1、1第一讲 数系扩张-有理数（一）一、 【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成 （ 互质） 。mn0,n4、性质： 顺序性（可比较大小） ； 四则运算的封闭性（0 不作除数） ； 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质： 非负性 (0)|a 2(|0,)a 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。二、 【典型例题解析】：1、若 的值等于多少？|0,abb则2 如果 是大于 1 的有理数，那么 一定小于它的（ ）mmA.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平
2、方3、已知两数 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是 2，求abcdx的值。2 206207()()()xcdx4、如果在数轴上表示 、 两上实数点的位置，如下图所示，那么 化简的结果等于（ |abA. B. C.0 D.22b5、已知 ，求 的值是（ ）2(3)|0aA.2 B.3 C.9 D.66、 有 3 个有理数 a,b,c，两两不等，那么 中有几个负数？,abca7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为 1， 的形式式，又可表示,为 0， ， 的形式，求 。ba2067ab28、 三个有理数 的积为负数，和为正数，且,abc则 的值是多少？|abcabcaX321x9、若 为
3、整数，且 ，试求 的, 207207|cabc值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+2005+2006 2、计算：12+23+34+n(n+1)3、计算： 5917365129324844、已知 为非负整数，且满足 ，求 的所有可能值。5、若三,ab|1ab,ab个有理数 满足 ，求 的值。c|ac|c3第二讲 数系扩张-有理数（二）一、 【能力训练点】：1、绝对值的几何意义 表示数 对应的点到原点的距离。|0|aa 表示数 、 对应的两点间的距离。|bb2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、 【典型例题解析】：1、 （1）若 ，化简0a|2|a（2）若 ，
4、化简x|3x2、设 ，且 ，试化简0a|a|1|2|3、 、 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？b（1） （2）|;ab|;ab（3） （4）若 则|b（5）若 ，则 （6）若 ，则|a|a4、若 ，求 的取值范围。|2|7xx5、不相等的有理数 在数轴上的对应点分别为 A、B 、C，如果,abc，那么 B 点在 A、C 的什么位置？|abc6、设 ，求 的最小值。d|xbxcd7、 是一个五位数， ，求eade的最大值。|abce8、设 都是有理数，令123206, 123205()Maa, ,试比24()a 12306()N 4205)4较 M、N 的大小。三、 【课堂备用练
5、习题】：1、已知 求 的最小值。()|1|2|3|20|fxxx ()fx2、若 与 互为相反数，求 的值。|ab) 1ab3、如果 ，求 的值。0c|abc4、 是什么样的有理数时，下列等式成立？x（1） （2）|(2)4|2|4|xx|7635|(76)355、化简下式： |x5第三讲 数系扩张-有理数（三）一、 【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：
6、几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、 【典型例题解析】：1、计算： 3510.752(0.1)244782、计算：（1） 、 698.（2） 、 （-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3） 、 （-4 ）+ 1136243、计算： 2.754 11234、 化简：计算：（1） 7114543828（2） 35.750.8636（3） 3401577（4） 2746（5）-4.035127.53512-36（ ）956185、计算： （1）
7、 （2）3241（3）219810.5320.5546、计算： 40.67、计算： 33 232013411()0.25()(5.24)(.5()(1840：7第四讲 数系扩张-有理数（四）一、 【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧： 凑整（凑 0） ； 巧用分配律 去、添括号法则； 裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、 【典型例题解析】：1、计算： 237970.71620.3.182、 11()()()39429 463、计算： 2 3()|3.1|.14|() 254474、化简： 并求当()()()(9)1
8、8xyyxyxy时的值。2,x95、计算：22223411n nS6、比较 与 2 的大小。486n7、计算： 33 23201311()0.25()(5.4)(0.5()(186288、已知 、 是有理数，且 ，含 ， ， ，请将abab23abc23acx3by按从小到大的顺序排列。,cxy三、 【备用练习题】：1、计算（1） （2）11428703821359102、计算： 11652042333、计算： ()()()64、如果 ，求代数式 的值。21|0ab22065()ba5、若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值为 2，求abcdm的值。2 21()mcd9第五讲代数式（一
9、）一、 【能力训练点】：（1）列代数式； （2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、 【典型例题解析】：1、用代数式表示：（1）比 的和的平方小 的数。xy与 x（2）比 的积的 2 倍大 5 的数。ab与（3）甲乙两数平方的和（差） 。（4）甲数与乙数的差的平方。（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。（6）甲、乙两数和的 2 倍与甲乙两数积的一半的差。（7）比 的平方的 2 倍小 1 的数。a（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被 5 整除的数。（10）任意一个三位数。2、代数式的求值：（1）已知 ，求代数式 的值。5ab2()3()ab（2）已知 的值是 7，求代数式
