1、二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、 三点型例 1 已知一个二次函数图象经过（-1，10） 、 （2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_。分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为 y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得 a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为 y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入 y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式 y=ax +bx+c.二、交点
2、型例 2 已知抛物线 y=-2x 2+8x-9 的顶点为 A，若二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像经过 A 点，且与 x 轴交于 B（0，0） 、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析 要求的二次函数的图象与 x 轴的两个交点坐标，可设 y=ax(x-3),再求也 y=-2x 2+8x-9 的顶点 A（2，-1） 。将 A 点的坐标代入 y=ax(x-3),得到 a= 21y=1x(x-3),即 y=x231.三、顶点型例 3 已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是 A(-1,4)且经过点(1,2) 求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为 y=a(
3、x-m) 2+k.在本题中可设 y=a(x+1) 2+4.再将点(1,2)代入求得 a=- 21y=-,4)(212x即 y=- .7由于题中只有一个待定的系数 a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例 4 二次函数 y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移 3 个单位得二次函数 ,12xy则 b 与 c 分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数 y=x 2-2x+1 的顶点（1，0）先向下平移 3 个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3） 。y=x 3)(22xcb=x .6
4、b=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型例 5 已知二次函 y=ax 2+bx+c 为 x=2 时有最大值 2，其图象在 X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式 d= a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为 A（1，0） ，B（3，0） 。再应用交点式或顶点式求得解析式为 y=-2x 2+8x-6.六、识图型例 6 如图 1， 抛物线 y=cxb)2(12与 y=dxb)2(12其中一条的顶点为P，另一条与 X 轴交于 M、N 两点。（1）试判定哪条抛物线与 X 轴交于 M、N 点？（2）求两条抛物线的解析
5、式。解 （1）抛物线 y=cxb)2(12与 x 轴交于 M，N两点（过程从略） ；（2）因 y=dxb)2(12的顶点坐标为（0，1） ，b-2=0,d=1, b=2.Y=12x.将点 N 的坐标与 b=2 分别代入 y=21x+(b+2)x+c 得 c=6.y=21x+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线 y=x cbx2 的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于 Q（0，-3） ，与 x 轴的交点为 A、B，顶点为 P，PAB 的面积为 8。求其解析式。解 将（0，-3）代入 y= 2得 c=-3.由弦长公式，得 1b点 P 的纵坐标为 412b由面积公式，得 .8122b解得
6、.因对称轴在 y 轴的右侧, b=-2.所以解析式为 y= 32x八、几何型例 8 已知二次函数 y= 2x-mx+2m-4 如果抛物线与 x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解 由弦比公式，得 AB= 4)(42m顶点 C 的纵坐标为-)(mABC 为等边三角形43214)(解得 m=4 ,故所求解析式为y= ,34)(2xx或 y= 4九、三角型例 9 已知抛物线 y= cbx2的图象经过三点（0， 251） 、 （sinA，0） 、 （sinB，0）且 A、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解 A+B=90 0，sinB=cosA.则由根与系数的关系
7、，可得cAbosin将（0， 251）代入解析式，得 c=.251（1） )(,得,254b 57b-b ,0b=-所以解析式为 y= 25172x十、综合型例 10 如图 2，已知抛物线 y=- qpx2与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点，若ACB=90 0，且 tgCAO-tgCBO=2，求其解析式解 设 A，B 两点的横坐标分别为 x 21,则 q=(-x .)21Ox由 AOCCOB，可得 OC 2=OAOB，q 2=q 解得 q 1=1,q 2=0（舍去） ，又由 tgCAO-tgCBO=2 得2OBCA即12Xx 1+x =-2x 1x 即 p=2p=2所以解析式
