1、1.4.3 正切函数的性质与图象,一,二,思维辨析,一、正切函数的图象 问题思考 1.根据同角的三角函数基本关系中的商数关系,你能否推断y=tan x是一个周期函数?,一,二,思维辨析,2.填空:(1)正切函数的图象(如图):(2)正切函数的图象叫做正切曲线. (3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线_所隔开的无穷多支曲线组成的.,一,二,思维辨析,二、正切函数的性质 问题思考 1.观察正切曲线,思考:正切函数的值域是什么?正切函数是整个定义域上的增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?正切函数的图象关于某些直线对称吗?关于某些点对称吗? 提示正切函数的值域是R;正切函数在
2、整个定义域上不是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数,正切函数的图象不可能关于某条直线对称;关于一些点是对称的.,一,二,思维辨析,2.填空:,一,二,思维辨析,一,二,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)正切函数的定义域和值域都是R. ( ) (2)正切函数在其定义域内是单调递增函数. ( ) (3)函数y=|tan x|与y=tan x的周期相等,都是. ( ) (4)函数y=tan x的所有对称中心是(k,0)(kZ). ( ) (5)直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两个交点之间的距离为. ( ),答案(1) (2) (3) (
3、4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,思维辨析,正切函数的定义域与值域问题 【例1】 求下列函数的定义域和值域:,分析根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求正切函数定义域的方法及注意点: 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x +k,kZ.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan xa的不等式的步骤:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正切函数的图象及其应用 角度
4、1 求单调区间,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,角度2 比较大小 【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:,分析利用周期性化角到某个单调区间内利用函数的单调性比较大小,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正切函数的单调性在比较大小中的应用技巧 利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小,实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在同一个单调区间内比较大小.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正切函数的周期性与奇偶性 【例4】 (1)求函数 的
5、最小正周期; (2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 018,若f(2 019)=-1,求f(-2 019)的值. 分析(1)根据正切函数最小正周期求解;(2)根据函数y=asin x+btan x是奇函数求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+2 018. 因为g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x), 所以g(x)是奇函数. 因为f(2 019)=g(2 019)+2 018=-1, 所以g(2 019)=-2 019,则g(-2 019)=2 019,
6、 故f(-2 019)=g(-2 019)+2 018=2 019+2 018=4 037.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案(1)A (2)2,弄错正切函数图象的对称中心致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正切函数y=tan x图象的对称中心是 (kZ),而不是(k,0) (kZ),要熟记.在求参数的值时,务必注意参数的取值范围,在所给定的范围内求解.,1,2,3,4,5,答案B,6,1,2,3,4,5,2.函数f(x)=sin xtan x( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,由f(-x)=sin (-x)tan(-x)=(-sin x)(-tan x)=sin xtan x=f(x),则f(x)是偶函数.故选B. 答案B,6,1,2,3,4,5,答案,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,
