1、 1 / 5 证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程 1. 该课题的研究历史 上文中，哥德巴赫猜想的证明，涉及到数轴上不同属性自然数之分布规律。自然数除 “1”之外，其余是位置互补的两类数：第一类是素数，也称为质数，它指那些大于 1、且 只能被 1 和自身整除的数；素数从唯一的偶素数 2 起始，存在无穷多个，但其分布是无章 可循的。第二类是合数，它指那些两个以上素数之乘积。所以，素数只含本身一个素数因 子； 而合数至少含有两个素因子。 由此可推知， 任意合数b的最小素因子， 不可能大于 b 。 那么，不大于任意偶数 a 2 的合数之最小素因子，不可能大于 2a ；筛掉了不大于 2a 的 所有素数之整
2、倍数、就筛掉了不大于 a 2 的全部合数，就暴露出了小于 a 2 的素数。 哥德巴赫猜想命题，是 1742年德国数学家哥德巴赫提出来的。其内容可表述为：凡是 大于 4 的偶数必为两个奇素数之和。所以又将其简记为“1+1”，“1+1”可被形象地理解为 一个只含“1”个素数因子的奇数、再加上一个只含“1”个素数因子的奇数。 该命题问世以来， 其证明一直被喻为是摘取 “数学皇冠上的明珠” 。 所以， 1920年以来， 全世界数学家展开了一场 “逐步逼近” 、无限缩小包围圈的战役，依次证明出了“9+9” “7+7” “1+2”。“1+2”是我国数学家陈景润于 1966年证明出来的，被誉为“陈氏定理”
3、， 其结论是：充分大的偶数，可表示为一个素数和一个不超过2 个奇素数乘积数之和。 但在人们庆幸该成果诞生之余，却无奈地发现终极目标“1+1”距我们并非只剩下“一 步之遥” ，而是还“远在天边” ！因为从“9+9”到“1+2”的证明过程中，一直使用的这种 “逐步逼近”的办法，似乎已走到了尽头，无法再继续下去、抵达终极目标“1+1”了！ 这种结局的积极意义是：它促使人们摆脱陈旧的定势思维、重起炉灶、另辟蹊径、建 立新的数学模型、创新数学方法，使该课题峰回路转，闯出了柳暗花明的又一片新天地； 但其消极影响也很严重，它挫伤了一些人的自信心，从而引发了许多悲观的、无所作为的 论点。当时，某权威媒体曾刊文
4、说： “大批中外数学家成年累月地努力尚未解决的难题，如 果可以靠加加减减和微积分去解决，那么近百年的数学发展不是等于零吗？大批数学家的 努力不是等于零吗？”这种棉里藏针且极为情绪化舆论压力，使得再也无人敢正视该课题 的新研究成果，将其一概斥之为“胡说八道” 。这就是 1966 年至今又过去了半个世纪！该 课题仍然推不出更新的研究成果的主要原因之一！ 2.该课题研究的新思路和新证明方法 摆脱了旧有定势思维的禁锢、和逐步逼近的思想方法的束缚，思路便豁然开朗了。 如前所述，素数的分布是无章可循的；而小于 的合数则是可以依据小于 2a 的素 数确定的，是有章可循的。所以，用原来“逐步逼近”的方法、直接
5、探寻无章可循的“1+1”， 不如另辟蹊径、淘汰所有有章可循的非“1+1”， 间接暴露出“1+1”。 这就如同直接观察求 索不可见之黑洞，不如根据周围可见天体的运动状态，去推测黑洞之存在位置一样。 为了暴露偶数 a 2 的素分割对“1+1” ，设小于 2a 的素数共有 n个，并用 i p 表示其中 任一个 ( 1,2,3. ) in = 。那么，在0, 2 a 上，只需筛掉所有 i p 的整倍数，存留下来的整数就 都是素数了。为了只存留能构成“1+1”的素数，可先分割、后筛选。即先将偶数 a 2 分割 a 2 2 / 5 成 a对整分割对，再用 1 p 筛掉其中的偶分割对，最后再用奇素数筛网 2
