双曲线形状与 e 的关系： ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就122cbk越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 奎 屯王 新 敞新 疆 5双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 其中，定点叫做l)0(ace双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 奎 屯王 新 敞新 疆 常数
4、e 是双曲线的离心率准线方程：对于 来说，相对于左焦点 对应着左准线 ，12byax )0,(1cFcaxl21:相对于右焦点 对应着右准线 ；)0,(2cFaxl22:6渐近线过双曲线 的两顶点 ，作 x 轴的垂线 ，经过 作 y 轴的垂线 ，四条直12byax21,Aa21,Bb线围成一个矩形 奎 屯王 新 敞新 疆 矩形的两条对角线所在直线方程是_或（ ），这两条直线就是双曲0bx线的渐近线 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。7等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 3性质：（1）渐近线方程为： ； （2）渐近线互相垂直； （
5、3）离心率 奎 屯王 新 敞新 疆 xy 2e8共渐近线的双曲线系与双曲线 （a0，b0）共渐近线的双曲线方程可表示为 (0 且 为待12yx 2byax定常数)备注：与双曲线 (ab0) 共焦点的双曲线方程可表示为12yax 1-22byax( a2,且 b2 - )例 1 求与双曲线 - 1 有共同渐近线且过点(2 ， 3)的双曲线方程.9共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆 区别：三个量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同 奎 屯王 新 敞新 疆共用一对渐近线 奎 屯王 新 敞新 疆 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 奎 屯王 新 敞新 疆确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为-1 奎 屯王 新 敞新 疆 10.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径21,F焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线 ， 是其左右焦点 奎 屯王 新 敞新 疆 则由第二定义： ， )0,( 12babyax21, edMF1同理 奎 屯王 新 敞新 疆ecxF201xMF01eaexMF0211通径 定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆abd2
