1、1两角和与差的正余弦、正切公式_一、 两角和的余弦公式： 的推导：sincos)cos(复习：两点间的距离公式：设 ， ),(1yxP),(2yx 221211()()Pxy推导过程：由三角函数定义知：， , ， (1,0)A(cos,in)B(cos),in()C，cosi)D由已知： ; OCDAB设角 、角 为任意角如左图在平面直角坐标系 中xoy作 ,AOBC则 作单位圆，设角 、角 的终边分别与单位圆交于点 B，点 C再作 DOAB22 22cos()sini()cos()1sin()2展开并整理得: 2(cossin)2cs()inco)上述公式称为两角和的余弦公式记为 ():Cs
2、incos)cos(二、两角和与差的正弦公式：sin(+)=cos -(+)=_2sin(-)=sin+(-)=_3、两角和与差的正切公式：当 cos(+)0 时，tan(+)=_如果 coscos0,即 cos0 且 cos0 时,分子、分母同除以 coscos 得tan(+)= ，据角 、 的任意性，在上面的式子中， 用- 代之，则有)tan(1tan(-)= .tan1t)t(t cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.3tan(+)= ,tan1ttan(-)= .tt4、 公式汇编：1两角和与差的三角
3、函数；sincosin)si(；cco。tattan()1n2二倍角公式；cosisi；2222 sin1csico 。2tanta13三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；三角公式的逆用；切割化弦，异名化同名，异角化同角等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式； ； 。2sin1cosin2cos1sin22cos1cs2（2）辅助角公式，2i iaxbabx= 公式的推导：22sncosa其 中 ， cos2ab222i incosaxbbxx 令 ，则 ，于是有：2cos
4、sia2 222sinincossincosinbaxbbxxabxxa si4其中 由 ， 和 共同确定2cosab2sinbatab类型一：正用公式例1.已知: 41cos,32sin，求 cos()的值.举一反三：【变式 1】已知 (,0)2x， s5x，则 tan2x .【变式 2】已知 tan4，则 t .【变式 3】已知 和 t是方程 260x的两个根，求 tan()的值.【高清课堂：三角恒等变换 397881 例 1】【变式 4】某同学在一次研究性学习中发现 ,以下五个式子的值都等于同一个常数 .(1) 22sin13cos7in3cos7(2) 515(3) 22si8csi8
5、cs2(4) n(1)o4n()o48(5) 22si5csi5cs 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.例 2已知 34， 12cos()3, 3sin()5，求 sin2的值.举一反三：【变式 1】已知 3sin5， 是第二象限角，且 tan()1，求 tan2的值.【变式 2】函数 2i(70)2cos10yxx的最大值为（ ）A B 4 C D 3【变式 3】已知 cos()cs2.12521且5【变式 4】已知 43， 40， 53)cos(， 135)4sin(，求sin()的值。类型二：逆用公式例 3.求值：
6、（1） sin43co1s43in1；（2） 6ix；（3） ta5； （4） 44(sinco8sin7co98)(sin730cos).举一反三：【变式 1】化简 i163i2i5i1.【变式 2】已知 s()cs()s5，那么 cos2的值为（ ）A 725 B 8 C 7 D 82例 4. 求值：（1） cos36；（2） 73coscos举一反三：【变式】求值：（1） cos204cos80；（2） sin103sin507.类型三：变用公式例 5求值：（1）000tant3ta4；（2）（2）0()(1n2)()(1tan)举一反三：【变式 1】求值： tttt3= 【变式 2】在
7、 ABC中， aBC,3tan1n，试判断 A的形状.类型四：三角函数式的化简与求值例 6. 化简：（1） sin50(3tan10)；(2）2cos1tan()i()4【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。6三角变换中一般采用“降次” 、 “化弦” 、 “通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：21coscs， 21cosin.举一反三：【变式 1】化简：（1） tan5cot1；（2） 13sin0i8； （3） 001tancos5【变式 2】若 3s
8、，且 (,)2，则 ta_.【答案】由 c5， ，得 24si1s，23sinico5ta2sinco.例 7已知 1tan()， 1tan7，且 ,(0,)，求 2的值.举一反三：【变式 1】已知 t,t73， ,为锐角，则 的值是（ ）A. 4 B. 5 C. 4或 5 D. 【变式 2】已知 2)sin(， 51)sin(，求 tan。一、选择题1cos75cos15sin435sin15 的值是( )A0 B12C D32 122在ABC 中，若 sinAsinBcosAcosB，则ABC 一定为( )A等边三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形3化简 sin(xy )sin(
9、xy )cos(xy)cos( xy)的结果是( )Asin2x Bcos2yCcos2x Dcos2 y4sin15cos75 cos15sin105等于( )7A0 B12C D1325sin cos 的值是( )12 3 12A0 B 2C D226ABC 中，cosA ，且 cosB ，则 cosC 等于( )35 513A B3365 3365C D6365 6365二、填空题7若 cos ， (0， )，则 cos( )_.15 2 38已知 cosxcosy ，sinxsin y ，则 cos(xy)_.14 13三、解答题9已知 sinsinsin，coscos cos .求证
10、：cos() .12_基础巩固1若 sin xcos x 4m，则实数 m 的取值范围是( )3A2m6 B.6m6C2m6 D.2m 42. 的值是 ( )2cos 10 sin 20sin 708A. B. 12 32C. D.3 23(2012齐齐哈尔高一检测)若 cos( ) ，cos 2 ，并且 、 均为锐角，且55 1010，则 的值为( )A. B. 6 4C. D.34 564cos 15sin 15_.5(2012成都高一检测 )若 cos ， ，则 cos _.1213 (，32) ( 4)6已知 ， ，sin ，sin ，则 cos _.(34，) ( ) 35 ( 4)
11、 1213 ( 4)7已知：sin ，cos() ，0 ， ，求 cos 的值35 45 2 32能 力 提 升8(2012蚌埠高一检测 )若 sin x cos xcos(x) ，则 的一个可能值为12 32( )A B. 6 3C. D.6 39已知 cos ，则 cos sin 的值为_(3 ) 18 310已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，| ab| ，求 cos()255能力提升一、选择题1. 已知 (,0)2x， 4cos5x，则 x2tan（ ）9. 247 B. 247 C. D. 7242. 函数 3sincos5yx的最小正周期是（ ）. 5 B
12、. 2 C. D. 23. 在BC 中， cossinAB，则ABC 为（ ）. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定4. 设 00in14a， 00i16cosb， 62,则 abc大小关系（ ）. bc B. a C. D. 5. 函数 2sin()os2()yxx是（ ）. 周期为 4的奇函数 B. 周期为 4的偶函数C. 周期为 2的奇函数 D. 周期为 2的偶函数6. 已知 cos3，则 44sinco的值为（ ）. 18 B. C. 97 D. 1二、填空题1. 求值： 000tan2t43tan24_. 2. 若 18,t则 1cos .3. 已知 sin,23那么 in的值为 , cos2的值为 . 4. ABC的三个内角为 A、 B、 C，当 为 时， cos2BCA取得最大值，且这个最大值为 . 三、解答题1. 已知 sinsin0,coscos0,求 cs()的值. 若 ,2i求 的取值范围. 102. 求值：001001cos2in(ta5tn)i3. 已知函数 .,2cos3sinRxxy求 取最大值时相应的 的集合；该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 )(sinRxy的图象. 课 程 顾 问 签 字 ： 教 学 主 管 签 字 ：
