1、第 1 页 共 13 页2017 上海高考专题复习数列考题精选 11.已知等差数列 na中， ,0,166473a求 n前 n 项和 s. 2在 不等边ABC 中，设 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， 依次A2sinB2iC2sin成等差数列，给定数列 ， ， acosbos（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ ） A是等比数列而不是等差数列 B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列 D既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断3.设 nS为数列 na的前 项和， 2nSk， *nN，其中 k是常数（I） 求 1及 ；（II）若对
2、于任意的 *mN， ma， 2， 4m成等比数列，求 的值第 2 页 共 13 页4.等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （2）当 b=2 时，记 ()4nNa 求数列 nb的前 项和 nT5.设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa第 3 页 共 13 页6.设数列 是等差数列,a =6na5 当 a =3 时,在数列 中找一项 a ,使 a 成等比数列，求 的值；3nm35,m 当 a =2 时,若自然数 n （t=1,2,3, ）,满足 ，且使得t 12
3、tn 成等比数列,求数列 的表达式1235,tn t7已知 是定义在 上的增函数，且记 。xfRxfxg1（1）设 ，若数列 满足 ，试写出 的通项公式及前 的和na1,3nanam2：mS2（2）对于任意 、 ，若 ，判断 的值的符号。1x2021x21x第 4 页 共 13 页8.已知数列 的前 项和为 ，若 ，nanS1,211 nSan（1）求数列 的通项公式：（2）令 ，当 为何正整数值时， ；若对一切正整数 ，总有 ，求nST1nTmTn的取值范围。m9.关于 的方程 的两根为 ，且 ，若数列x0cotsin2i2 x,20， 的前 100 项和为 0，求 的值。1,1,1,第 5
4、 页 共 13 页10.已知数列 na中， ,1且点 NnaP1,在直线 01yx上.（1）求数列 的通项公式；（2 ）若函数 ,2,)(321 nanf n且求函数 的最小值；（3）设 nnSab,表示数列 nb的前 项和试问：是否存在关于 的整式 ng，使得gS11321对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？ 若存在，写出g的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 11.已知各项均不相等的正项数列 的前 项和分别为 .,nab,nST（1）若 为等差数列，求证： .,nablimlinn（2）将（1）中的数列 均换作等比数列，请给出使 成立的条件.,n limlinnab第 6 页 共
5、 13 页12.已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为正整数）.nanS1naSn（1）求数列 的通项公式；（2）记 .试比较 的大小关系，并证明你的结论. nS21 ()n与13.已知数列 的前 N 项和为na ).(132,1*NnSaSnnn （1）证明：数列 是等比数列；3n（2）对 求使不等式 恒成立的自,),(log)(,2* kfkn设 )2()mff然数 的最小值.m第 7 页 共 13 页2017 上海高考专题复习数列考题精选 1解答1.已知等差数列 na中， ,0,166473a求 n前 n 项和 s. 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可
6、求解。解：设 n的公差为 d，则 1126350ad即2184解得 11,8ad或因此 9819n nSnSn， 或2在不等边ABC 中，设 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ， ， 依次成A2siB2inC2si等差数列，给定数列 ， ， acosbCos（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号（ ） A是等比数列而不是等差数列 B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列 D既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断解：（1）B （ 2） 因 为 、 、 成 等 差 数 列 ， 所 以 ，A2sinB3iC2sin CAB222sinisin所
7、以 又 ， ， cababcoabcAo2abco显然 ，即 、 、 成等差数列若其为等比数列，有Cos s，所以 ， ，与题设矛盾cbBaAsc CBtnttnB3.设 nS为数列 n的前 项和， 2nSk， *N，其中 k是常数（I） 求 1及 a；（II）若对于任意的 *mN， ma， 2， 4m成等比数列，求 的值解（）当 1,， 12)1()(,221 knnkSnn（ ）经验， ,（ ）式成立， （） ma42成等比数列， ma42.，即 )8)()4(kkk，整理得： 0)(k，对任意的 N成立， 10或4.等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)
8、nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数)的图像上. 第 8 页 共 13 页（1）求 r 的值； （2）当 b=2 时，记 1()4nbNa 求数列 nb的前 项和 nT解:因为对任意的 ,点 nS，均在函数 (0xyr且 1,br均为常数)的图像上.所以得 nSr,当 1时, 1ab, 当 2时, 111()()nnnnnrbb,又因为 为等比数列, 所以 , 公比为 , 所以 1nab（2）当 b=2 时， 1()2nn, 142nn则 2341n nT 521n相减,得 234512n n312()12n12n所以 113nnnT【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公