8、为 y=-x 2+2x+1函 数 及 其 图 象例 1.二 次 函 数 性 质 的 应 用例 2.利 用 二 次 函 数 性 质 求 点 的 坐 标例 3.求 二 次 函 数 解 析 式例 4.求 二 次 函 数 解 析 式二 、 同 步 测 试三 、 提 示 与 答 案-例 6.已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 如 图 所 示 ， 对 称 轴 是 直 线 x=-1(1)确 定 a.b.c.b2-4ac 的 符 号 ， (2)求 证 a-b+c o ; (3)当 x 取 何 值 时 ， y 随 x 值 的 增 大 而 减 小 。 解 ： (1)由 抛 物 线 开 口 向 上 ， 得 出
9、 a 0， 由 抛 物 线 与 y 轴 交 点 坐 标 为 (O， C)， 而 此 点 在 x 轴 下方 ， 得 出 c 0， 又 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=-1， 在 y 轴 左 侧 ， 得 出 b 与 a 同 号 b 0。抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 即 ax2+bc+c=0 有 两 个 不 等 的 实 根 ， b2-4ac 0(2)当 x=-1 时 ， y=a-b+c 0(3)当 x -1 时 ， y 随 x 值 的 增 大 而 减 小 。例 7.已 知 y 是 x 的 二 次 函 数 ， 且 其 图 象 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 AB 长 4
10、个 单 位 ， 当 x=3 时 ， y 取得 最 小 值 -2。 (1)求 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 (2)若 此 函 数 图 象 上 有 一 点 P， 使 PAB 的 面 积 等 于12 个 平 方 单 位 ， 求 P 点 坐 标 。分 析 ： 由 已 知 可 得 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 x=3， 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 ， 又 由 抛 物 线 在 x 轴 上 截得 线 段 AB 的 长 是 4， 可 知 其 与 x 轴 交 点 为 (1， 0)， (5,0)解 ： (1) 当 x=3 时 y 取 得 最 小 值 -2.即 抛 物 线 顶 点 为 (
11、3， -2). 设 二 次 函 数 解 析 式 为y=a(x-3)2-2又 图 象 在 x 轴 上 截 得 线 段 AB 的 长 是 4， 图 象 与 x 轴 交 于 (1， 0)和 (5， 0)两 点 a(1-3)2-2=0 a= 所 求 二 次 函 数 解 析 式 为 y= x2-3x+(2) PAB 的 面 积 为 12 个 平 方 单 位 ， AB =4 4 Py =12 Py =6 Pg=6但 抛 物 线 开 口 向 上 ， 函 数 值 最 小 为 -2， Py=-6 应 舍 去 ， Pg=6 又 点 P 在 抛 物 线 上 ， 6= x2-3x+x1=-1,x2=7即 点 P 的
12、坐 标 为 (-1， 6)或 (7， 6)说 明 ： 此 题 如 果 设 图 象 与 x 轴 交 点 横 坐 标 为 x1， x2， 运 用 公 式 x1-x2 = ， 会使 运 算 繁 琐 。 这 里 利 用 抛 物 线 的 对 称 性 将 线 段 长 的 条 件 转 化 为 点 的 坐 标 ， 比 较 简 便 。例 8.如 图 ， 矩 形 EFGH 内 接 于 ABC。 E、 F 在 AC 边 上 H、 G 分 别 在 AB、 BC 边 上 ， AC=8cm,高BD=6cm,设 矩 形 的 宽 HE 为 x(cm)。 试 求 出 矩 形 EFGH 的 面 积 y(cm2)与 矩 形 EFG
13、H 的 宽 x(cm)间 的函 数 关 系 式 ， 并 回 答 当 矩 形 的 宽 取 多 长 时 ， 它 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ?解 ： 四 边 形 EFGH 是 矩 形 HG AC ABC HBG 设 BD 交 HG 于 M 则 BD 与 BM 分 别 是 ABC 和 HBG 的 高 。 HG AC, MD=HE=x,BM=6-x , HG= y=S 矩 形 EFGH=HE*HG y=x*整 理 得 y=- x2+8x BD=6 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 0 x 6 x2 的 系 数 为 - 0， y 有 最 大 值当 x=- =3 时 ，y 最
14、 大 值 = =12 所 求 函 数 的 解 析 式 为 y=- x2+8x(0 x 6)， 当 它 的 宽 为 3cm 时 ， 矩 形 EFGH 面 积 最 大 ， 最大 面 积 为 12cm2。例 9.二 次 函 数 y=ax2+bx-5 的 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x=3， 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 B， 设 x1,x2是 方 程 ax2+bx-5=0 的 两 个 根 ， 且 x12+x22=26,又 设 二 次 函 数 图 象 顶 点 为 A，(1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 (2)求 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离解 (1)如 图 - =3 -
15、 =6又 x1+x2=- =6x1*x2=- 由 已 知 ， 有 x12+x22=26， (x1+x2)2-2x1x2=26即 (- )2+ =26, =26-36解 得 a=-1 解 析 式 为 y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4(2) OB=5,OC=4,AC=3 AB= =3又 OA= =5 AOB 为 等 腰 三 角 形 ， 作 OD AB 于 D， BD= OD= ,即 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 为三 、 同 步 测 试 ： 选 择 题 ：1.如 果 点 P(3m-p,1-m)是 第 三 象 限 的 整 数 点 ， 那 么 P 点 坐 标 是 ( )(A).(-
