1、第二章 质点运动学（习题）2.1.1 质点的运动学方程为求质点轨迹并用图表示。j)1t4(i32r).(,j5it3(r).1解，. 轨迹方程为 y=5yx 消去时间参量 t 得：t4205x2.1.2 质点运动学方程为 ， （1）. 求质点的轨迹；k2jeirtt2（2）.求自 t=-1 至 t=1 质点的位移。解， 消去 t 得轨迹：xy=1,z=2zeyxt2 , ,kjir21k2jeir21)()(12.1.3 质点运动学方程为 ， （1）. 求质点的轨迹；（2）.jtir342求自 t=0 至 t=1 质点的位移。解，. 消去 t 得轨迹方程,y,tx22)3y(x j2i4r,j
2、5ir,0110 2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为，0.75s 后测得117.,m4R均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的21022 R,39近似值和飞行方向（ 角） 。解，代入数值得：)cos(R221121)m(385.494.00)/(.67tv利用正弦定理可解出 08932.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为（长度 mm） 。第一次观察到圆柱体在20/xyx=249mm 处，经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解， ms/6.1925.361t)y(xrv2052.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m。另一人在广
3、州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km，收听者离收音机 2m，问谁先听到声音？声速为340m/s,电磁波传播的速度为 。s/10.38解， 12831t)s(6.40.)(57在广州的人先听到声音。2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据） 。解， vst2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶，3min后以 70km/h 速率向北偏西 方向行驶。求列车的平均加速度。03解， 00220012 9.4,765sin,3i.9)/m(7)h/k(8tv
4、aj3coi,s,j2.2.6（1） R 为正常数。求 t=0,/2 时的速,tjitcr度和加速度。 （2）求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式） 。,kj.4it3解：（1） jtsincoRdtva,r当 t=0 时，0a,R,2v ikjzyx当 t=/2 时， 0a,0a,2vv j ,kizyx（2） j9dtva,kt18i3r6j5.4t232当 t=0 时， ,j ,i3v当 t=1 时， ,k36j9a ,k18j9i 2.3.1 图中 a、b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原
5、点的时刻） 。解，a 直线的斜率为速度 )s/m(732.10tgdxv,t0)s(547.13/20|t,6g|t20,xx0x b 直线的斜率为速度 )s(.175/|t,30|1)m(.vxxc 直线的斜率为速度 )s(2|t,4g0x2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等） 。解， )tcos(a,2invx质点受力 ，是线性恢复力，质点mxtsF做简谐振动，振幅为 a，运动范围在 ，速度具有周期性。a2.3.3 跳伞运动员的速度为v 铅直向下，、q 为正常量。求其加速度。讨论当时间
6、足,e1t够长时（即 t） ，速度和加速度的变化趋势。解，2qt 2qtqtt)e1()e1(dva0a,v2.3.4 直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为 ，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至h/km80x=1.5km 时加速度的大小。解，x52sinv10x5cosvsin5dta,cv00 )/m(74. )h/k(67.9318a22.3.5 在水平桌面上放置 A、B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。C 点与桌面固定。已知物体 A 的加速度，求物体 B 的加速度。g5.0aA解，以 C 为坐标原点，建立一维坐标系 o-x。设绳的总长度为
7、 ，B 的坐标为，A 的坐标为 ，则得BxA两端对 t 求导43g835.0a,0a4 ,dtAB BA2B22.3.6 质点沿直线的运动学方程为 。2t1x（1）将坐标原点沿 ox 轴正方向移动 2m，运动学方程如何？初速度有无变化？（2）将计时起点前移 1s，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？解， （1） 2t30x，代入上式得：, ,t10 22初速度不变。xv ,6dt（2） 2310x代入上式得：,7t43)1(0x22初坐标 由 0 变为-7m.m,初速度由 10m/s 变为 4m/s.6vx加速度不变，都是 .2s/以下四题用积分2.4.1 质点由
8、坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后 6s 时/ct2a2x质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：（1）初速度 ；0v（2）初速度 的大小为 9cm/s,方向与加速度方向相反。解， （1） ，t0xxxdav,td2v2t0x，t0xdx,t31t02当 t=6s 时，, ,)cm(72x6)cm(72质点运动的路程： s(2) ,9td9v2t0x,31)t(02当 t=6s 时，, ,)cm(18x6 )cm(180x,3t,v9tv2x质点运动的路程如图， ，t931x18x,6tx,3质点运动的路程： )cm(542s2.4.2
