1、如何培养初中生数学几何题的解题能力北海市铁山港区南康镇初级中学 王春艳摘要：中学数学的教学目的，归根结底在于培养学生的解题能力，提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。很多学生到了初中对几何证明题感到困难，甚至无从入手。本文针对这些情况，列举了一些方法，帮助学生提高对几何题的证明，使学生走出“证明题难”的困境。关键词：几何 解题能力 思维 证明中学数学的教学目的，归根结底在于培养学生的解题能力，提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务。在这项任务中，教会学生掌握几何题的解题能力是最困难的。俗话说：“几何，几何，想破脑壳。 ”这是学生害怕几何的真实写照。学生看到几何题就会害怕，要完
2、成更是困难。原因在于学生对证明的过程不会书写或书写不完整；有时知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容；有的在证明时凭感觉，或者是无从入手。如何帮助他们走出困境？经过一番苦思冥想和长期实践，我小结了一些的经验，现在就如何才能提高学生几何题的解题能力在具体方法上谈谈我的见解。一、理解、画图、翻译、书写几何知识内容主要为图形的定义、图形的性质、图形的判定、图形的画法、图形性质判定在实际生活中的运用等，几何知识外在形式表现为：图形、文字与符号，而其实质是图形语言、文字语言和符号语言的对应与统一。因此，学习几何首先必须掌握这些语言，离开这些语言知识，你无法进行表述，无法逻辑地思考。归根结底为：理解、画
3、图、翻译、书写。大家知道在中学阶段学生最早接触的几何题为文字题，而对几何题的证明也是从先证明文字题开始的。先是认知公理，再在公理的基础上，证明有关的定理。在教学中引导好学生证明几何文字题，是学好几何的关键。在教学中，本人习惯先讲清几何文字题在几何学中的位置与作用，几何与我们实际生活的密切关系，突出它的重要性。其次让学生掌握几何文字题的证明步骤：理解、画图、翻译、书写。理解是对几何文字题认真阅读题目，抓题目的每一个条件，它的出现有什么作用，对所要求结论有什么关系等等。也就是要读懂题目，理顺题目中的题设与结论；画图是在理解题目的基础上画出正确的图形；翻译是在理解题目的基础上对题目的题设与结论翻译成
4、几何符号，通常题设用“已知” 、结论用“求证”来表示；书写就是用几何符号书写出证明过程。如：证明角平分线性质定理“在角平分线上的点到这个角两边的距离相等”时，首先读懂题目，找出题目中的题设与结论。题设：一个点在一个角的平分线上， 结论：它到角两边的距离相等。根据题意，画出图形（略） ，写出已知和求证。已知，如图是的角平分线，点在上，并且，垂足分别是点、。 求证：。证明：PDOA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直定义）在PDO 和 PEO 中PDO= PEO AOC=BOC（角平分线定义） OP=OP（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）当然在解题的
5、过程中，教师对学生的肯定和鼓励也十分重要，这能使学生学习兴趣变浓，积极性也就会高涨。解几何文字题不但可以培养学生的思维能力，而且还能够锻炼学生分析问题的能力和创新能力。学好了几何文字题的证明，并持之以恒，循序渐进，时刻都要养成一种习惯，就形成好的思维，对后阶段的复杂的几何题的证明奠定了基础。会获得成功。二、强化几何公理、定理的记忆很多学生认为英语需要记忆的东西多，数学只要理解就行。但是时间长了，即使是理解了的东西也会忘记。心理学告诉我们，遗忘与学习是相伴而行的。学习必须战胜遗忘，就离不开良好的记忆方法。著名心理学家艾宾浩斯首先对遗忘进行了研究，实验表明：遗忘的进程不仅受时间的制约，也受其它因素
6、的制约：材料的意义和作用、材料性质、材料的数量、材料的系列位置学习程度对遗忘进程的都有影响。心理学家指出：遗忘的重要原因在于记忆后缺乏巩固复习。因此，教师要根据遗忘发展的规律，正确地安排学生复习，强化几何公理、定理的记忆。就初中数学而言，学生在学习的过程中有许多要记忆的内容，如概念的定义、性质、定理、公理、一些重要的公式、数学中常用的主要方法、一些专用的数学符号等等。对于这些内容，必须要有正确的方法才能记忆深刻，也只有记忆深刻了才能够运用自如。一般来讲，初中数学中常用的记忆方法有：1.理解记忆，2.对比记忆，3.过程记忆，4.歌谣记忆，5.图表记忆,6.分类记忆等。例如在特殊的四边形中，平行四
7、边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定非常多，学生非常容易混淆，如果我们从四边形的边（又分对边与邻边） 、角（又分对角与邻角） 、对角线、对称性等四方面来记忆，那么学生就容易记忆完整。如果说几何题是把锁，那么几何公理、定理就是开启这把锁的锁匙。所以强化几何公理、定理的记忆是证明几何题的必要提前，没有这些理论，几何题的证明就不是证明，而是在瞎扯。当然记下了公式、定理还不行，还要清楚其背景和来源。才能真正理解这些公理、定理，才能运用它们解决问题。三、在教学环节上，重视“数形结合”法著名数学家华罗庚指出：“数缺少形时少直观，形少数时难入微。 ”这句话说明了“数”和“ 形”是紧密联系的。我们在研究“