6、 p i p n p 成双成 对地筛掉 2 a 对奇分割对中的那些“双合数”及“单合数”分割对，剩下的就只有“1+1”了。 要分割 a 2 ，只要绕 a点将数轴右半段旋转180 度，在数轴重叠段上，位置重叠的每一 对整数，就是偶数 a 2 的一对整分割对。如例图（1）中，偶数 44 分割、筛选示意图所示： 由例图（1）可知，整分割对就是关于 a点对称的两个整数 () aj 和 () aj + 。 在用偶 素数 1 ( 2) p = 筛除时，由于其筛点关于 a点也是对称分布的，所以筛掉和存留的整分割对都 是完整的。 它筛掉了所有的偶分割对； 保留下所有的奇分割对。 奇分割对的对数至少有 2 a
7、对。 进而，用奇素数 i p 筛除时，由于其筛点关于 a点一般是不对称的，所以一般筛掉的只 是奇分割对的半边， 还保留着另半边。 比如上例中再用 2 ( 3) p = 筛时， 筛掉了3、9、15、21、27、 33、39 这七个数；还残留着与其成对的 41、35、29、23、17、11、5。这些残留数中，除 35 和 5 等个别数在后面再用 3 ( 5) p = 筛时还能被筛掉，其他都是素数，不会再被筛掉的。这些残留 的数成了“孤寡素数” ，在计算“1+1”数目时，它们会“滥竽充数”充大“1+1”数目。 因此再用奇素数 i p 筛时，要采取“翻倍双筛” ，即给筛除率 1 i p 乘 2 变为
8、2 i p ，从而使存 留率由 1 i i p p 变为 2 i i p p 。幸好用 1 p 筛时只需单筛无需双筛！而需要双筛的奇素数 i p 筛网的 3 i p ，使“双筛存留率” 2 1 3 i i p p 不会成为0！否则就无法用“双筛法”完成该课题！ “双筛法”将传统筛法中的“筛一个”转换成了“筛一双” ，从而有过之而无不及地删 掉了所有的“孤寡素数” ，使其“1+1”数目计算值，只能小于或等于其真值！而绝不会大 于其真值！比如在上例中，在用 2 p 双筛的基础上再用 3 ( 5) p = 双筛时，只有 25+19 这种“单 合数对”是真正被 3 p 首次筛掉的，但在其双筛计算中，还
9、隐含着它对 5+39和 35+9这两对 “双合数对”的再次筛除。显然这种“双合数对”都会被多筛一次，从而使“1+1”的双筛 计算值更小于其真值。如上例中，用双筛计算式 3 12 12 3 2 12 1 2 (2 ) p pp pp p a 计算， “1+1”对数 的双筛计算值为2.2，而真实存留的“1+1”的对数是 3，它们分别是 13+31、7+37、1+43。 3.新证明方法的难点和解决方法 3 / 5 （1）难点之一：建立起在0, x 区间上筛掉合数后、所存留的素数数目之通用计算式 解决方法：建立新的数学模型准素数模型、利用其周期性、对称性完成计算 显然，证明猜想命题，就是要证明任意偶数
10、都存在“1+1”， 而新证明方法，是要用排 除法筛掉那些有合数存在的整分割对（即非“1+1” ） ，显露出“1+1”。 所以需要建立能筛除 合数的通用计算式。那么，若用 2 ( 3) p = 筛除时，可从数轴原点起每隔 3 个数、筛掉一个、 存留两个，在通用计算式中，存留率计为 2 3 即可。但这样做却存在一个问题，就是素数“3” 被筛掉了。因此传统筛法中，各 i p 的筛点都是从 2 i p 点开始的，这样做有利之处仅仅是留 住了 i p 这个素数；但其弊却远大于利。各 i p 筛网仅因起始点不同，而破坏了整个筛网的完 整性、周期性、对称性。因此必须改造传统筛法，建立新的数学模型准素数模型。
