1、机械工程控制基础,主讲教师：张业明, Tel: 158 3890 2797,河南理工大学机械学院,机械工程控制基础,第一章 自动控制的一般概念 第二章 控制系统的数学模型 第三章 控制系统的时域分析法 第四章 频域分析法 第五章 控制系统的稳定性 第六章 控制系统的校正,第2章 控制系统的数学模型,系统的微分方程 传递函数 系统的传递函数方框图及其简化 反馈控制系统的传递函数 相似原理 系统的状态空间模型（自学）,引言,研究和分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，而且更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就是要求建立系统的数学模型 无论是机械
2、、电气、流体系统，还是热力系统或其他系统，一般都可以用微分方程这一数学模型加以描述。将系统的微分方程转化为系统的传递函数形式或状态空间形式的数学模型，极有利于系统的分析、综合和识别。 微分方程是在时域中分析描述系统动态特性的数学模型,系统的微分方程,线性系统:当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，该系统成为线性系统。,线性定常系统:如果微分方程的系数为常数，则该系统成为线性定常系统。,M-c-k数学模型：,线性系统可以用叠加原理：将每个输入量的结果叠加得到系统的总输出。 非线性系统不能应用叠加原理：局部线性化,分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。 例如
3、：建立电网的数学模型欧姆定律、基尔霍夫定律；建立机械系统的数学模型牛顿定律、虎克定律；建立电动机的定律就要用到上述几个定律；建立流体系统的数学模型还需要应用流体力学的第一、第二等定律。实验法：根据实验数据，进行归纳整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。合理的数学模型是指它具有最简化的形式，但又能正确地反映所描述系统的特性。,建立系统数学模型的方法,例1 下图两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压u2和输入电压u1为变量的滤波网络的微分方程。,(1)确定输入、输出u1、u2,(2)根据基尔霍夫定律列出原始方程式,(3)消去中间变量i1和i2,即为系统的微分方程,不考虑负载效应
4、，RC网络方程独立列写如下：,消去中间变量：,所得方程不能正确反映物理问题，因而方程有误。,例2电动机控制方程,试求出：输入电压ua和输出转角 在干扰ML作用下的微分方程,电磁力矩M与电枢电流成正比：,输入电压与电枢电流之间的关系：,其中ed为与电机速度成正比的反向感应电压：,电磁力矩常数,反电动势,反电动势常数,电动机转子的运动方程：,消去中间变量 ia ：,令：,则上式可化为 ：,J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量,电枢控制式直流电动机微分方程： 转速既由ua控制，又受ML影响,当电动机处于平衡态，有,设某一平衡点为（ua0,ML0,0），即有,当偏离平衡点时，有,电动机的微分方程
5、为：,（静态模型）,当ML为常值时：控制特性 当ua为常值时：机械特性或 外特性,代入微分方程，则有：,电动机任意平衡状态下的增量方程,增量化方程和原方程形式上是一样的，不同的在于增量化方程的变量是以平衡状态为基础的增量，即把各变量的坐标零点放在原平衡点上。 这样，在求解增量化表示的方程时，就可以把某些初始条件变为零，这无疑对研究问题带来了许多方便。因此控制系统的微分方程一般都用增量化方程来表示。,即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成,若电动机工作过程中ML=常量，则增量化方程化为：,依据以上两个公式，可以分别研究转速随电枢电压（输入电压）的变化关系，或转速随负载力矩的变化关系,若电动机
6、工作过程中ua=常量，则增量化方程化转速变化只与负载力矩有关，即,液压伺服机构,q为负载流量；p为负载压降（pp1-p2）；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移；A为活塞面积；c为粘性阻尼系数。,q为负载流量；p为负载压降（pp1-p2）；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移；A为活塞面积；c为粘性阻尼系数。,明确系统的输入与输出：输入为x，输出为y。列写原始微分方程：非线性函数线性化：（1）确定系统预定工作点：设为（x0，p0，q0）,（2）展开成Taylor级数形式：,a.假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系：,b.取坐标原点为工作点，略去增量符号：,（3）表示成增量化形式：,(增量化
7、形式）,（4）代入原方程组，整理得：,作小偏差线性化时要注意几点：,(1)必须明确系统的工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同； (2)如果变量在较大的范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预计工作点很小； (3)如果非线性函数是不连续的，不连续点不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化；这类非线性称为本质非线性； (4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程,微分方程、拉普拉斯变换回顾,一阶线性微分方程回顾,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,
8、分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,齐次方程通解,非齐次方程特解,解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,例. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通函数，如正弦函数
