1、不定积分的计算,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,三、分部积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.,过程,令,说明结果正确,一、第一换元积分法,该积分法可由下面的逆运算证明,这种积分方法也叫做“凑微分法”。,定理1,可导, 则有换元公式,设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续,如何应用上述公式来求不定积分?,则使用此公式的关键在于将,化为,的形式，,假设要求,所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.,例1 求,解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则,想到公式,注意换回原变量,例2 求,解：,则,这种换元法又称
2、为凑微分法或配元法, 即引进一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练以后, 可以不写出中间变量 u.,例1 求,解法二：,例3 求,一般地, 有,例4 求,类似,例5 求,一般地, 有,例6 求,解,说明:,当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例7 求,例8 求,一般地, 有,例9 求,一般地, 有,第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子,例10 求,例11 求,例12
3、 求,例13 求,例14 求,例15 求,解,类似可得,例16. 求,小结,积分常用技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）,(4) 巧妙换元或配元。,利用积化和差; 分式分项等;,利用倍角公式 , 如,作业,P155 1 (1)-(18),二、第二换元积分法,若,则,若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。,例1 求,则,于是,例2 求,解,令,说明,当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）,例3 求,解,令,三、分部积分法,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,分部积分法一般
4、用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.,例1. 求,解: 令,则,原式 =,分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.,例2 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.,(1) v要容易求出;,容易积出.,解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）” ，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.,即 把被积函数视为两个函
5、数之积 , 按,“ 反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为,例3. 求,解: 令, 则,原式 =,例4 求,解 设 u = arctanx, v= x, 则,例5 求,解 设 u = lnx, dv = dx, 则,例6 求,设 u = x 2, , 则 du = 2xdx, v = -cosx,于是,解：,例7 求,上式最后一项正好是所求积分, 移到等式左边然后除以2, 可知 e x sinx 的一个原函数为,说明:,分部积分题目的主要类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型要一致 , 解出积分后加 C ),不定积分计算练习题,例1 求,解: 令,则,故,原式,注意换回原变量,想到公式,例2 求,解 u = 2x + 1, du= 2dx, 则,想到公式,例3 求,例4 求,例5 求,例6 求,例7 求,第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子,