11、 新模型只是让 n个 i p 筛网的筛点、都从原点起始，仍保持每隔 i p 个整数筛掉一个。但 它却使筛网具有了完整性、 周期性、 对称性。其 唯一的缺点是在0, n p 上筛掉了 1 p n p 这 n 个素数、且保留了“1” ，除此之外与传统筛法完全相同。所以新模型的利远大于弊，可利用 它的周期性、对称性建立准素数数目的线性近似计算式；并证明出其误差界值；再根据准素 数与素数的关系，确定素数数目。下面例图（2）是 3 p 阶准素数模型一个周期的示意图。 （2）难点之二：建立沟通连续与离散数学问题的桥梁，借用连续函数解决离散问题. 解决方法：用准素数平均密度 n 与 x乘积 n x 及其误差
12、界值表示素数数目下界. 准素数是离散分布的，其数目是随 x阶梯性变化的阶梯函数，不可能写成 x的连续函 数，所以无法利用连续函数已有的丰富成果、证明猜想命题。因此需要构造一个 n p 阶准素 数数目的线性近似函数 n x ，用它及其误差来表示 n p 阶准素数数目。当然这个函数并非是 凭空想象出来的，它实际可称为真值阶梯函数之伴随函数。因为该 n x 在周期两端点、中 点的值都与真值相等，真值阶梯函数曲线，就像藤绕树那样缠绕着 n x 直线，除周期端点、 中点之外，二者还存在着更多的交叉点。原文证明 n x 相对真值的最大误差小于 n。比如 说 4 n = （ 8 4 35 = ）时，用 4
13、x 计算小于 121 的素数（注意 2、3、5、7暂且不记，但要记 1）数目，其误差不超过 4.下面例图（3）是线性近似函数 3 x 与真值阶梯函数之关系图： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4 / 5 （3）难点之三：证明 n p 阶线性近似函数 n x 的计算误差之界值，即证明： () n xn 解决办法：发掘出叠加误差 () n x 的 2 n 个周期各异、幅值为 1 的锯齿波函数；揭 示它们唯一的同相位重叠点位置；依据同相位相长叠加原理完成证明. 误差
14、() n x 界值的证明，是该课题最大难点，有利因素在于 () n x 具有周期性、反对称 性，只需研究清楚半个周期即可；不利之处在于 () n x 是由 2 n 个锯齿波叠加而成的极复杂 函数。好在每个周期上，仅周期端点是这 2 n 个波公共的 2 相位重叠点（也即 2 n 个波峰重 叠点） 。虽因 2 n 个波的幅值相等、其中正波与负波数目也相等，在公共的波峰重叠点之上 () n x 的正、 负分量平衡、相 消 为 0。 但在稍微偏离波峰公共重叠点处， 分别以 1 p 、 2 p n p 为周期的这 n个周期最短、周期差最小、且幅值同为正 1 的波，率先走完了各自的第一个 周期，纷纷回落到
15、其波谷0点，造成了 () n x 的正分量锐减，而此处绝大多数负波还正在向 其波峰值“ 1 ” 靠近，负分量幅值仍较大，所以在波峰重叠点正、负分量平衡的状态、 被最大程度地打破了，出现了最大负峰值。由于最大峰值是由 n个峰值为 1 的正波、密集 回落造成的，所以最大负峰值的幅度不会大于 n。或者说是 n个 i p 的第一个筛点在 1 (1, ) n p + 区间内纷纷密集出现，造成了极大的准素数空白区、和因空白区形成的最大负误差。 周期中点，则是 1 2 n 个周期为奇数锯齿波的 2 相位重叠点。因此在其邻近区域，也出 现了近相位相长叠加，也产生了较大的负误差峰值，但其幅度小于端部。下面的例图
16、（4） 、 （5） ，分别是 3 () x ， 4 () x 的示图，可以看出，阶次越高，其最大负误差峰值便越突出。 例图（4） 3 p 阶全周期上的误差曲线 ) ( 3 x 的示图 为使纵坐标整数化，图上的纵坐标等于 ) ( 30 3 x 0 -8 22 -26 4 -28 2 -14 16 -16 14 -2 28 -4 26 -22 8 0 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x 30*3
