1、五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 0 of 7模块一、数论中的极端思想【例 1】 18 这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？【 8531 和 7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是 8，7，百位分别是 6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是 85，另一个数的前两位是 76。同理可确定十位和个位数.【巩固】 两个自然数的和是 15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【 将两个自然数的和为 15 的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面 7 种情况：15=1+
2、14，114=14；15=2+13，213=26；15=3+12，312=36；15=4+11，411=44；15=5+10，510=50；15=6+9，69=54；15=7+8，78=56。由此可知把 15 分成 7 与 8 之和，这两数的乘积最大。结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】 两个自然数的积是 48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【 48 的约数从小到大依次是 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，两个自然数的乘积是 48，共有以下 5 种情况：48=148，1+48=49；4
3、8=224，2+24=26；48=316，3+16=19；48=412，4+12=16；48=68，6+8=14。两个因数之和最小的是 6+8=14。结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。【例 2】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257，1459 等等，这类数中最大的自然数是多少？【 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故 10112358 满足条件如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取 1 与 0【例 3】 有一类自然数，它
4、的各个数位上的数字之和为 2003，那么这类自然数中最小的是几？【 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为 2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取 9，而第七讲：最大与最小五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 1 of 720039=2225，所以满足条件的最小自然数为： 295.个【例 4】 将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个 192 位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去 100 个数字，那么剩下的 92 位数最大是多少？最小是多少？【 要得到最大的数，左
5、边应尽量多地保留 9。因为 159 中有 109 个数码，其中有 6 个 9，要想左边保留 6 个 9，必须划掉 159 中的 109-6103（个）数码，剩下的数码只有 192103=89（个），不合题意，所以左边只能保留 5 个 9，即保留 149 中的 5 个 9，划掉 149 中其余的 84 个数码。然后，在后面再划掉 16 个数码，尽量保留大数（见下图）：所求最大数是 999997859606199100。同理，要得到最小的数，左边第一个数是 1，之后应尽量保留 0。250 中有 90 个数码，其中有5 个 0，划掉其余 90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉 15 个数码，尽量
6、保留小数（见下图）：所求最小数是 10000012340616299100。【例 5】 把 17 分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【 假设分成的自然数中有 1，a 是分成的另一个自然数，因为 1a1+a，也就是说，将 1+a 作为分成的一个自然数要比分成 1 和 a 两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有 1。如果分成的自然数中有大于 4 的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+323，8=3+535。也就是说，只要有大于 4 的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于 4 的数。如果分成的自然数中有 4，因为 4=2
7、+2=22，所以可以将 4 分成两个 2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有 2 和 3 两种。因为2+2+2=6，222=8，3+3=6，33=9，说明虽然三个 2 与两个 3 的和都是 6，但两个 3 的乘积大于三个 2 的乘积，所以分成的自然数中最多有两个 2，其余都是 3。由此得到，将 17 分为五个 3 与一个 2 时乘积最大，为 333332=486。结论：整数分拆的原则：不拆 1，少拆2，多拆 3。【巩固】 把 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【 14 拆成 3、3、3、3、2 时，积为 33332=162 最大.【例 6】 某国家的货币中有
8、 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元五种，为了能支付 1 元、2 元100 元的钱数（整数元） ，那么至少需要准备货币多少张？【 为了使货币越少越好，那么 9 元的货币应该尽量多才行。当有 10 张 9 元时，容易看出1、1、3、5 这四张加上后就可以满足条件。当 9 元的货币超过 11 张时，找不到比 14 张更少的方案。当 9 元的货币少于 10 张时，至少有 19 元需要由 5 元以下的货币构成，且 1 元的货币至少 2 张，这样也找不到比 14 张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要 10 张 9 元的、2 张 1元的、1 张 3 元的、1 张 5 元的，共 14 张货币。 【例
9、 7】 在五位数 22576 的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？【 225776【巩固】 在六位数 865473 的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？【 8654473.【例 8】 设自然数 n 有下列性质：从 1、2n 中任取 50 个不同的数，其中必有两数之差等于 7，这样的 n 最大不能超过多少？【 当 n=98 时，将 1、298 按每组中两数的差为 7 的规则分组：1，8、2、9、7，14、15，2290，97、91、98。一共有 49 组，所以当任取 50 个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于 7。当 n=99 时，取上面每
10、组中的前一个数，即1、27、1521、2935、4349、5763、7177、8591 和 99 一共是 50个数，而它们中任 2 个的差不为 7。因此 n 最大不能超过 98。五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 2 of 7【例 9】 在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？【 把 10 个数都添上加号，它们的和是 55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减
11、数，那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是182=9。对于大于 2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括 1） 。9 最多可拆成三数之和 234=9，因此这些减数的最大乘积是23424，添上加、减号的算式是：10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。模块二、智巧趣题中的极端思想【例 10】 99 个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果问：这群小朋友最多有几位? 【 1+2+3+13=9199，1+2+3+14=10599，说明若 13
