1、Key. 四点共圆的证明 五个基本判断方法： 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆。3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。,1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆 。,如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上,分析指导
2、：利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半，再利用菱形的四边相等即可证出。,2.若一个四边形的一组对角互补（和为180），则这个四边形的四个点共圆,若A+C=180或B+D=180，则点A、B、C、D四点共圆,已知：四边形ABCD中，A+C=180 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆,证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得A+DCB=180， A+C=180DCB=C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
3、,3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。,若B=CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上,例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点共圆。,分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。 由此，连接 EF 构成四边形 EFCD 后，证明BFE = D 即可。 证明: 连接 EF， 四边形 ABFE 是圆内接四边形， A + BFE = 180。 又 四边形 ABCD 是平行四边形， A + D = 180。
4、BFE = D。 C、D、E、F 四点共圆,4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。,若A=D或ABD=ACD，则A、B、C、D四点共圆,用反证法： 已知：同侧ABC和CBD，共有底边CB，A=D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明： 假设四点不在同一圆上， 作ABC外接圆，则D点不在圆上， 因二角共用AB弧，则AD， 与实际不符， 所以只有D点在ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。,5.同斜边的直角三角形的顶点共圆 如图1，四边形ABCD中，A=C=90，求证：A、B、C、D四点共圆.如图2，A=C=90，求证：A、B、C、D四点共圆.分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。,
