1、 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2) 求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。直接法：利用常见函数的值域来求；(1)一次函数 ykxb(k0)的定义域为 R；值域为 R .（2）反比例函数 的定义域为 x|x 0，值域为 y|y 0；)0(kx（3）二次函数 的定义域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；y4|2当 a0 时，值域为 。ac|配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2nmxcbxf分式转化法（或改为“分离常数法” ）：
2、爸原式化成 的形式；cbxday换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、 “无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，yx得出 的取值范围；常用来解，型如： ；y ),(,nmdcba基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； 9 0kx三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角
3、函数有界性来求值域.10【例】求下列函数的值域：（1） ； （2） ； （3）23yx312xy； 4（4） ； （5） ； （6）|1|4|yx21xy； 265（7） ； （8） ； （9）21yx21()xysin2co解：（1） （配方法） ， 的值域22133()6yxx23yx为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3,)改题：求函数 ， 的值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2x,3解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，2y,3当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1x4函数 ，
4、的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23y1,3x,（2） （法一）分离变量法： ，()732xy ， ， 函数 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j70x732x2y|3yR（法二）反函数法： 的反函数为 ，其定义域为 ，1y13x|原函数 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jx|R（3）换元法（代数换元法）：设 ，则 ，0t2t原函数可化为 ， ， 原函数值域为2214()5()ytt5y 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,5说明：总结 型值域，变形： 或axbcd22yaxbcd2yaxc（4）数形结合法
5、： ，23(4)|1|4|51xyxx ， 函数值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5y,)（5）判别式法： 恒成立，函数的定义域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j20xR由 得： 21y2()(1)20yxy当 即 时，即 ，20y30x0xR当 即 时， 时方程 恒有实根，R2()(1)20yxy ， 且 ， 原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22(1)4()yyA15,5（6）求复合函数的值域： 设 （ ） ，则原函数可化为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j26x0又 ， ，故 ，2265(3)4xx40
6、, 的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jy0,（7）三角换元法： ，设 ，cos,x则 ， ， ，cosinsi()4y0,54，2in(),14 ， 原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jsi, ,（8）不等式法： ，21()11222xxyxx ， ， ，12x0112()2xx当且仅当 时，即 时等号成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12x2x ， 原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jy,)（9） （法一）方程法：原函数可化为： ，sinsx （其中 ） ， 21sin()12yxy22co,in11yy，2i(),y ， ， ， 原函数的值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2|1|y2340y43y 40,3【练习 1】：（1）求函数 的值域.； （2）求函数 的值域.)5(2xx 5xy；（3）求函数 的值域.； （4）求函数132xy的值域.2xy答案（1）配方法：-12,3；（2）分离常量法： ；45,yR且（3）判别式法： ；（4）换元法： 。310,2,815
