1、对数函数一. 教学内容：对数函数二. 重点、难点：1. 重点：对数函数的概念，图象和性质。2. 难点：对数函数与指数函数的关系，对数函数值域的理解。【典型例题】例 1 求下列函数的定义域：（1） 23log2xyx（2） )l(42（3） 3og1xxy解：（1）2102312 xx或),(),1(),( x（2）51320)32lg(42xx或或 ),2),(51, x（3）2501421xx),0(),(x例 2 求下列函数的值域。（1） )1lg(2xy（2） 3解：（1）设 12xt即 tylg是增函数 43)(2t 43l原函数值域：),lg（2）设 132xt，即 tylg是增函数
2、 45)(2t又 0132x Ry原函数值域： ),(例 3 （1）若函数 1lg2axy的定义域为 R，求 a 的取值范围。 （2）若函数)lg(2axy的值域为 R，求 a 的取值范围。解：（1）由已知 )1lg(2xy的定义域为 R无论 x 取任何实数都有 0a成立 042a 2a（2）由已知 )1lg(2xy的值域为 R，设 12axtt 应取遍全体正实数，y 才能取遍全体实数 042a时，t 的值域 0|t 或例 4 比较大小（1）5.0log31与2.6l31（2） 8l与 l2（3） og2与 .05（4） .l1与 l2.1解：（1）设xy31log为减函数 2.6505.0l
3、32.6（2）法一： ,8 8log3 l2法二： l1l,3log1l 8283 0ll88 2log3l88即 8logl23（3） 12og2 15.0.50 log .l50（4） .l311.， 2.log.2l11 2l. 2.例 5 求函数)43(log2xy的定义域，值域，单调区间。解：（1）02x032x3定义域),1(（2）设 42xt，则 ty2log是增函数1)(2 10t 0log2y 值域 ,(（3） 在)1,(上 y 是增函数t 是增函数 t2log是增函数)43(log2xy在)1,(上是增函数 在),1上 y 是减函数t 是减函数 t2log是增函数)43(l
4、og2xy在),1上是减函数例 6 定义在 R 上的奇函数 2)(xaf，要使 1)(xf，求 x 的取值范围。解： )(xf是定义在 R 上的奇函数 0)(f 21a 12)(xflog)(21xf20x 6例 7 设 21)(xfxlg（1）判断函数单调性并证明。（2）若 )(f的反函数为 )(1f，证明： 0)(1xf有唯一解。（3）解关于 x 的不等式 2xf解：（1）由 02x得 1x )(f的定义域为 ),(任取 21x 则 )1(lg)2()( 21212 xxff 21x 0)(12又 0)()(12x且 0)(2)()( 211212 xxx )(0120)(lg12 0)(
5、12xff )在 ,上是减函数（2） 20(f0)1(f即 0)(1xf有一个根 21x假设 )(1xf还有一个根 21x，则)(,11ff矛盾 2是 0)(1f的唯一解（3）f)0(21(fxf又 )(xf在 )1,上单调递减 200417x或 417x【模拟试题】一. 选择题：1. 若 )(logl237x)45(tanl，则 21x等于（ ）A. 1B. 1C. 3D. 以上都不对2. 函数)8,0(log21xy的值域是（ ）A. ),3B. ,C. )3,(D. 3,(3. 若函数 xay1lg(2在 ),(内是减函数，则 a 满足的条件是（ ）A. |B. |C. 2aD. 2|1
6、4. 函数 12.0xy的反函数是（ ）A. log5)(B. )2(15logxyxC. xy D. 0二. 填空题：1. )(log21xy的定义域是 。2. 函数 34ln2的单调递增区间是 。3. 若 1a，则 )1(logayx中 x 的取值范围是 。4. （1） 22log11 （2） 24log5三. 解答题：1. 求函数)3(l221xy的单调区间和值域。2. 已知函数 1lg)axf ， （1）若定义域为 R，求 a 的范围；（2）若值域为R，求 a 的范围。3. 已知 x 满足 256x， 2lox，求函数logl)(22xxf的最大值和最小值，并指出取得最值时 x 的值。
7、【试题答案】一. 1. D 2. A 3. D 4. C二. 1. （0，1） 2. 23,1(3. （0，1）4. （1） （2）三. 1. 解： 023x 原函数的定义域为 )3,1(令 )31(t ，则ty21log设 12x 则 21t从而1logltt即 y)3(22xy在 1,(上单调递减同理可得，函数在（1，3）上单调递增由 )34)2xtlogl,4.0(2121ty函数的值域是 ),2. 解：（1）若 )(xf的定义域为 R，则 012xa的解集为 R即 04a（2）若 )(xf的值域为 R，则 12xa能取一切正数 0a或 04 10a3. 解： 2logl)(2xxf2log3l)(1(4ll22x设 xt2log 41)23()(ttf1l562x logl28x 8 3222l3log21x即3,1t当t时，即 2时， 4miny当 3t时，即 8x时， ax
