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不规则几何体体积的求法.doc

上传人:weiwoduzun 文档编号:3174472 上传时间:2018-10-06 格式:DOC 页数:2 大小:76KB
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1、1不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积,下面逐一介绍,供同学们参考一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积例 1 在边长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N,P分别是棱 A1B1,A 1D1,A 1A 上的点,且满足 A1M = A1B1,12A1N=2ND1,A 1P= A1A(如图 1),试求三棱锥 A1MNP 的体34积分析:若用公式 V= Sh 直接计算三

2、棱锥 A1MNP 的体 积,则13需要求出MNP 的面积和该三棱 锥的高, 这两者显然都不易求出,但若将三棱锥 A1MNP 的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥 PA1MN 的体积,便能很容易的求出其高和底面A 1MN 的面积,从而代入公式求解解:V A1-MNP =VA1MNP = SA1MN h = A1M1A1NA1P= a a a= a313 1312 131212 23 34 124评注:转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法,也是以后学 习求点到平面距离的一个理论依据二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法,在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分

3、割法例 2 如图 2,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点,平面 EB1C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比分析:截面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台AEFA1B1C1;另一部分是一个不 规则几何体,其体 积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得解:设棱柱的底面积为 S,高为 h,其体积 V=Sh则三角形 AEF 的面积为 S14由于 VAEF-A1B1C1= h( +S+ )= Sh,13 s4 s2 712则剩余不规则几何体的体积为 V =V-VAEF-A1B1C1=Sh - Sh = Sh,712 512所以两部分的体积之比为 V

4、AEF-A1B1C1:V =7:5.评注:在求一个几何体被分成的两部分体积之比时,若有一部分为不规则几何体, 则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积,再进行计算三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分,在解题时,把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积问题,这是2一种重要的解题策略补形法常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”问题例 3 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.分析:由三视图画出直观图,补一个大小相同的几何体,构成一个圆柱即可求其体积.解:由三视图可知,此几何体是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ,根据对称性,可补全此圆柱如图,故体积 V 1243 .14 34评注:“对称”是数学中的一种重要关系,在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助

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