1、1 第四章 晶向、晶面等概念2 4.1 原子坐标 在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。 原子在晶胞中的位置可用 原子坐标 表示。3 什么是原子坐标？ 原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。 (0,0,0)表示处于顶点上的原子 表示处于体心上的原子 简单立方格子的原子坐标 (0,0,0) 111 (,) 2224 体心立方格子：(0,0,0) 111 (,) 2225 面心立方格子：(0,0,0) 1 111 11 (, 0 ,) (, 0 ) (
2、 0 ,) 2 222 226 金刚石的晶胞：(0,0,0) (1/4,1/4,1/4)(3/4,3/4,1/4) (1/4,3/4,3/4)(3/4,1/4,3/4) 也可以将原子的位置投影到结构晶胞的底面上，以数字 标明它所在位置的高度。 1 111 11 (, 0 ,) (, 0 ) ( 0 ,) 2 222 227 4.2 晶面及晶面指数 什么是晶面？连结同一层质点的平面 什么是晶面间距？相邻两层平行晶面之间的距离 什么是面密度？晶面上质点的密度 在同一晶体的格子结构中，沿不同方向可以构成 许多组这样相互平行的晶面，不同晶面间彼此相差一 定角度，并且他们的晶面间距、面密度及质点种类、
3、价键密度也不同，这将导致这些晶面的物理、化学性 质有所不同。为区分这些晶面，结晶学上人们用晶面 指数来标志(密勒指数)。8 密勒指数 是经过约简的该晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比 确定密勒指数的三个步骤： 1) 该晶面与x, y, z 轴相交的长度r, s, t(表示相交长度分别 为a、b、c 的r、s、t 倍)，分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t； 2) 对这三个分数进行通分，用分母的最小公倍数做分母； 3) 通分后三个分数的分子就是晶面指数(h k l) 111 332 2 2 3 332 223 666 ， ， ， （）910 两种特殊情况： 1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与
4、晶轴在 无穷远处相交，截距，1/=0，因此晶面在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行的晶面，(100)表示平行于YZ平面的晶面， (001)表示平行于XY平面的晶面。 2)如果晶面与某一晶轴的负方向相交,则相应的指 数上加以负号，如 ， 表示一个 晶面族，晶面族内的各个晶面彼此等同，这是由 于晶体结构上对称性决定的。 11 0 1 2 1 （） 、 （） hkl11 包含 共六个晶面 包含共十二个晶面 包含 共八个晶面 110 表示一个晶面； (110)表示一组平行晶面； 110表示由对称性联系起来的一组空间等同晶面。 100 (100),(010),(100),(010),
5、(001),(001) 110 (110),(101),(011),(1 10),(101),(01 1),(1 10),(101),(01 1),(1 10),(101),(01 1) 11 1 (111),(1 11),(1 1 1),(11 1),(1 1 1),(1 1 1),(1 1 1),(1 1 1)12 立方晶系中六个等同的100晶面、十二个等同的110晶 面、八个等同的111晶面。 (第四次实习内容)13 4.3 晶向及晶向指数 什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。 确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原 点；
6、2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三 个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向 指数；用 表示 14 111 12 , , 463 324 15 由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系包含 共六个晶向； 包含 共十二个晶向 包含 共八个晶向 在立方晶系中，由于 晶轴参数的特殊 关系，某一晶面(hkl)与指数相同的晶向hkl恰好垂直。在 其他晶系中，这一关系不一定存在。 ( ) , abc 110,101,011,1 10,101,01 1,1 10,101,01 1,1 1
7、0,101,01 1 111,1 11,1 1 1,11 1,1 1 1,1 1 1,1 1 1,1 1 1 100,010,100,010,001,00116 在六方晶系中，为了能充分体现六方晶系的六 重轴对称性，常常用四个坐标指数表示晶面，被称 为密勒布喇菲指数(hkil)。此时所选取的是由四个 晶轴a 1 、a 2 、a 3 、c 所组成的坐标系统。h、k、i、 l 四个指数中，只有三个是独立的，其中hk i；hki0。 在六方晶系中，晶向最好用 a 1 、a 2 、c三个晶 轴坐标系统表示，即uvw， 但也有用a 1 、a 2 、a 3 ， c四个晶轴坐标系统表示的即uvtw,四个坐标
8、指数 满足u+v+t=0的关系。17 在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 uvt0 来确定。18 六方晶系中的晶面与晶向19 ( ) () () ( ) 110 1 10 1 10 1 10 晶面20 ( ) ( ) ( ) ( ) 113 131 311 1 13 113 131 311 1 13 晶向 晶面21 4.4 倒易点阵 研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面 间距等问题； (3)倒易点阵是固体物理学中讨论能带理论的重要方 法；
9、 倒易点阵的实质： 倒易点阵本身是一种几何构图， 是一种数学抽象，是一种数学变换。22 倒易点阵是由许多点子构成的虚点阵； 倒易点阵是由具有晶格常数a、b、c的晶体点 阵(或称正点阵、真点阵)经过一定的数学变换转化 而来的一种虚拟点阵。 晶体点阵(正格子) 倒易点阵(倒格子) 倒易点阵的空间称倒易空间。 已知晶体点阵求解未知倒易点阵 已知倒易点阵求解未知晶体点阵 4.4.1 倒易点阵的几何分析 倒格子中的每一个结点和原来晶体点阵中各个 相应的晶面有倒易关系23 对应关系：如果两个点阵(即晶体点阵和倒易点阵)有一个 共同的原点 (1) 晶体点阵中的(hkl)晶面在倒易点阵中用一点P hkl 来表示， P hkl 点和原点O间的连线垂直于晶体点阵中的(hkl)晶面； (2) 如果倒易点阵中的P hkl 点和原点O间的距离OPH hkl ，则 H hkl 1/d hkl , 式中d hkl 是(hkl)晶面族的晶面间距。 图4.4.1 正点阵与倒易点阵的转化图示24 图示一个普通单斜 晶系的四个晶胞的ac 晶面，b轴垂直于纸 面，o点是正格子和 倒格子的公共原 点。 由上述方法变换得到的倒易点阵结点集合起来具有点阵性质。
