1、人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（SSS）,掌握“边边边”公理，并熟练运用它证明两个三角形全等； 能运用“边边边”公理解决简单的实际问题； 经历探索三角形全等过程。,学习目标,知识回顾,1. 什么叫全等三角形？,能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。,2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等,知识回顾,即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。,六个条件，可得到什么结论？,一个条件可以吗？,有一条边相等的两个三角形,不一定全等,探究活动,2. 有一个角相等的两个三角形,不一定全等,结论：,有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
2、,有两个条件对应相等不能保证三角形全等.,不一定全等,有两个角对应相等的两个三角形,两个条件可以吗？,3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形,2. 有两条边对应相等的两个三角形,不一定全等,不一定全等,结论：,探究活动,两个条件 两角； 两边； 一边一角。,结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。,一个条件 一角； 一边；,你能得到什么结论吗？,三个条件呢？,探究活动,三个角；,2. 三条边；,3. 两边一角；,4. 两角一边。,如果给出三个条件画三角形， 你能说出有哪几种可能的情况？,结论: 三个内角对应相等的三角形不一定全等。,探究活动,有三个角对应相等的两个三角
3、形,三个条件呢？,若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？,画一个三角形，使它的三边长分别为4cm,5cm,7cm.,三边对应相等的两个三角形会全等吗？,画法：,1. 画线段AB=4cm；,2. 分别以A、B为圆心，5cm、 7cm 长为半径作圆弧，交于点C；,3. 连结AB、AC；,ABC就是所求的三角形.,动手试一试,探究活动,三边相等的两个三角形会全等吗？,画法：,动手试一试,探究活动,A,B,C,结论,三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。,用上面的结论可以判定两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等,三边对应相等的两个三角形全等.
4、 (简写成“边边边”或“SSS”),如何用符号语言来表达呢?,结论, A = _B = _C = _, ABC ADC（SSS）,例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证：ABC ADC,AC,AC ( ),AB=AD ( ) BC=DC ( ),证明：在ABC和ADC中,=,已知,已知,公共边,判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。,分析：要证明 ABC ADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。,结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。,归纳：,准备条件： 证全等时要用的间接条件要先证好；,三角形全等书写三步骤：,写
5、出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,例2 如图，ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： ABDACD.,A,B,C,D,应用迁移，巩固提高,(1),(2)BAD = CAD.,（2）由（1）得ABDACD ， BAD= CAD.（全等三角形对应角相等）,例、已知：AOB，求作：AOB，使AOB=AOB,O,A,B,C,D,O,A,B,C,D,作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； 2、画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； 3、以点C为圆心，CD长为半径画弧，
6、与第2步中所画的弧交于点D； 4、过点D画射线OB。 则AOB即为所求。,工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？,练习,课 本 P8,（全等三角形对应角相等）,（已知）,（已知）,（公共边）,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,解：要证明ABC FDE， 还应该有
7、AB=DF这个条件,AD=FB AD+DB=FB+DB即 AB=FD,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。,证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD,练一练,ACE,ADBADC,BC=ED,ACD,(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；,(2)证明三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,2
8、.证明三角形全等的步骤：,1. 三边对应相等的两个三角形全（边边边或SSS）；,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（SAS）,领会“边角边”判定两个三角形的方法； 经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题； 培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值。,学习目标,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角
9、一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,继续探讨三角形全等的条件：,两边一角,思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？,图一,图二,在图一中， A,是AB和AC的夹角，,符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。,符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”,结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等,？,思考： ABC与ABC 全等吗？,画法: 1.画 DAE= A；,2.在射线AD上截取AB=AB,在射线 AE上截取AC=AC;,3. 连接BC.,A,C,B,A,E,C,D,这两个三角形全等是满足哪三个条件
10、？,B,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,练习：,1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立,在AOB和DOC中A0=DO（已知）,=,（对顶角相等）,BO=CO（已知）, AOBDOC( ).,AOB,DOC,SAS,（已知）,A=A（公共角）,=,A,D,C,B,E,AECADB ( ).,2.在AEC和ADB中,AB,AC,AD,AE,SAS,注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。,探索边边角,两边及其中一边的对角