9、式,以及已知 nS求 a的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 项和 T.5.设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12b，证明数列 b是等比数列 （II）求数列 n的通项公式。解：（I）由 ,a及 142nSa，有 1214,a2112135,3aba由 14nS， 则当 时，有 nS 得 ,()n又 2b， 1nb是首项 1b，公比为的等比数列（II）由（I）可得 23nna， 324na数列 2na是首项为 ，公差为 4的等比数列131()4n， 2(1)nn 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1nb与
10、的 关 系 即 可 第（II）问中由（I）易得 1123na，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnapq为 常 数 )，主要的处理手段是两边除以 q第 9 页 共 13 页6.设数列 是等差数列,a =6na5 当 a =3 时,在数列 中找一项 a ,使 a 成等比数列，求 的值；3nm35,m 当 a =2 时,若自然数 n （t=1,2,3, ）,满足 ，且使得t 12tn 成等比数列,求数列 的表达式1235,tn t解: 由于 a =a +2d 所以 d= a = a +（m3）d = （m1） 32a 、a 、a 成等比数列 36=3 （m1） m=9. 35m2 由
11、a =2, a =6, d=2 a = a （n3）d = 2n4 又 公比 q= =23 53tn1t2n 4=23 n =3 +2. t1tt7已知 是定义在 上的增函数，且记 。xfRxfxg1（1）设 ，若数列 满足 ，试写出 的通项公式及前 的和na1,3nanam2：mS2（2）对于任意 、 ，若 ，判断 的值的符号。12 0221解：（1） ，则111 nnnnnffga， ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，n a ， ；22mSm（2）若 ，则 ， 是定义在 上的增函数 121x011,xxfR ，则 ,ffff 122xff ，即 ，与 矛盾，022 0g02g 2
12、18.已知数列 的前 项和为 ，若 ，nanS,11nSan（1）求数列 的通项公式：（2）令 ，当 为何正整数值时， ；若对一切正整数 ，总有 ，求nST1nTmTn的取值范围。m解：（1）令 ， ，即 ，1212a212a由 ，1nSann 21annn ， ，即数列 是以 为首项、 为公差的等差数列， 12 *N ，n（2） ，即 ，1122nnnTT *2Nn ，又 时， ，各项中数值最大为 ，对一切正整3,11S 1T23第 10 页 共 13 页数 ，总有 ， 。nmTn239.关于 的方程 的两根为 ，且 ，若数列x0cotsini2 x,20， 的前 100 项和为 0，求 的
13、值。1,1,1,解： ，11101010 S ， ， costsin,2sin2sinin2 ， 。067或10.已知数列 na中， ,1且点 NnaP1,在直线 01yx上.（1）求数列 的通项公式；（2 ）若函数 ,2,)(321 nanf n且求函数 的最小值；（3）设 nnSab,表示数列 nb的前 项和试问：是否存在关于 的整式 ng，使得gS11321对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？ 若存在，写出g的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 解：（1）由点 P ),(n在直线 0yx上，即 1na，-2 分且 ，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列)2()(， a同
14、样满足，所以 na -4 分（2） nnf1)2124132( nn -6 分01)( ff所以 是单调递增，故 )(nf的最小值是 7)(f-10 分（3） nb1，可得 Sn1321 ， )2(1nSn-12 分)(，1n2相加得： 1321 nSSnS第 11 页 共 13 页)1(1321 nnnSSS ，n2-15 分所以 g)(。故存在关于 n 的整式 g（x）=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立。-16 分11.已知各项均不相等的正项数列 的前 项和分别为 .,nab,T（1）若 为等差数列，求证： .,nablimlinnS（2）将（1）中的数列 均换作等比数列，
15、请给出使 成立的条件.,n limlinnaSb证明（1）设 的公差分别为 （ 均不为 0） ，则12,d12,4 分112()limli,nxxadb112li ,()nxxnSTd所以 .8 分lilinnxxaSb解（3）设 的公比分别为 （ 均为不等于 1 的正数） ，则, 12,q12,11 分1122 12()limlilim0.nnnnaaqabbb14 分112 21212(),()lili ,01),()0,).nnnqSaqaqTbb所以使 成立的条件是 或 .16 分limlinnxxaSbT 12,q12q12.已知数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为正整数）.nnna
16、Sn（1）求数列 的通项公式；a（2）记 .试比较 的大小关系，并证明你的结论. nS21 (1)n与解：（1） ，n以上两式相减得到 ，即 3 分11()0nnaS10nna所以 ，数列 是公比为 等比数列，又 ， ，12n2S12a第 12 页 共 13 页所以 . 6 分1()2nnna（2） ， 8 分1S1()2na设 ，则 ， = 0()nf1()nf 12()(nffn1所以，函数 f（n）在 nN*上单调递减，所以 f（n）的最大值是 f（1）=1， 所以 . 12 分1Sa13.已知数列 的前 N 项和为n ).(32,1*NnSaSnnn （1）证明：数列 是等比数列；3n
17、（2）对 求使不等式 恒成立的自,),(log1)(,2* kfkn设 )2()mff然数 的最小值.m解：（1） ,13,1Sann.5.42112 aS又当 时， ，2)(.3,)(11nnaS即 得-4 分.,3nn数列 是公比为 2，首项为 的等比数列.2 分,4812a3a41（2）由（1） ，知 .21nn .3)(4, 21 nSn4 分.2,)( *Nkf 当 m 为偶数时， ，12)(,1)(mff不存在自然数 m，使 恒成立. 2 分当 m 为奇数时， ),2(), mffff 而当 m=1 时， ；3)(32)(21当 m=3 时， ；-2 分195ff当 m=5 时， ；63当 m5 时，即证： 恒成立2m） ，已证5）假设 ，结论成立，即k12k则 时，)(42kk而 031142 则 )(k即 时，结论成立m第 13 页 共 13 页所以当 m5 且为奇数， 成立， -3 分)2()mff此时 m 的最小值为 5. -1 分