9、、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变数的代数函数微积分的运算能内在复平面内的代数运算来代替 于是，线性微分方程能转换成复变数的代数方程微分方程的解可用拉普拉斯变换表，或部分分式展开式求出拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力程它的另一个优点是当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量,拉普拉斯变换的定义,本节介绍拉普拉斯变换的定义，对拉普拉斯变换存在的条件作简略的讨论，并举例说明几种常用函数的拉普拉斯变换的推导拉普拉斯变换的定义如下:,若一个时间函数 f（t），称为原函数，经过下式计算转换为象函数F (s)：,记为,称F(s)为f(t)
10、的Laplace变换（简称拉氏变换）。其中算子s=+ j为复数。,若已知F(s)，求原函数f(t)，则称为Laplace反（逆）变换（简 称拉氏反（逆）变换），即,记为,显然，若F(s)是f(t)的拉氏变换，则f(t)就是F(s)的拉氏反变换。从数学角度考虑，一个时域函数f(t)能够进行拉氏变换的 条件为：(1)当t 0时，f (t)= 0；(2) f(t)只有有限个间断点，且能找到适当的s，使,成立。,在控制系统中的时域函数一般均满足以上两个条件，故均可进行拉氏变换。,几个常用函数的拉氏变换,（1）单位脉冲函数(t ),由洛必达法则：,所以：,则,故,（2）单位阶跃函数(unit step
11、function),故,（3）指数函数(exponential function),（a为常数）,（4）正弦函数和余弦函数(sinusoidal & cosine function),由欧拉公式，有：,故,同理：,(5)单位斜坡函数(unit ramp function ),同理可得：,（6）幂函数（power function),拉氏变换的主要运算定理,（2）比例定理,若,则,叠加定理,齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；,叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；,显然，拉氏变换为线性变换。,例：,微分定理,证明：由于,即：,所以：,同样有
12、：,式中，f (0)，f (0)，为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。,当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：,例：已知 为正整数，求,解：,证明：,积分定理,依此类推：,例：,延迟定理,设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：,位移定理,例：,初值定理,初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。,终值定理,解 由初值定理和终值定理可得,例：已知,时间比例尺的改变,例：,卷积定理,若t0时， f(t)g(t)0，则f(t)和g(t)的卷积可表示为：,其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。,证明：,
13、常用的拉氏变换公式,拉氏变换的基本性质,若,且,若,的拉氏反变换容易求出,则,设,式中,和,分别是,的极点和零点。,下面讨论三种情况。,求拉氏反变换的部分分式展开法,下面讨论三种情况。,（1）极点各不相同，F(s)可化为如下形式:,则,例1、已知,求,。,解：因为,所以,解：,即：,（2）F(s)具有共轭复数极点p1和p2，F(s)可化为如下形式:,可用待定系数法求出c1，c2，cn等，然后求出各分式的拉氏反变换，取其代数和即可。,(3)F(s)含有重极点,设F(s)存在r重极点-p1，其余极点均不同，则：,式中，Ar+1，An利用前面待定系数法求解。,注意到：,所以：,解：,于是：,应用拉氏
14、变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,解：对微分方程左边进行拉氏变换：,即：,对方程右边进行拉氏变换：,从而：,所以：,当初始条件为零时：,零状态响应,零输入响应,作业,求 的原函数。,求 的拉氏反变换。,作业,求 的原函数,求 的拉氏反变换。,【解】运用部分分式展开法，有,引言,传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具。,如何获得传递函数： 对标准的微分方程进行拉普拉斯变换（Laplace变换），可将其化为代数方程。再将代数方程右端变量的算子除
15、以左端变量的算子，则可获得传递函数。,传递函数好处： （1）不仅将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量。 （2）通过传递函数导出的频率特性（见第四章）还具有明确的物理意义，有利于对系统分析、研究、识别。,传递函数的概念和定义,传递函数,在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,零初始条件：,t0时，输入量及其各阶导数均为0；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；,系统的初始状态或初态： 一般将外界输入作用前的输出初始条件 xo (0-), xo(1) (0-), ,xo(n-
16、1) (0-)为系统的初始状态或初态,传递函数求解示例,质量-弹簧-阻尼系统的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,R-L-C无源电路网络的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,几点结论,传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数表征了系 统内在的固有动态特性。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。,不同的系统可以具有相同类型的传递函数。,传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。,传递函数是一种以系统参数表示的
