1、 1三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 12:Sab夹在一组平行 线之间的等 积变形，如右 图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS B等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积 等于与它等底等高的平行四 边形面积 的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的
2、高之比二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 = 23146DCBAbas2s12三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） S1S 2=S4S 3 或者 S1S3=S2S4 AOOC=（S 1+S2）（S 4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） S1S 3=a2b 2S1S 3S 2S 4= a2b 2abab ; S 的对应份数为（a+b） 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例，且 这两组
3、对应边所夹的角相等则两个三角形相似。hhHcbaC BAacbHCBAS4S3s2 s1ODCBAS4S3s2s1ba3 ; abchABCH S1S 2=a2A 2 模型五：燕尾定理SABG：SAGCS BGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCS AGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGS ADG：SDGBAD：DB；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例 1】（难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56平方厘米，点 E、F、
4、G 分别是长方形 ABCD边上的中点，H 为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例 2】（难度等级 ）FEDCBAGH F E DCBA4如右图，ABFE 和 CDEF都是矩形，AB 的长是 4厘米，BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【例 3】（难度等级 ）如图，在三角形 ABC中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为AB和 AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【例 4】（难度等级 ）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F 是 AD的中点，延长 CF交 AB边于 E,求三角形 AEF和三角形 CDF的面积之和。【例 5】（难
5、度等级 ）如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED的面积是三角314形 ABC面积的几分之几？F ED CBADE CBAFAB CDE5【例 6】（难度等级 ）如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【例 7】（难度等级 ）如图，在长方形 ABCD中，Y 是 BD的中点，Z 是 DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY的面积【例 8】（难度等级 ）如图，正方形 ABCD的边长为 4厘米，EF 和 BC平行， ECH的面积是 7平方厘米，求 EG的长。G F E D CBAYZD CBAHG FEDCBA6【例 10】
6、（难度等级 ）如图已知四边形 ABCD和 CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为 10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米? 【例 11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为 12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例 12】（难度等级 ）如图，平行四边形 ABCD周长为 75厘米，以 BC为底时高是 14厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【例 13】（难度等级 ）123223dcbaxAB CDEFFEDCBA7如右图，正方形 ABCD的边长为 6厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF的面积彼此相等，求
7、三角形 AEF的面积.【例 14】（难度等级 ）如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分） 、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例 15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，AOB 面积为 1平方千米，BOC 面积为 2平方千米，COD 的面积为 3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例 16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?8【作业】1. 如图，三角形 中， ， ，三角形ABC2D3CEAADE的面
8、积是 20平方厘米，三角形 的面积是多少？B2. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35 ，49那么图中阴影部分的面积是多少？3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米， 求三角形 ABC 的面积。4. 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD的面积是 2， 求平行四边形 ABCD与四边形 EFGH的面积比. ED CBAHGFED CBAFEDCBA95. 如图，在ABC 中，延长 BD=AB，CE= BC，F 是 AC的中点，若ABC 的面积是122，则DEF 的面积是多少？
9、【例 1】（难度等级 ）如图，长方形 ABCD的面积是 56平方厘米，点 E、F、G 分别是长方形 ABCD边上的中点，H为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】 如右图，连接 BH、HC，由 E、F、G 分别为 AB、BC、CD三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此 S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长 方形的一半，即阴影部分面积为 28.【例 2】（难度等级 ）如右图，ABFE 和 CDEF都是矩形，AB 的长是 4厘米，BC 的长是 3厘米，那么图中阴
