1、万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示，；这里， 是太阳作用於行星的万有引力、 是行星的质量、 是太阳的质量、 是行星相对于太阳的位移向量、 是 的单位向量。牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加速度 ，和其所受的淨力 成正比，和其質量 成反比。用方程式表示，。合并这两个方程式，。 (1)思考位置向量 ，随时间 微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：，。(2)在这里，我们用到了单位向量微分方程式：，。合并方程式 (
2、1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：，(3)。(4)导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量 。由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为。角动量 也是一个运动常数，即使距离 与角速度 都可能会随时间变化。从时间 到时间 扫过的区域 ，。行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 。所以，开普勒第二定律是正确的。编辑 开普勒第一定律导引设定 。这样，角速度是。随时间微分与随角度微分的关系为。随时间微分徑向距離 ：。再微分一次：。代入径向运动方程式 (3) ， ，。将此方程式除以 ，则可得到
3、一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：。特征方程式为。求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，。其特解方程式为；这里， 与 都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式，。选择坐标轴，让 。代回 ，。假若 ，则 所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。编辑 开普勒第三定律导引在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为 。那末，太阳作用于行星的万有引力为 。行星移动速度为 。依照开普勒第三定律，这速度 与半径的平方根 成反比。所以，万有引力
4、 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。行星环绕太阳（焦点 F1 ）的椭圆轨道。开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是 ；这里， 与 分别为椭圆的半長軸与半短軸。在开普勒第二定律导引里，行星太阳连线扫过区域速度 为。所以，行星公转周期 为。(5)关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸 ，半短軸 与近拱距 （近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距 （远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为，(6)。(7)如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律，。在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：。所以，。稍为加以编排，可以得到 的一元二次方程式：。其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距 与远拱距 。；。代入方程式 (6) 与 (7) ，。代入方程式 (5) ，周期的方程式为。