11、对应相等的两个三角形全等吗?,已知：AC=10cm,BC=8cm, A=45 .,ABC的形状与大小是唯一确定的吗?,探索边边角,SSA不存在,显然： ABC与ABC不全等,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？,两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；,两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等, 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？,SSS, SAS,如图，去修补一块玻璃，问带哪一块玻璃去可以使得新玻璃与原来的完全一样？,分析：带去，可以根据SAS得到与原三角形全等的一个三角形.,例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A
12、和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离为什么？,证明：在ABC 和DEC 中，, ABC DEC（SAS） AB =DE （全等三角形的对应边相等）,证明:在ABC与BAD中,AC=BD CAB=DBA AB=BA,ABCBAD（SAS）,(已知),(已知),(公共边),BC=AD (全等三角形的对应边相等）,可以看出，因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常通过证明这两个三角形全等来解决。,例2、如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=A
13、D吗？,变式1: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:C=D,变式2: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:A=B,A,D,C,B,如图，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？,证明:依题意得在ABC与ABD中,AB=AB,(公共边), BAC= BAD=90,AC=AD,(已知),ABCABD（SAS）,BC=BD (全等三角形的对应边相等）,两直线平行， 内错角相等,例2：点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF求证（1）AFDCEB,分析：证三角形全等的三个条件,A=C,边 角 边,AD / BC,AD
14、= CB,AE = CF,AF = CE,？,（已知）,证明：,AD/BC, A=C,又AE=CF,在AFD和CEB中，,AD=CB,A=C,AF=CE,AFDCEB（SAS）,AE+EF=CF+EF 即 AF=CE,摆齐根据,写出结论,指范围,准备条件,(已知）,(已证）,(已证）,（两直线平行，内错角相等）,1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？,边角边（SAS）,2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？,SSS、SAS、,注意哦！,“边边角”不能判定两个三角形全等,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（ASA、AAS）,掌握三角形全等的“角边角”“角
15、角边”判定方法；能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。,学习目标,回首往事： 1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判断三角形全等至少要有几个条件？,答：至少要有三个条件,边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。,边角边公理：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。,49/27,A,B,D,A,B,C,SSA不能判定全等,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,SAS,继续探讨三角形全等的条件：,两角一边,思考：已知一个
16、三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？,A,B,C,A,B,C,图1,图2,在图1中， 边AB是A与B的夹边，,在图2中， 边BC是A的对边，,我们称这种位置关系为两角夹边,我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。,已知ABC，画一个A B C ，使A B =AB , A = A， B = B,结论:全等三角形的判定方法2：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).,探索,？,观察：A B C 与 ABC 全等吗？怎么验证？,画法: 1.画 A B =AB；,2.在A B 的同旁画DA B = A ,EB A = B, A D、B E交于点C,A,E,D,C
17、,B,思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？,如何用符号语言来表达呢?,证明:在ABC与A B C 中,A=A AB=A B,ABCABC（ASA）,A,C,B,B=B,两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).,例1 、AB=AC,B=C,（1）那么ABE 和ACD全等吗？为什么？（2）求证：AD =AE,证明: （1）在ABE与ACD中B=C （已知）AB=AC （已知）A= A （公共角） ABE ACD （ASA）,2、例题学习：,（2）ABE ACD（ASA）AE =AD,帮帮我,小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一
18、样的三角形玻璃呢?如果可以,带哪块去合适呢?为什么?,(2),(1),C,B,E,A,D,利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。,(2),如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？,探究,如下图，在ABC和DEF中,A D, BE, BCEF, ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, 在ABC和DEF中, BE, BCEF, CF, ABC DEF
19、（ASA）,用数学符号表示:,两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。,探究反映的规律是：,例2.已知，如图，1=2，C=D求证：AC=AD,证明：,例题示范，巩固新知,两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”,（ASA）,归纳,思,考,？,“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话对吗。,如图：已知ABDE，ACDF，BE=CF。求证：ABCDEF。,考考你,证明： BE=CF(已知),BC=EF(等式性质),B=E,在ABC和DEF中
