1、矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成 m 行 n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为 mn 阵。矩阵通常是用大写字母 A 、B 来表示。例如一个 m 行 n 列的矩阵可以简记为：，或。即：（2-3）我们称（2-3）式中的 为矩阵 A 的元素，a 的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，第二个注脚字母 j（j 1，2，n）表示矩阵的列数。当 mn 时，则称 为 n 阶方阵，并用 表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即 ，则称该两矩阵
2、相等，记为 AB。2、三角形矩阵由 ij 的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：， ， ， 。3、单位矩阵与零矩阵在方阵 中，如果只有 的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为 。如果在对角矩阵中所有的 彼此都相等且均为 1，如： ，则称为单位矩阵。单位矩阵常用 E 来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵 A（a ij） mn 和 B（b ij） mn 相加时，必
3、须要有相同的行数和列数。如以C（c ij） m n 表示矩阵 A 及 B 的和，则有：式中： 。即矩阵 C 的元素等于矩阵 A 和 B 的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设 A、B、C 都是 mn 矩阵）：（1）交换律：ABB A （2）结合律：（AB）C A（BC ）5、数与矩阵的乘法我们定义用 k 右乘矩阵 A 或左乘矩阵 A，其积均等于矩阵 中的所有元素都乘上 k 之后所得的矩阵。如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设 A、B 都是 mn 矩阵，k、h 为任意常数，则：（1） k（AB）kAkB（2）（kh）AkAhA（3） k（hA）khA6、矩阵的乘
4、法若矩阵 乘矩阵 ，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵 的元素 的计算方法定义为第一个矩阵第 i 行的元素与第二个矩阵第 j 列元素对应乘积的和。若：则矩阵 的元素由定义知其计算公式为：（2-4）【例 2-1】 设有两矩阵为： ， ，试求该两矩阵的积。【解】由于 A 矩阵的列数等于 B 矩阵的行数，故可乘，其结果设为 C：其中：【例 2-2】 已知：A ，B ，求 A、B 两个矩阵的积。【解】计算结果如下：矩阵的乘法具有下列性质：（1）通常矩阵的乘积是不可交换的。（2）矩阵的乘法是可结合的。（3）设 A 是 mn 矩阵， B、C 是两个 nt 矩阵，则有：A（BC）ABAC 。（
5、4）设 A 是 mn 矩阵，B 是 nt 矩阵。则对任意常数 k 有：k（AB）（kA）BA（ kB）。【例 2-3】 用矩阵表示的某一组方程为：（2-5）式中：（2-6） 试将矩阵公式展开，列出方程组。【解】现将（2-6）式代入（ 2-5）式得：（2-7）将上式右边计算整理得：（2-8）可得方程组：可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中 称为改正数阵， 称为误差方程组的系数阵， 称为未知数阵， 称为误差方程组的常数项阵。【例 2-4】 设由 n 个观测值列出 r 个条件式如下，试用矩阵表示。【解】现记：（2-9）则条件方程组可用矩阵表示成：（2-10）上式中 称为条件方程组的系数阵， 称为改正数阵， 称为条件方程组的闭合差列阵。