8、 数” 的时候，往往要借助于 “形”，在探讨 “形”的性质时，又往往离不开“ 数”。几何是研究“形”的，所以对几何题的解题教学， “数形”结合法最为重要。这样也能把学生害怕的几何题运用数形结合的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助。对于每一道几何题我习惯上都让学生反复读几次题目，在确认理解题目的基础上借助图像把题目的已知条件在图形上用符号表示出来，能使题目的问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。在讲解的过程中，我比较重视“数形结合” 的思维训练，任何一道题，只要与 “形”沾上了一点边，就应该根据题意画出草图来
9、分析一番。让学生借助几何图形的性质解决代数问题，或运用代数方法解决几何问题，或将几何、代数的方法并用，让学生在训练中逐渐领悟数形结合思想的实质。这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人就会慢慢养成一种“数形结合” 的好习惯。如：在 RtABC 中，ACB=900 ，D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直径的O 与 AC 相切于 E 点，连接DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F。 （1）求证： BD=BF；（2）若 BC=6，AD=4，求O 的面积。 （见北海市铁山港区 2010 年初中毕业班第三次质量检测数学试题）解这道题先把直角ACB=900
10、 在图形上作出垂直标记，再从“以 BD 为直径的O 与 AC 相切于 E”知道连接 OE，也得出 OE AC，这样易知，OEBC ，找出了这个平行，解决问题（1） （2）就容易得多了。四、开阔学生视野、扩散学生思维几何证明题都具备几种不同的求解证明方法教师在教学时，要充分发挥学生的潜能，发散他们的思维，让他们大胆创新，寻找不同的路径进行求解证明，掌握一题多解的方法，让学生把几何学活、用活。例如：人教版八年级第一学期书上的例 11：已知：如图（6） ，D 是 BC 上的一点，BD=BC，1=2，求证：AB=AC证法一：课本上的证明方法是：“中线加倍” 。证明略。 （教师指导给出）另外学生还想出如
11、下的证法：证法二：作 CEAB 交 AD 的延长线于 E 如图 （7） ， 1= E1= 22= EAC=EC在ABD 和ECD 中AB CD1 2(6)AB CDE(7)1 21=EBDA= CDE BD=CDABDECD（AAS）AB=CDAB=AC证法三：作 DEAB，DFAC，垂足 E、F 如图（8） ，AED=AFD=BED= CFD=90在AED 和AFD 中1=2AED=AFDAD=ADAED AFD（AAS）DE=DF在 Rt BED 和 RtCFD 中DE=DFDB=DC RtBEDRtCFD(HL)B=CAB=AC注意：这三种的证明方法都因有其适当的切入点的明示暗喻才能顺利
12、解题的，一般的几何证明都会有，就看你找得到还是找不到!再如：四边形 ABCD 和 EFGC 是两个边长分别为 a 和 b 的正方形，用含 a，b 表示AGE 的面积。在学生思考，教师提问了一个学生，得出了答案，还来不及肯定，马上又有学生说他也有不同的解法，他也发表了自己的见解；而其他同学也陆续说出了不同的解法，细数了下，这一道学生给出了六种不同的解法！由此可见，发挥学生的潜能，发散他们的思维对学习几何有多大的帮助。总之，几何题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不
13、完。关键在于你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是熟能生巧，加快速度，节省时间，这一点在考试中时间有限制时显得尤为重要；二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信心就会畏难，就会放弃。只有自信才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。参考资料：光明出版社 主编 王德军有效教学 和谐课堂 人教版的八年级数学（上） 邵瑞珍等， 教育心理学 ，上海教育出版社， M1997 年第 1 版祝蓓里等， 心理学 ，华东师范大学出版社， M1984 年 6 月第 1 版童世骏等译， 当代思维方法 ，上海人民出版社， M1987 年 7 月第 1 版北海市铁山港区 2010 年初中毕业班第三次质量检测题D CBAE F21(8)