20、,BC=EF,C=F,ABCDEF（ASA）, ABDE ACDF (已知), B=DEF , ACB=F,证明： DAB =EAC， DAC =EAB. AEBE，ADDC， D =E =90.在ADC 和AEB 中,如图，AEBE，ADDC，CD =BE，DAB =EAC求证：AB =AC, ADC AEB（AAS） AC =AB,练 习,已知: 如图B=DEF, BC=EF, 求证:ABC DEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ； (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件 ； (3)若要以“SSS” 为依据，还缺条件 ;,ACB= DEF,AB=DE、AC=DF,(4)若要以“A
21、AS” 为依据，还缺条件；,A= D,1、边边边 (SSS),3、角边角 (ASA),4、角角边 (AAS),2、边角边 (SAS),16在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； (2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； (3)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明,67/27,小结,(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.,简写成“角边角”或“ASA”.,(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两
22、个三角形全等.,简写成“角角边”或“AAS”.,知识要点：,（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），角相等（对应角相等）等问题的基本途径。,数学思想：,要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（HL）,探索并理解“HL”判定方法；会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等。,学习目标,回 顾 与 思 考,1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。,SSS,ASA,AAS,SAS,3、如图，AB BE于B，DE BE于E，,2、如图，Rt ABC中，直角边 、 ，斜边 。,BC,AC,AB,（1）若 A= D，AB=
23、DE， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”） 根据 （用简写法）,全等,ASA,（2）若 A= D，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,AAS,全等,（3）若AB=DE，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,全等,SAS,（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,全等,SSS,72,如图，ABC中， C =90，直角边是_、_，斜边是_。,我们把直角ABC记作RtABC。,AC,BC,AB,以上的四种判别三角形全等的 方法能
24、不能用来判别Rt全等呢？,思考：,如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.,（1）你能帮他想个办法吗？,方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS),方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS), 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？,工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？,下面让我们一起来验证这个结论。,做一做,已知线段a、c(ac)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C= ，CB
25、=a，AB=c.,想一想，怎样画呢？,按照下面的步骤做一做：, 作MCN=90;, 在射线CM上截取线段CB=a;, 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;, 连接AB., ABC就是所求作的三角形吗？, 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？,斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。,数学语言：,在RtABC和RtABC中,（HL）,BC=BC,归纳概括“HL”判定方法,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。,简写成“斜边、直角边”或“HL”,前提,条件1,条件2,证明： ACBC，BDAD， C
26、=D =90 在RtABC 和 RtBAD 中，AB =BA，AC =BD， RtABC RtBAD（HL） BC =AD（全等三角形对应边相等）,“HL”判定方法的运用,例 如图，ACBC，BDAD，AC =BD求证：BC =AD,答：ABC +DFE =90,例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角ABC 和DFE 的大小有什么关系？为什么？,证明：ACAB，DEDF，CAB 和FDE 都是直角.在RtABC 和 RtDEF 中，, RtABC RtDEF（HL）, ABC =DEF（全等三角形对应角相等） DEF +DFE
27、 =90 ABC +DFE =90,如图，在 ABC 中，BDCD， DEAB， DFAC，E、F为垂足，DEDF，求证： (1)BEDCFD,(2)求证：ABC是等腰三角形。,(2)证明 ：,BEDCFD B=C AB=AC,已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABCDEF,A,B,C,P,D,E,F,Q,BAC=EDF, AB=DE,B=E,分析： ABCDEF,RtABPRtDEQ,AB=DE,AP=DQ,证明：AP、DQ是ABC和DEF的高APB=DQE=90在RtABP和RtDEQ中,AB=DE,AP=DQ,RtABP
28、RtDEQ (HL) B=E 在ABC和DEF中,BAC=EDFAB=DE B=E,ABCDEF (ASA),已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求证：ABCDEF,已知，如图，ACBC，BDAD. （1）已知CAB= DBA，求证：BC=AD. （2）已知AC=BD，求证：BC=AD.,证明： （1）ACBC,BDAD， D=C=90. 在ABC和BAD中，D=C，CAB= DBA，AB=BA，ABCBAD(AAS).BC=AD.,（2）ACBC,BDAD，D=C=90. 在RtABC和RtBAD中，AB=BA，AC=BD，Rt
29、ABCRtBAD(HL).BC=AD.,证明：AEAB，BCAB， EAD=ABC=90. 在RtEAD和RtABC中，ED=AC，EA=AB， RtEADRtABC (HL). AED=BAC. EAF+BAC=90， EAF+AED=90， EFA=90， EDAC.,已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC求证：EDAC,如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） 2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,“SAS”,“ ASA ”,“ AAS ”,“ SSS ”,“ SAS ”,“ ASA ”,“ AAS ”,“ HL ”,灵活运用各种方法证明直角三角形全等,应用,“ SSS ”,
