1、函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例 1、求函数 的定义域。83152xy解：要使函数有意义，则必须满足 即083152x153x且或解得 135x且或即函数的定义域为 。5且或二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。（一）已知 的定义域，求 的定义域。)(xf)(xgf其解法是：已知 的定义域是 求 的定义域是解 ，即,ba)(
2、f bxga)(为所求的定义域。例 2、已知 的定义域为 ，求 的定义域。)(xf2,)1(2xf解： ， ，解得1x3即函数 的定义域为)1(2xf3x（二）已知 的定义域，求 的定义域。g)(f其解法是：已知 的定义域是 求 的定义域的方法是： ，)(xf ,ba)(xf bxa求 的值域，即所求 的定义域。)(xg例 3、已知 的定义域为 ，求 的定义域。)12(xf 2,1)(xf解： ， ， 。453即函数 的定义域是 。)(f|x三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 ,R求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 4、已知函数
3、的定义域为 求实数 的取值范围。862mxy Rm分析：函数的定义域为 ，表明 ，使一切 都成立，由R02x项的系数是 ，所以应分 或 进行讨论。2xm0解：讨论：当 时，函数的定义域为 ；0当 时， 是二次不等式，其对一切实数 都成立的充862x x要条件是 0)(4)(2m1m综上可知： 。10评注：不少学生容易忽略 的情况，希望通过此例解决问题。例 5、已知函数 的定义域是 ，求实数 的取值范围。347)(2kxxf Rk解：要使函数有意义，则必须 恒成立，0因为 的定义域为 ，即 无实数解)(xfR2讨论：当 时， 恒成立，解得 ；0k3416k43k当 时，方程左边 恒成立。0综上得
4、： 的取值范围是 。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例 6、将长为 的铁丝折成矩形，求矩形面积 关于一边长 的函数的解析式，并求ayx函数的定义域。解：设矩形一边为 ，则另一边长为 于是可得矩形面积。x)2(1xa。axy21)(2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。0)2(1xa02xa2ax故所求函数的解析式为： ，定义域为 。y1),0(五、含参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例 7、已知 的定义域为 ，求函数 的定义域。)(xf1,0 )()()axffxF解：因为的定义域为 ，即 。故函数 的定义域为下列不等式组的,解集： ，即10axax1即两个区间 与 的交集，比较两个区间左、右端点：,（1）当 时， 的定义域为 ；2)(xFax1|（2）当 时， 的定义域为 ；10aa|（3）当 或 时，上述两区间的交集为空集，此时 不能构成函数。 )(xF