12、位各分得 1，2，3，13 个苹果，未分完 99 个，若 14 位各分得 1，2，3，14 个苹果，则超出 99 个因 91+8=99，在 13 位上述分法中若把剩下的 8 个苹果分别加到后 8 位人上，就可得合题意的一个分法：13 人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14 个所以最多有 13 位小朋友(注：13 人的分法不唯一)【例 11】 （第四届希望杯 1 试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了 5 次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的 多一些，比 少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 354次，最多共要运 次。【 这道题目用到了极值判断法
13、，体会极值判断法：假定 5 次运的恰好等于 ，则每一次最少运 5= ，所以最多运 1 = 9 次；53225318假定 5 次运的恰好等于 ，则每一次最多运 5= ，所以最少运 1 = 7 次.344006【例 12】 某学校，星期一有 15 名学生迟到，星期二有 12 名学生迟到，星期三有 9 名学生迟到，如果有22 名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？ 【 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的 22 人次分为仅迟到一次和三天都迟到的可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)2=7( 人)【巩固】 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得
14、分 198，最低得分 169，没有得 193 分、185 分和 177 分，并且至少有 6 人得同一分数，参加测试的至少多少人？ 【 得分数共有 198-169+1-3=27(种)，当只有 6 个人得分相同时，参加测试的人最少，共有 27+6-1=32(人)【例 13】 149 位议员中选举一位议长，每人可投一票候选人是 A，B，C 三人开票中途，A 已得 45 票，B 已得 20 票，C 已得 35 票如果票数最多者当选，那么 A 至少再有多少票才能一定当选? 【 45+20+35=100，还有 149-100=49(票)45-35=10，如果 49 票中有 10 票都给 C，49-10=3
15、9，那么 A 至少还要有 20 票才能当选【例 14】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半车到学校时，车上最少有多少学生?【 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有 1 个学生上车假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16 个因此五个站上车的人数共有 1+2+4+8+16=31(人)，很明显，五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 3 of 7如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于 31 个所以，最少有 31 个学生【例 15】 某公共汽
16、车从起点开往终点站，中途共有 15 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？【 （法 1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有 56 人，这就是说至少应有 56 个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。（法 2）：因为车从某一
17、站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站 1 人） ，这一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人数=（以前的站数+1）以后站数=站号（15-站号） 。因此只要比较下列数的大小：114， 213， 312， 411， 510，69， 78， 87， 96， 105，114， 123， 132， 141 . 由这些数，得知 78 和 87 是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是 56 人，所以它应有 56 个座位 .此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一
18、考察，最后归纳出需要的结论。【例 16】 某班学生 50 人，年龄均为整数，年龄的平均值为 12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?【 因为全班 50 人的年龄总和比平均 12 岁的年龄总和多(12.2-12)50=10(岁)，所以年龄最大的能是 12+3=15(岁)如果有人年龄达到 15 岁，那么剩下的 49 人的年龄和比平均 12 岁的年龄和多 103=7(岁)，所以最多有 7 人的年龄大于 12 岁，小于 15 岁【例 17】 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是
19、老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？ 【 家长比老师多，所以老师少于 222=11 人，即不超过 10 人；相应的，家长就不少于 12 人。在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于 122=6 人，即不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于 9 人。但老师最多就 10 个，并且还至少有 1 个男老师，所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师，共 10 个。那么，在 12 个家长中，就有 7 个是妈妈。所以，爸爸有
20、 12-7=5 人。【例 18】 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？【 先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二堆的 3 倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍” ，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是：五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 4 of 7（34-2）2=16，即
21、三堆分别有：163+1=49，16+1=17 和 16 个，总数：49+17+16=82 个；如果第三堆剩 2 个，那么第一堆的每一份为：（34-4）2=15，各堆分别为：153+1=46，15+1=16 和 14 个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是 82. 【例 19】 如图，小明要从 A 走到 B，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数请问小明最快需几分钟?【 从 A 到 B 要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过 C 点和不过 C 点两类不过 C 点有两条路：第一条是15+7+9+18=49(分钟)；第二条是 14+6+1
22、7+12=49(分钟)；两条路所用时间相同经过 C 点的路线分为两段，AC、CB同上面一样：AC：14+13=27(分钟)；15+11=26(分钟)CB：10+12=22(分钟)；5+18=23(分钟)在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较所以从 ACB 最少用 48 分钟，比前面不过 C 的少用 1 分钟【例 20】 阶梯教室座位有 10 排，每排有 16 个座位，当有 150 个人就座，某些排坐着的人数就一样多我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？【 至少有 4 排如果 10 排人数各不相同，那么最多坐：16+15