10、的值。2xy264xy（3）已知 ； ，求 的值abca64cb(0)（4）已知 ，求 的值。13210（5）已知：当 时，代数式 的值为 2007，求当 时，1x31Pxq1x代数式 的值。3Pxq（6）已知等式 对一切 都成立，求 A、B(27)(8)0AB的值。（7）已知 ，求 的值。223(1)xabxcdabcd（8）当多项式 时，求多项式 的值。0m206m3、找规律：.（1） ； （2）2()14()2()4(1)（3） （4）3第 N 个式子呢？ .已知 ； ；2238； 若41510ab（ 、 为正整数） ，求ab?ab. 猜想：323232;6;332410;14n三、 【
11、备用练习题】：1、若 个人完成一项工程需要 天，则 个人完成这项工程需要多少()mnmn天？2、已知代数式 的值为 8，求代数式 的值。236y231y3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克 3 元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克 2 元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？4、已知 求当 时，1nna(1,3,06) 1a1232067?a11第六讲 代数式（二）一、 【能力训练点】：（1）同类项的合并法则；（2）代数式的整体代入求值。二、 【典型例题解析】：1、 已知多项式 经合并后，不含有 的项，225937yxxnymy求 的值。2mn2、当 达到最大值时，
12、求 的值。250(3)ab2149ab3、已知多项式 与多项式 N 的 2 倍之和是 ，求5a3244aN？4、若 互异，且 ，求 的值。,abcxybcaxyZ5、已知 ，求 的值。210m3205m6、已知 ，求 的值。5,6n22n7、已知 均为正整数，且 ，求 的值。,ab1ab1ab8、求证 等于两个连续自然数的积。206102 个 个9、已知 ，求 的值。abc11cabca10、一堆苹果，若干个人分，每人分 4 个，剩下 9 个，若每人分 6 个，最后一个人分到的少于 3 个，问多少人分苹果？三、 【备用练习题】：1、已知 ，比较 M、N 的大小。1ab， 。1ab1abN2、已
13、知 ，求 的值。20x32x123、已知 ，求 K 的值。xyzzx4、 ，比较 的大小。543,5abc,abc5、已知 ，求 的值。20432190第七讲 发现规律一、 【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一” 。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、 【典型例题解析】1、 观察算式： (3)2(15)3(17)4(19)5, , ,357,222 按规律填空：1+3+5+99=
14、 ？，1+3+5+7+ n？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？n3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第 3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第 个图n案中有白色地面砖多少块？4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第 10 个图形中三角形的13个数为多少？第 个图形中三角形的个数为多少？n5、 观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有 1 个点，第二层有3 个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第 n
15、 层有多少个点？（3）某一层上有 77 个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前 4 层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前 12 层的和是多少？6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+100”表示为 ，这里“ ”是求和符号，例如10n“1+3+5+7+9+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示为又如“ ”可表示为 ，同501(2);n33333245678910103n学们，通过以上材料的阅读，请解答下列
16、问题：（1）2+4+6+8+10+100（即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算： = （填写最后的计算结果） 。521()n7、 观察下列各式，你会发现什么规律？35=15，而 15=42-1 57=35，而 35=62-1 1113=143，而 143=122-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。8、 请你从右表归纳出计算 13+23+33+n3的分式，并算14出 13+23+33+1003的值。三、 【跟踪训练题】1 1、有一列数 其中：1234,naa=62+1， =63+2， =64+3， =65+4；则第 个数 = a34ann
17、a，当 =2001 时， = 。n2、将正偶数按下表排成 5 列第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第一行 2 4 6 8第二行 16 14 12 10第三行 18 20 22 24 28 26根据上面的规律，则 2006 应在 行 列。3、已知一个数列 2，5，9，14，20， ，35则 的值应为：（ ） xx4、在以下两个数串中：1，3，5，7，1991，1993，1995，1997，1999 和1，4，7，10，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.3365、学校阅览室有能坐 4
