1、数学模型及其应用中国科学院研究生院 杨文国Y2009年 9月第四章 稳定性模型4.1 捕鱼业的持续收获4.2 军备竞赛4.3 种群的相互竞争4.4 种群的相互依存4.5 种群的弱肉强食稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。4.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及 分析 在 捕捞量稳定 的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔场鱼量将保持不变
2、 ，则捕捞量稳定。背景产量模型假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)稳定 的条件r固有增长率 , N最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度x(t) 渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根 x0 微分方程的 平衡点设 x(t)是方程的解，若从 x0 某邻域的任一初值出发，都有 称 x0是方程 (1)的 稳定平衡点不求 x(t), 判断 x0稳定性的方法 直接法(1)的近似线性方程产量模型平衡点稳定性判断x0 稳定 , 可得到稳定产量 x1 稳定
3、, 渔场干枯E捕捞强度 r固有增长率产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法P的横坐标 x0平衡点y=rxh Px0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标 h产量产量最大f 与 h交点 Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型假设 鱼销售价格 p 单位捕捞强度费用 c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大 .稳定平衡点求 E使 R(E)最大渔场鱼量收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cEEsS(E)T(E)0 r E捕捞过度 封闭式捕捞 追求利润 R(E)最大 开放式捕捞 只求利润 R(E) 0R(E)=0时的捕捞强度 (临界强度 ) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度 ER E*令=0