9、 质点直线运动瞬时速度的变化规律为求 至 时间内的位移。.tinvx 31t2解， ，t1tdsinx)m(8.cos5(3|codi5353122.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为在 t=0 时， 其中 均为正常数，.tAa2x,Ax0v、求此质点的运动学方程。解， ，t0xx0x dav t0t2x tsinA)t(cosA，t0xdvtcos|tcosinx0t2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0 时速度为且坐标为 x=0.假设其加速度为 ，b=常量，求此质点的运0v2xxbva动学方程。解， ，t0v2x2xx d,dt,bdt0,)1v(
10、0x，t0xdvx )1tbvln(|)1tbvln(0t00t0t0 解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和-20cm/s 2的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s2的加速度下坡。问（1）经过多长时间两人相遇；（2）两人相遇时，各走过多少路程。解，建立坐标系 o-x,原点为质点 1 的初始位置。对上坡的质点 1:t=0,v10=5m/s, x10=0, a1=-0.2m/s2,对下坡的质点 2:t=0,v20=-1.5m/s,x20=195m, a2
11、=-0.2m/s2,相遇时，x 1=x2,所需时间设为 t，则 ,ta21vxtv02110 )s(3t .t5.9.252质点 1 的速度表达式为： t.av101，所以质点 1 的路程为两段路程之和，如图所式。,0v前 25s 的路程：后 5s 的路程： )m(65.2s.01),(512质点 2 的路程：195-62.5+2.5=135(m)2.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开动后经过t=24s，第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。解，,24a,t1设火车第六节末尾经过此人的时间为 t6，火车第七节末尾
12、经过此人的时间为 t7，,a217,t6726)s(1.4)6(t ,72/t,4/6776 2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样的速率 v0上抛二石子，但在高处的石子早 t0秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。解，20020 )t(g1)t(vgt1h解出 t 得： ，0将 t 代入 ，得2gt1vy)4h(210202.4.8 电梯以 1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解，建立基本坐标系 o-x,原点固结在地面上，建立运动坐标系 原点xo固结在电梯的地板。小孩相对运动参照系 （电梯）跳起到落回地板所需时
13、间设为xot，则 解出 td 得，,)2t(g1h这段时间电梯下降的距离为 , s)m(638.0.951gvs0 2.5.1 质点在 o-xy 平面内运动，其加速度为位置和速度的初始条件为 t=0 时,jtsincoa，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分） 。r,jv解，由 得,i初始条件：,tcsx tsayt=0 时,v 0x=0,v0y=1,x0=1,y0=0,t0xx0x dav tsintdcovt0,tyy ci1,t0x ttst0,tydvincottsinco,ja轨道方程： 1yx22.5.2 在同竖直值面内的同一水平线上 A、B 两点分别以 300、60 0为发射
14、角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A、B两点的距离。已知小球在 A 点的发射速率 .s/m89v解，,AB2/R/,HABA,30sing2v,60B02A3sigv,si02，022B6inAR),3s(gvB,i02 )60sin123(g260siv)0sivi2A 2B0AB)m(38.2)60sin1(g2siv20A2.5.3 迫击炮弹的发射角为 600,发射速率 150m/s.炮弹击中倾角 300的山坡上的目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离 OA.解， )1,.(xvg23y,costA0A20由几何关系： )3.(O2130sinycoxA0
15、将(2)、(3)式代入(1)式)m(103.5gv2OA)(2020， 舍 去2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成 俯冲时，在 763m 高度投放炸弹，炸弹0离开飞机 5.0s 时击中目标。不计空气阻力。 （1）轰炸机的速率是多少？（2）炸弹在飞行中经过的水平距离是多少？（3）炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？解，以投放炸弹处为坐标原点（1）,gt2153cosvy00,t53cosgyv020)/m(9.28.97600（2） ),(1.8761tsinx0 （3） )s/(.gt5cosv,7i00yx 2.5.5 雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，靠他得
16、到这样的信息：（1）抛射体达到最大高度且以速率 v 沿水平方向运动；（2）观察者到抛射体的直线距离为 ；（3）观测员观察抛体的视线与水平方向成 角。问：（1）抛射体命中点到观察者的距离 D 等于多少？（2）何种情况下抛体飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员以前就命中目标？解， （1） ，2gt1sinH，命中点，g2tgsin2vx00命 中 点观测者 cosx观 察 者抛射体命中点到观察者的距离 cosgin2vD0观 察 者命 中 点（2）当 ，飞越观察者的头顶击中目标，即观 察 者命 中 点 xcosgsin2v0si0当 ，抛体在未达到观测员以前就命中目标，即观