23、+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有 2 排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)2=140(人)；如果最多有 3 排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)3+13=148(人)；如果最多有 4 排人数一样，那么至多坐：(16+15)4+142=152(人)148150152， 所以，至少有 4 排课后练习练习 1. 如果一个自然数 N 的各个位上的数字和是 1996，那么这个自然数最小是几？【 19969=2217，N= .2197个练习 2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？ 【
24、 把 4 个数全加起来就是每个数都加了 3 遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即 64-52=12。 3小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的 975 个人若用电话联系，每通知 1 个人需 1 分钟，而见面可一次通知 60 个人，但需 10 分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话)【 应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人因此，可以先花10 分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第 14 分钟时共可通知：(1+60)22221=975(人)，因此最少用 14
25、分钟练习 3. 当 A+B+C10 时(A、B、C 是非零自然数)。ABC 的最大值是，最小值是。【 当为 3+3+4 时有 ABC 的最大值，即为 33436；当为 1+1+8 时有 ABC 的最小值，即为 1188。练习 4. 要砌一个面积为 72 米 2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？【 将 72 分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是 9-8=1。 ，猪圈围墙长 9 米、宽 8 米时，围墙总长最少，为（8+9）2=34（米）.练习 5. 公园里有一排彩旗，按 3 面黄旗、2 面红旗、4 面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉
26、旗已知这排旗不超过 200 面，这排旗子最多有多少面?【 旗子排列是 9 面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了2009=222，所以最多可以出现 200-2=198 面旗子，共 22 个循环五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 5 of 7练习 6. 有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过 60 块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？ 【 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于 613= ，即它不小于 21从而四袋糖1203总和不小于 21 十 61=82(块)比如四袋糖数量分别为 21，21，20，20 即可月测备选测试 1、比较下面两个乘积的大小
27、：a=5712846387596512， b=5712846087596515 .【 对于 a，b 两个积，它们都是 8 位数乘以 8 位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个 8 位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为 57128463比 57128460 多 3，87596512 比 87596515 少 3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为 a 的两个因数之差小于 b 的两个因数之差，根据上题结论，可得 ab测试 2、将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个 192 位数：1
28、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去 170 个数字，剩下的数字形成一个 22 位数，这个 22 位数最大是多少？最小是多少？【 在前 100 个自然数中，共有 20 个 9，再保留后面的“10” ，即得到最大数：9999999100（20个 9） ；最小数的第一位是“1” ，再保留 1090 中的 9 个“0” ，再在 91100 中留下 12 个尽量小的数，即得最小数：1000000000123456789100 .测试 3、 （第一届希望杯 1 试）一艘轮船往返于 A、B 码头之间 ，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速
29、增加前所用时间_ (填“多”或“少”)【 极限判断，当水速为 10，船速是 20 时，我们可以往来 A，B 两地，当河水速度增加时，比如增加到 20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了 B 地，所以时间变多了。测试 4 冬季运动会共有 58 面金牌，至今 A 队已得 lO 面，B 队已得 11 面，C 队已得 13 面如果 A 队要想金牌数居第一位，A 队至少还要得多少面金牌?【 10+ll+13=34还有 58-34=24(面)可争夺A 队要再得 4 面，才超过 C 队在余下的奖牌中不能少于一半，即再得 4+(24-4)2=14(面)，才能确保金牌数居第一位测试 5、某班有 50 名学生，参
30、加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 23 人，参加英语竞赛的有 20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？【 因为参加竞赛的有 28+23+20=71(人)让这 71 人尽可能多地重复，712=351，所以至多有35 人参加两科测试 6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8 个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？【 假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（48=）32，与实际的和 39 相差 7，这是因为将摸出的黄球、
31、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（64=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1 。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在 72=31，因此可用 3 个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样 8 个球的数字之和正好等于 39。所以要使 8 个球的数字之和为 39，其中最多可能有（8-3-1=）4 个是红球。测试 7、小明有一只最多能装 10 千克物品的大提兜现有白菜 5 千克，猪肉 2 千克，鱼 35 千克，一瓶酱油连瓶重 1.7 千克，白糖 l 千克，蚕豆 5.1 千克请你想想，把哪几样东西放进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重?【 大提兜能装的重量限制在 10 千克之内把哪几样东西的重量加在一起，使和不超过 10 千克，但最接近 lO 千克我们不妨列举在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放(共 10.1 千克)，但二者应取其一，否则才装 2+3.5+1.7+1=8.2 千克列举如下：五年级.第 7 讲.最大与最小 教师版 page 6 of 7白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)；白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)；蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)显然，把 5.1 千克蚕豆，1.7 千克的酱油，2 千克的猪肉和 1 千克重的白糖放人大提兜内最重