17、(x) 5 / 5 例图（5） ： 4 p 阶前半周期上的误差曲线 ) ( 4 x 的示图 为使纵坐标整数化，图上纵坐标等于 ) ( 35 4 x 4.哥德巴赫猜想命题的证明结论. 猜想证明所针对的对象， 是大偶数而非小偶数， 而大偶数的真实情况是： 偶数 a 2 越大， 其奇数分割对数目 2 a 越多。虽然被筛掉的分割对也随 a 2 增大而增多，但其增速远不如基数 2 a 快。因此大偶数之素分割对，绝不是有没有的问题！而是至少有多少的问题！就此而言， 猜想命题也并非是一个刁钻的难题， 近三个世纪都解决不了、 完全是因为定势思维的问题。 摆脱了定势思维的禁锢；另辟蹊径；建立起准素数模型；采用了
18、创新的双筛法；证明了准 素数线性分布函数计算式 n x 的计算误差之界值，便架起了用连续函数解决该离散数学问 题的桥梁，该难题便水到渠成、迎刃而解了。 用 (2 ) a 表示 2a的素数分割对数目，再用双筛的线性近似函数、减去可能出现的综合 误差最大值 2n、计算出 2a的素数分割对数目下界，则有： 31 12 12 3 1 2 22 2 12 1 2 (2 ) 2 . . 2 iin iin p ppp pp pp p p p p aa n 显然，该式右端仅仅是左端 (2 ) a 的不足近似值，在其右端在计算中，既是一而再、 再而三地取其不足近似值，而从来不取其过剩近似值，原不等式将始终成立
19、！为了简化运 算过程，并使计算结果成为只与 2a大小有关，而与中间过程无关的通用表达式，便采用了 如下运算技巧： （1）根据 3 i 时 1 2 ii pp ，右端正项分子中满足 3 i 的 2 i p 一律用 不大于它的 1 i p 替换、 并与分母中的 1 i p 约分； （2） 根据 2a与 n p 关系式： 22 1 2 nn p ap + = 这里， n是不大于 n p 的素数个数， 即 ( ) (2) n np a = = 所以， 上式有三种等价形式： 1 44 (2 ) (1 4 ) nn n pp n p an = ； 2 4 (2 ) ( ) n p n ap ； 3 2 4
20、 (2 ) ( 2 ) a aa 尽管上式右端只是偶数 2a素分割对数目一个很小的不足近似值，但它仍然能够显示： 当小于 2a 的素数密度远小于 1 4 之后，偶数 2a就一定会有素分割对“1+1”存在。比如： 2 22500 a = 、 2 150 a = 、 149 n p = 、 35 n = 时，就有 35 1 149 4.25 n n p = 、 (2 ) 2.25 a = 。 数论理论证明， 数轴上从左向右素数的密度越来越小， 即 () lim lim 0 n n x n px px = = 。 因此， 上式取极限可得： + = + + 4 ) 4 1 ( 4 lim ) 2 (
21、lim 2 n n n n a p p n p a （55） 最终结论是：式（55）证明，足够大的偶数 a 2 一定有“素数分割对”存在。 【注：本文只是上文的简介，逻辑性更强、更严谨的证明在上文】 0 -8 27 -53 -18 -34 1 -31 4 -12 23 -9 26 -22 13 -3 32 -16 19 -13 22 6 41 9 44 -4 31 -17 18 2 37 -11 24 -8 27 11 46 -2 33 1 36 -12 23 -41 -6 -38 -3 -19 16 0 -60 -56 -52 -48 -44 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 x