17、 察 者命 中 点 xsin2gcov02.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为 （长度：m 时间：s） 。t=0 时，列车在2t80图中 o 点，此圆弧形轨道的半径 r=1500m.求列车驶过 o 点以后前进至1200m 处的速率及加速度。解，采用自然坐标系，o 为自然坐标系的原点。由 得2t80s， ，dv 2dtva当 s=1200m 时，由 得2t80s ,t8012（舍去）因为当 t=60 时，,20t,6408v当 ，即列车驶过 o 点以)s/m(2,后前进至 1200m 处的速率为 40m/s.过 o 点以后前进至 1200m 处的加
18、速度： )s/(dtva2 )/(067.154r22n ),s/m(.2222n可以算出 与 的夹角为 1520。av2.6.2 火车以 200km/h 的速度驶入圆弧形轨道，其半径为 300m。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为 2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？解， ,g2atv0，R)gt2v(a0n,2402由上式可见 t=0 时（刚进入圆弧形轨道时） ，a 最大。代入数值得,vg4a240mx )s/m(1.23)60/1(8.9224ax 47tg0n12.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为 150m，斗车
19、速率为 50km/h,切向加速度a =0.4g.求斗车的加速度。解，,Rva,g4.02n )s/m(16.22n0n16.8atg加速度与水平方向的夹角 000432.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南，与正西夹 150角，风以 100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹450角，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速度。解，基本参照系：地面运动参照系：风研究对象：飞机绝对速度： ，相对速度： ，牵连速度：机 地v机 风v风 地v= +机 地 机 风 风 地（1）,15sinv3si00风 地机 风 ）（风 地机 风 s/m9.7v0（
20、2）,15siv3i00风 地机 地 ）（风 地机 地 s/7.3nv02.8.2 飞机在静止空气中的飞行速率是 235km/h，它朝正北的方向飞行，使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于 70km/h 的风，但飞机仍能以235km/h 的速率沿公路方向飞行。 （1）风的方向是怎样的？（2）飞机的头部指向哪个方向？也就是说，飞机的轴线和公路成怎样的角度？解，基本参照系：地面运动参照系：风研究对象：飞机绝对速度： ，相对速度： ，牵连速度：机 地v机 风v风 地v= +机 地 机 风 风 地 ,1489.0235sin7.80817002
21、.8.3 一辆卡车在平直路面上以恒定速率 30m/s 行驶，在此车上射出一抛体，要求在车前进 60m 时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解，以卡车为参照系，以起抛点为坐标原点，建立直角坐标系 o-xy,如图所示。以抛出时刻为计时起点。 ,ga,0yx.gt21vdt)gv(y,x,tt,vy0t0yx0txy0ty0xsin,cos0y0x0得： .gt21iv,tv00 由已知， 代入0y,x)s(36时 ， )s/m(8.9v2,2in,0co1).(gsi0,1,.2c2） 得由 （ ） 得由 （表明：抛射体相对卡车以 9.8m/s
22、的速率竖直上抛时，当卡车前进了60m，抛体落回抛射点。2.8.4 河的两岸互相平行，一船由 A 点朝与岸垂直的方向匀速行驶，经10min 到达对岸的 C 点。若船从 A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸 B 点，需要 12.5min。已知 BC=120m.求（1）河宽， （2）第二次渡河时船的速率 u， （3）水流速度 v解，第一次)2,.(tBCv)1,.(tv11水 岸船 水 第二次 3.sinsin 船 水船 水船 岸 ）（船 水水 岸 4.cov)5(t2船 岸由（1）式得 1t船 水由（3） （5）得 2tsinv船 水021.53,8.0tsin由（2） （4）得由（1
23、）)s/m(31.5cos602costBCv ,011 船 水 船 水式)(3船 水 )s/(2.0.csv船 水水 岸2.8.5 圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图。某瞬时汽车甲向东以 20km/h 的速率行驶；汽车乙在 的位置向东北方向以速率0320km/h 行驶。求此瞬时甲车相对乙车的速度。解，基本参照系：地面运动参照系：乙车研究对象：甲车。 甲 乙乙 地甲 地 vv)s/m(56.h/k20甲 乙(东偏南 )30第三章 动量定理及动量守恒定律（思考题）3.1 试表述质量的操作型定义。解答，kgvm0式中 （标准物体质量）10：为 m 与 m0碰撞 m0的速度改变v：为 m 与 m0碰撞 m 的速度改变这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。3.2 如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？解答，由动量守恒 )p(p ,p212121 t21取极限 d21动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。 ,am)v(tpF1111