18、 人的方桌，如果多于 4 人，就把方桌拼成一行，2 张方桌拼成一行能坐 6 人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数 1 2 3 n人数 4 6 156、给出下列算式： 48793521322观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：152=225 可写成 1001（1+1）+25252=625 可写成 1002（2+1）+25352=1225 可写成 1003（3+1）+25452=2025 可写成 1004（4+1）+25752=5625 可写成 归纳、猜想得：（10n+5） 2= 根据猜想计算：1995 2= 8、已知 ，计算：
19、161312 nn112+122+132+192= ；9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当 n 是自然数时，代数式 n2+n+41 所表示的是质数。请验证一下，当n=40 时，n 2+n+41 的值是什么？这位学者结论正确吗？16第八讲 综合练习（一）1、若 ，求 的值。5xy523xy2、已知 与 互为相反数，求 。|9|2()xy3、已知 ，求 的范围。|0xx4、判断代数式 的正负。|5、若 ，求 的值。|1abcd|abcd6、若 ，求2|()011()(2)bab(207)ab7、已知 ，化简3x|2|3|x8、已知 互为相反数， 互为倒数，
20、的绝对值等于 2，P 是数轴上的表示,cdm原点的数，求 的值。102abP9、问中应填入什么数时，才能使 |06|06A10、 在数轴上的位置如图所示，,abc化简： |1|1|23|acb11、若 ，求使 成立的 的取值范围。0,ab|xax12、计算：2481632()()()13、已知 ， ，0a20520544b，求 。2066525cac1714、已知 ，求 、 的大小关系。9901,PqPq15、有理数 均不为 0，且 。设 ，求代数,abc0abc|abcxc式 的值。1928x第九讲 一元一次方程（一）一、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元
21、一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析：1、解下列方程：（1） （2）2136x；324x（3） 0.21.570xx2、 能否从 ；得到 ，为什么？反之，能否从()3ab32bxa得到 ，为什么？bxa(2)x3、若关于 的方程 ，无论 K 为何值时，它的解总是 ，36kmxnk 1x求 、 的值。mn4、若 。求 的值。5410(1)xaa 543210aa5、已知 是方程 的解，求代数式 的值。2x7(9)m6、关于 的方程 的解是正整数，求整数 K 的值。x()6k7、若方程 与方程 同解，求 的值。7345x3512246xxm8、关于 的一元一次方
22、程 求代数式x2(1)()80m的值。20()2m9、解方程 2061342067xxx1810、已知方程 的解为 ，求方程 的2(1)3()x2a2(3)()3xa解。11、当 满足什么条件时，关于 的方程 ，有一解；有无ax|5|数解；无解。第十讲 一元一次方程（2）一、能力训练点：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、典型例题解析。1、 要配制浓度为 20%的硫酸溶液 100 千克，今有 98%的浓硫酸和 10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2、一项工程由师傅来做需 8 天完成，由徒弟做需 16 天完成，现
23、由师徒同时做了 4 天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个 0.24 元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了 12 个，剩下的蛋以每个 0.28 元售出，结果仍获利 11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？：4、某商店将彩电按原价提高 40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠” ，结果每台彩电仍可获利 270 元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大 4，个位上的数比百位上的数小192，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4，求原来的三位数？6、初一年级三个班，完成甲、乙
24、两项任务， （一）班有 45 人， （二）班有 50 人，（三）班有 43 人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一） 、 （二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的 2 倍少 36 人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一） 、 （二）两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的 后，用水加满，第二次倒出它13的 后用水加满，这时容器中的酒精浓度为 25%，求原来酒精溶液的浓度。128、 某中学组织初一同学春游，如果租用 45 座的客车，则有 15 个人没有座位；如果租用同数量的 60 座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45 座的客车日租金为每
25、辆车 250 元，60 座的客车日租金为每辆 300 元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？9、 1994 年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是 3838，问到 2006 年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 24 部 A 型抽水机，6天可抽干池水，若用 21 部 A 型抽水机 13 天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部 A 型抽水机抽水？11、狗跑 5 步的时间，马能跑 6 步，马跑 4 步的距离，狗要跑 7 步，现在狗已跑出 55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1 小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？
