1、第二十三章 旋转,23.1 图形的旋转,知识点一,知识点二,知识点三,知识点一旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.,知识点一,知识点二,知识点三,名师解读:可以这样理解和识别旋转的相关概念: (1)旋转中心:旋转中心可以是平面内的任意一点. 注意:旋转中心是点,而不是直线,如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以它不属于我们要研究的绕定点旋转. (2)旋转角:因为经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的
2、角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. (3)旋转方向:旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转. 这三个方面构成的旋转的三要素,三者缺一不可.,知识点一,知识点二,知识点三,例1 如图所示,AOB绕点O按顺时针方向旋转得到COD,当OAOC时,在这个旋转过程中,旋转中心是什么?旋转角是多少度?并指出各对对应点. 分析:由于绕点O旋转,易确定点O为旋转中心;由OAOC,所以确定旋转角为90;有了旋转中心和旋转角,再根据旋转的三要素确定对应点.,知识点一,知识点二,知识点三,解:旋转中心是点O;旋转角是AOC(或BOD),等于90;A和C,B和D分别是对应点,点O的对应点是它
3、本身.,识别旋转中心、旋转方向、旋转角时,先确定旋转中心,再抓住图形的性质确定旋转方向和旋转角.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点二旋转的性质 旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等. 名师解读:我们可以这样理解旋转的性质: (1)经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点的排列次序相同; (2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角; (3)对应点到旋转中心的距离相等; (4)对应线段相等,对应角相等.,知识点一,知识点二,知识点三,例2 如图,将ABC绕点A旋转到
4、AB1C1,下列说法正确的个数有( ) (1)AC=AB;(2)BC=B1C1;(3)BAC=B1AC1;(4)CAC1=BAB1.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:根据旋转的性质,可知AC=AC1,故(1)错误;BC=B1C1,故(2)正确;BAC=B1AC1,故(3)正确;在(3)的基础上,结合等式的性质,得CAC1=BAB1,故(4)正确. 答案:C,知识点一,知识点二,知识点三,解答这类问题,抓住旋转前后的两个图形是全等形是关键.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点三旋转作图 进行旋转作图时可按照下列步骤进行: (1)在已知图形上找一些关键点(如三角形的三个顶点). (2
5、)作出这些关键点的对应点,对应点的作法是: 将各关键点与旋转中心连接; 以旋转中心为顶点,以上述连线为一边,向旋转方向作角,使这些角都等于旋转角,且使另一边的长度都等于关键点到旋转中心的长度,则这些“另一边的端点就是对应点”. (3)顺次连接这些对应点.,知识点一,知识点二,知识点三,名师解读:根据旋转的性质可知,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应线段相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.,知识点一,知识点二,知识点三,例3 如图,ABC绕O点旋转后,顶点B的对应点为E,试确定顶点A,C旋转后对应点位置,以及旋转后的三角
6、形位置.分析:连接BO,OE,则BOE就是旋转角,点E就是B点旋转后的对应点,作BOE=AOF,且OF=OA,点F就是A点旋转后的对应点,则按照此方法可找到C的对应点G.顺次连接各点,即可得到旋转后的三角形.,知识点一,知识点二,知识点三,解:如图所示.,知识点一,知识点二,知识点三,作一个图形的旋转后的图形,先确定旋转中心和旋转角,然后分别作出各个关键点(如:线段的端点、三角形和四边形的顶点、图形的拐点、公共点等)的对应点,最后按照原有顺序连接各点即可.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一旋转性质的运用 例1 下列图中,已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC.,(1)以图
7、1中的某个点为旋转中心,旋转DBC,使它与ABC重合,则旋转中心有哪些点?(写出所有满足条件的点) (2)如图2,已知B1是BC的中点,现沿着由B到B1的方向,将DBC平移到D1B1C1的位置,如图3,连接AC1,BD1得到的四边形ABD1C1是什么特殊四边形?说明你的理由.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,分析:(1)根据等边三角形的性质,得到四边形ABDC是菱形,从而再根据菱形是中心对称图形,得到旋转中心有B点、C点、BC的中点; (2)根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断. 解:(1)等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC, AB=AC=CD=BD,四边形ABDC是
8、菱形. 要旋转DBC,使DBC与ABC重合,旋转中心有三点,分别为:B点、C点、BC的中点. (2)四边形ABD1C1是平行四边形.理由如下: 根据平移的性质,得到BB1=CC1, 根据等边三角形的性质,得到AC=B1D1,BB1D1=ACC1, BB1D1C1CA,AC1=BD1, 又AB=C1D1,四边形ABD1C1是平行四边形.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类问题,在理解旋转的性质的基础上,抓住旋转前后图形中的“变”与“不变”,然后与其他相关知识结合,进行综合分析.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点二坐标系中的旋转作图 例2 ABC三个顶点A,B,C在平面直角坐标系中位置如图
9、所示.,(1)将ABC向右平移3个单位,画出平移后的A1B1C1; (2)将ABC绕C点顺时针旋转90,画出旋转后的A2B2C,并写出A2的坐标.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,分析:(1)把ABC的各顶点向右平移3个单位长度,顺次连接得到的各点即为平移后的三角形; (2)以点C为旋转中心,把A,B两点顺时针旋转90,得点A2,B2,顺次连接点A2,B2,C即可得到旋转后的图形,根据点A2所在象限及距离原点的水平距离和竖直距离可得相应坐标.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解:(1)如图所示.(2)如图所示,从图形可得A2的坐标为(8,3).,拓展点一,拓展点二,拓展点三,图形的平移或旋转要归结
10、为图形关键点(顶点)的平移或旋转,在坐标系中的平移和旋转,只需在坐标系或网格中,利用坐标系或网格的特点,作出这些关键点的对应点,按照原有的顺序连接即可.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点三与旋转有关的综合题 例3,如图,在正方形ABCD中作EAF=45,分别交边BC,CD于点E,F(不与顶点重合),把ABE绕点A逆时针旋转90,落在ADG的位置. (1)请你在图中画出ADG(不写作法); (2)试说明线段BE,DF与EF之间存在怎样的数量关系.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,分析:(1)过A作AE的垂线,与CD的延长线的交点就是G,据此即可作出; (2)根据旋转的性质可以得到ADGABE,则GF=BE+DF,只要再证明AFGAFE即可. 解:(1)作图如下.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,(2)BE+DF=EF. 证明:ADGABE,AG=AE,DAG=BAE,DG=BE.又EAF=45,即DAF+BAE=EAF=45,GAF=FAE.AFGAFE(SAS).GF=EF. 又DG=BE,GF=BE+DF,BE+DF=EF.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类问题,可以在画好图形后利用测量的方法进行初步的推测,然后分析图形的变化,找出图形中的全等形,最后验证并推出所发现的结论.,