17、线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；,传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。,传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；,传递函数的一般形式,考虑线性定常系统,当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：,令：,则：,N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,特征方程、零点和极点,特征方程,式中，K称
18、为系统的放大系数或增益。,当s=0时：G(0)=bm/an=K,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于稳态时，输出与输入的比值。,零点和极点,将G(s)写成下面的形式：,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根 s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；,式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；,系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零、极点分布图,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、
19、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。,典型环节及其传递函数,环节,具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,比例环节： K,一阶微分环节： Ts+1,积分环节：,惯性环节：,振荡环节：,延迟环节:,典型环节示例,比例环节,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,其运动方程为：xo(t)=Kxi(t),xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；,K比例系数，等于输出量与输入量之比。,比例环节的传递函数为：,惯性环节,凡运动方程为一阶微分方程：,形式的环节称为惯性
20、环节。其传递函数为：,T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关,式中，K环节增益（放大系数）；,注：惯性环节包含一个储能元件和一个耗能 元件,如：弹簧-阻尼器环节,微分环节,输出量正比于输入量的微分。,运动方程为：,传递函数为：,式中，T微分环节的时间常数,在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。微分特性总是与惯性并存，理想的微分环节只是数学上的假设或物理上的近似。,无源微分网络,显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。,机械液压阻尼,除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：,微分环节的输出是
21、输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。,微分环节的控制作用：,1) 使输出提前,微分环节的输出是输入的导数，它反应输入的变化趋势即等于对系统有关输入变化趋势进行预测。因而有可能对系统提前施加校正作用，提高系统的灵敏度。微分环节常用来改善控制系统的动态性能。,输入：斜坡函数r(t) = t，Xi(s)=1/s2 在比例环节Kp上并联一微分环节KpTs,2) 增加了系统阻尼,增加微分环节,s前的系数和阻尼有关,3) 强化噪声的作用,因为它对输入能预测，所以对噪声（即干扰）也能预测，所以对噪声灵敏度提高，增大了因干
22、扰引起的误差。,积分环节,输出量正比于输入量对时间的积分。,运动方程为：,传递函数为：,式中，T积分环节的时间常数。,积分环节特点：,积分环节常用来改善系统的稳态性能。,如当输入量为常值 A 时，由于：,输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。,如：有源积分网络,振荡环节,一般含有两个独立的储能元件和一个耗能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：,传递函数：,式中，T振荡环节的时间常数阻尼比，对于振荡环节，01阻尼比越小，振荡越激烈。K比例系数,振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：,n称为无阻尼固有频率。,如：质量-弹簧-阻尼系统,
23、传递函数：,式中，,延时环节,运动方程：,传递函数：,式中，为纯延时时间。,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别：,流体传动系统、切削过程；机械传动副（齿轮副、 丝杠螺母副等）中的间隙；死区（非线性环节）,小结,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,系统方框图,系统方框图,系统方框图是系统数学模型的图
24、解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,方框图的结构要素,信号线,带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,信号引出点（分支线）,表示信号引出或测量的位置和传递方向。,同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,函数方框(环节),函数方框具有运算功能，即：,X2(s)=G(s)X1(s),传递函数的图解表示。,求和点（比较点、相加点）,信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的 “+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。,相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交