10、影部分的面积是_平方厘米【分析与解】 上排 4 个阴影三角形的高都等于 BF，底 边之和恰好为 AB，他们的面积之和为 ；下排 4 个三角形的高都等于 CF，底边之和恰好为 CD，他 们的面12BFA积之和为 .所以阴影部分面积为:CD(平方厘米).1134622CB【例 3】（难度等级 ）如图，在三角形 ABC中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为AB和 AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先， 平方厘米，而 F 是 AC 中点，所124ABCSD F ED CBA10以 .又 E 是 AB 中点，所以 平方厘米. 12ABFABCS1624EBFA
11、BFABCSS【例 4】（难度等级 ）如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F 是 AD的中点，延长 CF交 AB边于 E,求三角形 AEF和三角形 CDF的面积之和。【分析与解】连接 DE,于是三角形 AEF 的面积=三角形 EFD 的面积，所求被转化为三角形 EDC 的面积。因为 F 是 AD 中点，所以三角形 AEC 的面积和三角形 EDC 的面积相等，设 S BDE 为 1 份,则 S AEC=S EDC 为 3 份 因此 S ABC 一共 7 份，每份面积为 所以 S EDC 占 3 份为 。177【例 5】（难度等级 ）如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形
12、AED的面积是三角形 ABC面314积的几分之几？【分析与解】 上图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE= BC，于是 EC= BC， 313223AECBS又由于三角形 AED 与三角形 AEC 的高相等，而 CD= AC,于是 AD= AC, 444AEDC所以，三角形 AED 的面积= 三角形 AEC 的面积= 三4332角形 ABC 的面积 = 三角形 ABC 的面积 12【例 6】（难度等级 ）如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【分析与解】连接 BEDE CBADE CBAAB CEDFAB CDE11显然有 ，12ABE
13、CDS12ABEGFS所以 CDGF【例 7】（难度等级 ）如图，在长方形 ABCD中，Y 是 BD的中点，Z 是 DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY的面积【分析与解】平方厘米192ABCDS因为 Y 是 BD 中点，Z 是 DY 中点，所以 1()()2428ZCDBABCDABCDS【例 8】（难度等级 ）如图，正方形 ABCD的边长为 4厘米，EF 和 BC平行， ECH的面积是 7平方厘米，求 EG的长。【分析与解】EGAE + EGEB = 7 平方厘米12即 EGAB=7 平方厘米；EG=3.5 厘米【例 10】（难度等级 ）如图已知四边形 ABCD
14、和 CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 连接 CF由 ABCD 和 CEFG 都是正方形有 45BDCF所以 .BDCFA由平行线间距离相等知三角形 BDF 和三角形 BDC 同底等高YZD CBAHG FEDCBA12所以 1502BFDCABDSS【例 11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】 如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例 12】（难度等级 ）如图，平行四边形 AB
15、CD周长为 75厘米，以 BC为底时高是 14厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【分析与解】BC14=CD16，BC：CD=16：14，BC+CD= ，BC= =20752164ABCD 面积=1420=280 （平方厘米）【例 13】（难度等级 ）如右图，正方形 ABCD的边长为 6厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积.【分析与解】因为ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF 的面积与ABE 、ADF 的面积都等于正方形面 积的三分之一，也就是：1623ABEDFSS 四 边 形 CF在
16、ABE 中，因 为 AB6.所以 BE4，同理 DF4，因此 CECF2，ECF 的面积为 2222所以 （平方厘米）=10AEFF C四 边 形 AE123223dcbaxAB CDEFFEDCBA13【例 14】（难度等级 ）如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分） 、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【分析与解】由 BD=DC 有 ；由 ， ，有 .由鸟头定理有BDC12BDC3E6A13BEA， ，故 .1326AASS甲 5ABCS乙 甲 5S乙甲【例 15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个
17、部分，AOB 面积为 1平方千米，BOC 面积为 2平方千米，COD 的面积为 3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有 AOBCDAOBCSS所以 平方千米，故公园 总面积为132.5AODS平方千米，人工湖面 积为 平方千米.77.56920.8【例 16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接 BG设AEG 的面积为 x，显然EBG、BFG、 FCG 的面积均为 x，则ABF 的面积为 3x， 即 ，
18、那么正方形120ABFS103x内空白部分的面积为 . 43所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米) 814【作业】1. 如图，三角形 中， ， ，三角ABC2D3CEA形 ADE的面积是 20平方厘米，三角形 的面积是多少？B【答案】1202. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35 ，49那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】973. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米， 求三角形 ABC 的面积。【答案】84. 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD的面积是 2， 求平行四边形 ABCD与四边形 EFGH的面积比. 【答案】1：176. 如图，在ABC 中，延长 BD=AB，CE= BC，F 是 AC的中12点，若ABC 的面积是 2，则DEF 的面积是多少？【答案】3.5ED CBAHGFED CBAFEDCBA