16、2， -1) (B)(-3， -1) (C)(-3， -2) (D)(-4， -2)2.若 点 P(a,b)在 第 二 、 四 象 限 两 轴 夹 角 平 分 线 上 ， 则 a 与 b 的 关 系 是 ()(A)a=b (B)a=-b (C)a= b (D) a =b3.点 P(x,y)在 第 二 象 限 ， 且 x =2， y =3,则 点 P 关 于 x 轴 对 称 点 的 坐 标 为 ( )(A)(-2， 3) (B)(2， -3) (C)(-2， -3) (D)(2， 3)4.函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( ) (A)x 2 (B)x 2 (C)x
17、2 (D)x 25.函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( )(A)x -2 且 x 1 (B)x -2 且 x 1(C)x -2 且 x 1 (D)x -2 或 x 16.在 下 列 函 数 中 ， 成 正 比 例 函 数 关 系 的 是 ( )(A)圆 的 面 积 与 它 的 周 长(B)矩 形 面 积 是 定 值 ， 矩 形 的 长 与 宽(C)正 方 形 面 积 与 它 的 边 长(D)当 底 边 一 定 时 ， 三 角 形 面 积 与 底 边 上 的 高7.函 数 y=k(x-1)与 y= (k o)在 同 一 坐 标 系 下 的 图 象 大 致 如 图 (
18、 )8.如 果 直 线 y=kx+b 的 图 象 过 二 、 三 、 四 象 限 ， 那 么 ( )(A)k 0,b 0 (B) k 0， b 0 (C)k 0， b 0 (D)k 0， b 09.对 于 抛 物 线 y=- +x-x2， 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )(A)开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 是 ( ， 0)(B)开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 是 ( ， 0)(C)开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 是 (- ， )(D)开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 是 (- ， - )10.若 a 0,b 0 则 函 数 y=ax2+bx 的 图 象 是 下 面 图 中
19、 的 ( )11.已 知 ： 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 ， 则 ( )(A)a 0,b 0, c 0, 0 (B)a 0,b 0, c 0, 0(C)a 0,b 0, c 0, 0 (D)a 0,b 0, c 0, 0 12.把 函 数 y=2x2-4x-5 的 图 象 向 左 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 3 个 单 位 后 ， 所 得 到 的 函 数 图 象 的解 析 式 为 ( )(A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2填 空 题13.点 A( ， -5)到 x 轴 的
20、距 离 是 _； 到 y 轴 的 距 离 是 _； 到 原 点 的 距 离 是 _.14.直 线 y=kx+b 与 直 线 y=- x 平 行 ， 且 通 过 点 (2， -3)， 则 k=_， 在 y 轴 上 的 截 距 为 _.15.一 次 函 数 的 图 象 经 过 (1， -5)点 且 与 y 轴 交 于 (0， -1)点 ， 则 一 次 函 数 的 解 析 式 为 _.16.已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 M(4， 8)且 经 过 坐 标 原 点 ， 则 抛 物 线 所 对 应 的 二 次 函 数 的 解 析 式 为_.解 答 题 ：17.一 次 函 y= x+ 分 别 与 x
21、轴 ， y 轴 交 于 点 A， B， 点 C(0,a)且 a 0， 若 BAC 为 直 角 ， 求图 象 过 点 C 与 点 A 的 一 次 函 数 解 析 式 。18.已 知 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=4， AC=6,D 是 AB 边 上 一 点 ， E 是 AC 边 上 一 点 ， ADE= C,设DB=x,AE=y。(1)求 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ；(2)画 出 这 个 函 数 图 象 。19.在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 直 线 l 过 点 (4， 0)， 且 与 x， y 轴 围 成 的 直 角 三 角 形 面 积 为 8， 一 个二 次 函
22、 数 图 象 过 直 线 l 与 两 坐 标 轴 的 交 点 ， 且 以 x=3 为 对 称 轴 ， 开 口 向 下 。 求 二 次 函 数 的 解 析 式 及函 数 的 最 大 值 。20.已 知 抛 物 线 y=x2-mx+(2m+3)(m 是 不 小 于 -2 的 整 数 )与 x 轴 相 交 于 A、 B 两 点 ， 且 A、 B 两 点间 的 距 离 恰 是 顶 点 到 y 轴 距 离 的 2 倍 。(1)求 这 条 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；(2)如 果 D(t,2)是 抛 物 线 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ， 求 D 点 坐 标 。四 .提 示 与 答 案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 13.5， 3， 214.- ， -2 15.y=-4x-1 16.y=- x2+4x 17.y=- x-18.(1)y=- x+ (0 x 4)； (2)图 略19.y=- x2+3x-4,最 大 值 为 .20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2) ：