25、换律、结合律和分配律。,求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。,任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。,系统方框图的建立,步骤,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,示例,无源RC网络,拉氏变换得：,从而可得系统各方框单元及其方框图。,(a),(b),机械系统,(a),(b),q为负载流量；p为负载压降（pp1-p2）；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移；A为活塞面积；c为粘性阻尼系数。,流体伺服机构,
26、3 .将方程（1，2，4）进行Laplace变换，得：,4. 根据变量之间的因果关系，对上述各式分别绘出相应的传递函数方框图,5. 将传递函数方框图按信号的传递、变换过程连接起来，便得到系统的传递函数方框图,电枢控制式直流电动机,输入ua，输出，ML是干扰,Laplace变换以零初始条件为基础。,kd是反电势常数,km是电动机电磁力矩常数,2、对微分方程组做Laplace变换：,1、列出系统运动微分方程：,3. 按因果关系画出各式对应的方框图：,方框图的输出只能有一个，而输入可通过相加点有多个。,按照信号在系统中传递顺序，将输入量置于左端、输出量置于右端：,4. 构建系统的传递函数方框图：,等
27、效变换：变换前后输入输出总的数学关系保持不变。,内容要点：,串联环节等效规则,并联环节等效规则,反馈连接等效规则,分支点移动规则,相加点移动规则,分支点之间、相加点 之间相互移动规则,传递函数方框图的等效变换,136,串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。,特点：各环节的输入信号是相同的，总输出为各环节输出的代数和。,等效传递函数为各支路传递函数的代数和。,137,闭环系统方框图的最基本形式，所有复杂系统都可以如此转化。,前向通道传递函数：,反馈通道传递函数：,闭环传递函数：,直观上讲开环传递函数就是封闭回路在相加点断开以后，以E(s)作为输入，经G(s) 、H(s)而产生B(s)，由
28、此而得到的输出B(s)与输入E(s)的比值。,由于B(s)与E(s)在相加点的量纲相同，因此开环传递函数无量纲，且H(s)的量纲是G(s)的量纲的倒数。,开环传递函数：,由反馈联接图可得到如下关系式：,整理可得闭环传递函数关系为：,如果H(s)=1，则反馈为单位反馈：,注意：“+，-”符号,说明： 前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（或环节组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。,分支点之间、相加点之间的相互移动，均不改变原有的数学关系，因此，可以相互移动； 分支点和相加点之间不能互相移动，因为他们
29、并不等效。,方框图综合等效变换示例 1：,将G2、G3及H2点等按串联和反馈规则变换,H(s)=1,简化公式求取：,二者比较得如下公式:,系统的数学模型传递函数方框图及简化,简化公式应用的前提条件：,1)整个方框图只有一条前向通道；,2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。,若不满足以上两个前提条件，应先按等效规则和移动规则进行简化。,利用简化公式上述原则直接求取可得:,系统的数学模型传递函数方框图及简化,方框图综合等效变换示例 2：,本例特点：,交叉反馈且具有多回路,化简策略：,先移动支点，然后采用串、并及反馈等综合方法。,系统的数学模型传递函数方框图及简化,（1),系统的数学模型传递函
30、数方框图及简化,（3),系统的数学模型传递函数方框图及简化,（5),系统的数学模型传递函数方框图及简化,（7),其实化简到第三步，就已经满足公式的两个条件，可以利用公式求解啦！,系统的数学模型传递函数方框图及简化,例3：,系统的传递函数为：,哈工大2001年研究生入学考试试题,已知系统的结构图，求系统的等效闭环传递函数及等效开环传递函数。,College of mechanical & electronic engineering,有2条前向通路，传递函数分别为 P1 =s 1/(Ts+1) K2/s P2 =K1/s 1/(Ts+1) K2/s, 1 =1, 2 =1,若将原系统等效为单位反
31、馈系统，则,对应的等效开环传递函数,考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；,闭环系统的开环传递函数,闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数，即：,将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该闭环控制系统的开环传递函数。记为GK(s)。,xi(t)作用下系统的闭环传递函数,令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：,输入作用下系统的偏差传递函
32、数,n(t)作用下系统的闭环传递函数,令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为：,扰动作用下系统的偏差传递函数,令xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。,结论,系统的闭环传递函数 、 、及 具有相同的特征多项式：1+G1(s)G2(s)H(s)其中G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。即闭环传递函数的极点相同。,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性；,系统的总输出,根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：,上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。,小结,数学模型基本概念,数学模型形式,微分方程,传递函数,控制系统的图形化描述,方框图,考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,哈工大2002年研究生入学考试试题,某单位反馈系统在单位脉冲信号作用下系统输出为： 求其开环传递函数。,上海交大2000年研究生入学考试试题,系统初值为0。 （1）列写系统的微分方程 （2）确定其传递函数,相似原理,典型的物理定律,
